Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
La fonction f est dite concave (resp strictement concave) sur I si −f est convexe (resp strictement convexe) sur I Remarques et exemples 1) Une fonction convexe sur un intervalle I est aussi convexe sur toute partie de I qui est un intervalle 2) Une partie E d’un espace vectoriel r´eel est dite convexe si x, y ∈ E et λ ∈ [0,1
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 –Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 —Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
FONCTIONS CONVEXES - ISIMA
On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de IRn et a ∈ IRn La fonction f : C 7→IRn est fortement convexe sur C si et seulement si la fonction g définie ci-dessous est convexe : g(x) = f(x)− α 2 kx−ak2 Démonstration
COURSOPTIMISATION CoursenMasterM1SITN IonelSorinCIUPERCA
Si f : IRnIRm est une fonction constantealors rf = 0 et J f = 0 On a aussi fortement concave) si f est convexe (respectivement strictement convexe, res-
Convexité : résumé - MATHEMATIQUES
f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement croissante sur I Théorème 10 (Cas des fonctions dérivables) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Rà valeurs dans R On suppose de plus que f est dérivable sur I
Optimisation convexe - u-bordeauxfr
Si fest strictement convexe sur I, elle admet au plus un minimiseur La fonction x7ex est strictement convexe sur R et n’admet pas de minimum ni de minimiseur sur R 1 2 2 Optimisation de fonctions de R dans R Si fest une fonction d e nie d’un intervalle IˆR et a valeurs dans R[f+1g,
Convexit´e - unicefr
Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I a) f est strictement convexe ssi f0 est strictement croissante b) Si f est deux fois d´erivable et si sa d´eriv´ee seconde est strictement positive sur I, alors f y est strictement convexe
229 Fonctions monotones et fonctions convexes Exemples et
Proposition 5 outeT fonction strictement monotone est ontinuec ssi f(I) est un intervalle Application 1 (Théorème de la bijection) [3] fest un homéomorphisme de Idans Jsi et seulement si f est ontinuec et strictement monotone 1 4 Critères de convexité Rappel: un convexe est stable par passage au barycentre Proposition 6
Convexité en optimisation, convexité forte
Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou dans l’exemple 3 que f est strictement convexe sur V si, et seulement si Aest
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