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Dérivées partielles Définitions Si la fonction partielle x f x,y est dérivable on
note f x x,y sa fonction dérivée en x,y qui est appelée dérivée partielle de f en x
élasticité Dans la suite on se place dans le cas où f est à valeurs positives
Applications économiques 'On étudie l'élasticité de la consommation d'un bien
par&
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Cours d'Economie du Travail
L'élasticité compensée ne mesure donc que l'effet de substitution induit par la
variation du salaire (c'est à dire le déplacement le long d'une même courbe
nous supposerons que la fonction de production est strictement croissante par
rapport à chacun de ses arguments, ses dérivées partielles seront donc
strictement&
Dérivées partielles et élasticité(-prix/-revenu/-croisé) - forum
Je n'arrive pas a comprendre le calcul de la dérivé partielle,plus précisément je
ne comprend pas pourquoi lors du calcul de l'élasticité on utilise telle formule de
dérivation et pas une autre Quelle est la formule de dérivation utilisée ici?(lors du
passage au R etc ) La formule qui me semble adéquate&
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Elasticité - JY Baudot
Elasticité J Y Baudot jybaudot Analyse elasticite
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Elasticité = Principes d'Economie Chapitre Calcul de l'élasticité prix de la
demande ' Pourcentage de variation de la quantité demandée divisé par le
Dérivée vs élasticité ' Ainsi, l'élasticité n'est pas égale à la dérivée, et donc
diffère de la pente de la fonction de demande ' Toutefois, élasticité et dérivée
sont&
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Cours d"Analyse
Fonctions de plusieurs variables
Licence1`ereann´ee - 2007/2008
Nicolas Prioux
Universit´e de Marne-la-Vall´ee
Table des mati`eres
1 Notions de g´eom´etrie dans l"espace et fonctions `a deux variables ........ 5
1.1 Exemples de fonctions `a plusieurs variables en ´economie............ 5
1.2 L"espaceR3....................................................... 6
1.3 Produit scalaire.................................................... 9
1.4 Vecteur normal et ´equation d"un plan dans l"espace................. 11
1.5 Repr´esentation graphique des fonctions de deux variables............ 13
1.5.1 Domaine de d´efinition et graphe................................ 13
1.5.2 Fonctions partielles et coupes................................... 16
1.5.3 Courbes de niveau ............................................. 17
2 Continuit´e et d´erivation de fonctions de plusieurs variables.............. 21
2.1 Continuit´e et limites............................................... 21
2.1.1 Continuit´e..................................................... 21
2.1.2 Notion de limite ............................................... 23
2.2 D´eriv´ees partielles et ´elasticit´e ..................................... 23
2.3 D´eriv´ees d"ordre sup´erieur ......................................... 26
2.4 Notion de diff´erentielle et d´erivation des fonctions compos´ees ....... 27
2.4.1 D´eveloppement de Taylor d"ordre1............................. 27
2.4.2 D´eriv´ee de fonctions compos´ees ................................ 283
Cours d"Analyse - 4 - Fonctions de plusieurs variablesChapitre
Notions de g´eom´etrie dans
l"espace et fonctions `a deuxvariables11.1Exemples de fonctions `a plusieurs variables en
´economie
Les fonctions utilis´ees dans les mod`eles ´economiques sont, le plus souvent, des fonc- tions de plusieurs variables. Exemple 1.1.1Les fonctions de production, les fonctions d"utilit´e. On consid`ere un syst`eme de production produisant un certain produit "output" `a partir denautres biens, appel´es facteurs de production ou "input". La fonction de production associe `a unn-upplet (x1,...,xn) de nombres positifs la quantit´e maximale qd"output que l"on peut produire. Dans certains mod`eles, on se limite `a deux facteurs de production : le capital et le travail. Dans ce cas, on s"int´eresse `a des fonctions de la forme :q=f(K,L,) o`uKrepr´esente le capital etLle travail. On a alors une fonction de deux variables, associant `a un couple (x,y) de nombres r´eels (ici positifs) un nombref(x,y). Exemple 1.1.2Les fonctions suivantes apparaissent souvent en th´eorie de pro-duction :-f(K,L) =aK+bL(fonction lin´eaire);-f(K,L) = min(K/a,L/b), aveca >0etb >0(fonction `a facteurs compl´ementaires);-f(K,L) =k KαLβ, aveck≥0,α≥0,β≥0(fonction de Cobb-Douglas).Remarque 1.1 :La fonction minimum,min, est la fonction qui prend pour valeur
le plus petit des r´eels pass´es en argument. Par exemple : min(-2,3,4,-10,-4,234) =-10. On d´efinit de la mˆeme mani`ere la notion de maximum,max, qui renvoit le plus grand51.2. L"ESPACER3des ´el´ements pass´es en param`etres :
max(-2,3,4,-10,-4,234) = 234. Les fonctions d"utilit´e apparaissent dans la th´eorie du consommateur. Dans un mod`ele o`u il y anbiens de consommation, unplan de consommationest d´efini