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Q0 D12 Q12 ?ucrit= 0.7???-1 2 2 u=u0-αρ, α >0. u=β?

1-exp?

-γ?1ρ-1ρjam??? ????β, γ >0. 2 dwi(t) dt=Fi(t), v0iei(t)-wi(t)

τi,

vi(t) =???w i(t) v maxiw i(t) |wi(t)|

ηi(t) = 1-vi(t)

v0i, t?????? v0i(t) = [1-ηi(t)]v0i+ηi(t)vmaxi. -1 pij=Nexp(kDDij)exp(kSSij)ξij, qi= (qxi,qy rir j q j q iDij(q)

U(q) = (U1(q),...,UN(q)).

Cq=?v?R2N,?i < j , Dij(q) = 0? ?Dij(q)·v≥0?. dq dt= ?CqU. |q|=???? N? i=1|qi|2, ??|qi|2= (qxi)2+ (qy i)2.

Dij(q) =|qi-qj| -(ri+rj).

Q0=?q?R2N,?i < j , Dij(q)≥0?.

rir j e ij(q) -eij(q)q j q iDij(q) eij(q) =qj-qi|qj-qi|. ??? ????q? Gij(q) =?Dij(q) = (0,...,0,-eij(q),0,...,0,eij(q),0,...,0)?R2N. i j Cq=?v?R2N,?i < j , Dij(q) = 0?Gij(q)·v≥0?. ?q=q0+? u, u= ?CqU. Nq=? i0? ?(i,j)?Icontact,Gij(q)·v≥0. ?μij≥0,? (i,j)?Icontactμ ijGij(q)·v≥0.

Fq=???

(i,j)?Icontactμ ijGij(q), μij≥0???

F◦q=Cq=Cq◦◦=N◦q.

D12<0D

13<0 D 34<0
Q0q 2 q 1 Nq2

Cq2Nq1

Cq1 u=?CqU=U- ?NqU. ?dq dt+ ?NqU(q) =U(q) q(0) =q0.

NqU? Nq

?dq dt+Nq?U(q), q(0) =q0. dq dt=U(q). Cq=?

λ>0λ(Q0-q).

λ>0λ(Q0-q)? Cq.

????w??

λ>0λ(Q0-q)??????

Q0-q=?p?RN,?i pi+1-pi≥ri+1+ri-(qi+1-qi)?,

?λ >0,?i, wi+1-wi≥λ(ri+1+ri-(qi+1-qi)). Cq??

λ>0λ(Q0-q)?????

J?=∅???? ???

λw= maxj?J?

wj+1-wjrj+1+rj-(qj+1-qj)? >0. ?i, wi+1-wi≥λw(ri+1+ri-(qi+1-qi)). w?λw(Q0-q). ?q?Q0,Cq=?

λ>0λ(Q0-q).

q?Q0?

Nq=C◦q=??

λ>0λ(Q0-q)?

q/?Q0????Nq=∅=∂IQ0(q)???????Nq=∂IQ0(q)? ??????? ?dq dt+Nq-U(q)?0, q(0) =q0, ?E2??? ?dq dt+ ?Nq(U(q)) =U(q), q(0) =q0, ?E1??? ?dp dt+Np?f, p(0) =q0. d+p dt(t) =f(t)- ?Np(t)(f(t)). dp dt(t) =f(t)- ?Np(t)(f(t)) p.p. dq dt(t) =U(q(t))- ?Nq(t)(U(q(t))) p.p.

Q0=?q?R2N,?i < j , Dij(q)≥0?,

q???q

¯q2

¯q

1˜q

2 ˜q 1q2q1

Q0={q?R4, D12(q)≥0}

R2N? ???N >3???? ???

???q= (?q1,?q2,?q3)

˜q2

˜q 3 q 3q

2q1= ˜q1α

q= (-1,0,1,0,1,b)???q= (-1,0,1,5,2cosα-1,2sinα), ?q-q= (0,0,0,5,2cosα-2,2sinα-b).

Nq=-R+G12(q)??Neq=-R+G13(?q).

?n-n= (cosα-1,sinα,1,0,-cosα,-sinα). (?n-n,?q-q) =-cosα(2cosα-2)-sinα(2sinα-b) =-2cos2α+ 2cosα-2sin2α+bsinα = 2cosα-2 +bsinα = 2(cosα-1) +bsinα. dS(y) = infx?S{|y-x|}.

S(y) =?

x?S, dS(y) =|y-x|? ???S(y)

α(y-x)???α >0??y?H??????x??S(y)

S

S??x????

NP(S,x) =?

v?H,?α >0, x??S(x+αv)?

NL(S,x) =?

v?H,?(xn)?SN,?(vn)?(NP(S,xn))N, xn-→x, vn? v?

NP(S,x)?NL(S,x).

α >0???????x??S(x+αv)

β0< α???????x /??S(x+β0v)

|¯x-(x+β0v)|< β0|v|. xx1nx 2 n Sv 1nv 2nN

L(S,x)

∂PdS(x) =? v?H,?M, α >0, dS(y)-dS(x)+M|y-x|2≥ ?v,y-x?,?y?B(x,α)? ∂PdS(x) =NP(S,x)∩B(0,1).

NL(S,x) =NP(S,x).

x S ??????v?N(S,x)\ {0}? B? x+ηv|v|,η? ∩S=∅, |?S(y)- |y-˜y|.

N(C,x) =∂IC(x).

?dq dt+Nq?U(q), q(0) =q0,

˜qk

?Ck+1(˜qk) qk C k+1C k ?-x(t)?N(C(t),x(t)) +F(t,x(t)) p.p.t. t?I x(T0) =x0. ?-dx?N(C(t),x(t)) x(T0) =x0,

C(·)

t?I??(x,y)?B(0,α)×B(0,α)? ?-x(t)?N(C(t),x(t)) +f(t,x(t)) p.p.t. t?I x(T0) =x0 ?-dx?N(C(t),x(t)) +F(t,x(t))dλ x(T0) =x0, sup s?]T0,T]μ({s})<η2. ?dq dt+Nq?U(q), q(0) =q0, ?E2??? Q0 i < j? Qij={q= (q1,q2,..,qN)?R2N, Dij(q) =|qj-qi| -(ri+rj)≥0}. Q0=?q= (q1,q2,..,qN)?R2N, Dij(q)≥0,?(i,j),i < j?=?iUε={q?R2N, D12(q)>-ε}.

ν(q) =-G12(q)⎷2.

Q12??

N(S,x) =R+ν(x).

S∩U={y?U , f(y)≥0}, ∂S∩U={y?U , f(y) = 0}???f(x)?= 0.

R+ν(x)?N(S,x).

dS(x+βkν(x))< βk. |x-rk|2+ 2βkν(x)·(x-rk)<0.??????? f(x) =f(rk) + (x-rk)· ?f(x) +O(|x-rk|2). (x-rk)· ?f(x) =O(|x-rk|2), (x-rk)·ν(x) =O(|x-rk|2). (x-rk)·ν(x)>-λ|x-rk|2. |x-rk|2-2βkλ|x-rk|2<0.

βk<12λ.

N(S,x)?R+ν(x).

v?=-ν(x). f(x-αν(x)) =-α?f(x)·ν(x) +O(α2). -ν(x)/?N(S,x).

γ(δ) =x+δγ?(0) +O(δ2).

|x+βv-γ(δ)|2=|βv-δγ?(0) +O(δ2)|2 =β2-2βδv·γ?(0) +O(δ2) =β2-2βδc+O(δ2). x/??S(x+βv)

μ= sup

x?∂Csup

Q12=R2N\◦C.

ν:∂Q12→S2N-1

q= (q1,q2,..,qN)?→ -G12(q) ⎷2=(e12(q),-e12(q),0,..0)⎷2. h?Tq(∂Q12) -Dν(q)[h] =1 ⎷2|q2-q1|? ?e?12(h2-h1), ?e?12(h2-h1),0,...,0? ???e?12 e?12(h2-h1) = (h2-h1)-[(h2-h1)·e12]e12= (e?12te?12)(h2-h1). Wq=?A q0 0 0?

Aq=1⎷2|q2-q1|?

e?12te?12-e?12te?12 -e?12te?12e?12te?12?

2⎷2|q2-q1|Tr?e?12te?12?.

Tr?e?12te?12?= 1,

Tr(Wq) =⎷2

|q2-q1|. a=⎷2 |q2-q1|, rc=|q2-q1|⎷2. rc=r1+r2⎷2.

η=r1+r2⎷2.

ηij=ri+rj⎷2.

????q?∂Qij????

N(Qij,q) =-R+Gij(q).

Q0 Nq=? ijGij(q), μij≥0, μij= 0??Dij(q)>0? q?◦Q

0??????

q?◦Q

N(Q0,q) ={0}=?N(Qij,q).

q?

N(Qij,q)?N(Q0,q).

v=w|w| ?M, α >0, dQij(˜q)-dQij(q) +M|˜q-q|2≥v·(˜q-q),?˜q?B(q,α). ?M, α >0, dQ0(˜q)-dQ0(q) +M|˜q-q|2≥v·(˜q-q),?˜q?B(q,α).

N(Qij,q)?N(Q0,q).

?N(Qij,q)?N(Q0,q). ?w1,w2?N(Q0,q)\ {0},w=w1+w2?N(Q0,q). v1=w1|w1| ??v2=w2|w2|. dQ0(˜q)-dQ0(q) +M1|˜q-q|2≥v1·(˜q-q),?˜q?B(q,α1), d Q0(˜q)-dQ0(q) +M2|˜q-q|2≥v2·(˜q-q),?˜q?B(q,α2). ???w=|w1|v1+|w2|v2????? ??? v=w|w1|+|w2|, t=|w1||w1|+|w2|. dQ0(˜q)-dQ0(q) +M|˜q-q|2≥v·(˜q-q),?˜q?B(q,α).

N(Q0,q)??N(Qij,q).

q??Q0(q+tw) s= min(t,?)???= min (i,j)/?IcontactD ij(q)⎷2|z|.

˜q=q+sw-sv=q+sz.

Dij(˜q)≥Dij(q) +sGij(q)·z,?(i,j).

?(i,j)?Icontact, Dij(˜q)≥Dij(q) +sGij(q)·z=sGij(q)·z≥0. Dij(˜q)≥Dij(q) +sGij(q)·z≥Dij(q)-s⎷2|z| ≥0. ????˜q?Q0 Squotesdbs_dbs8.pdfusesText_14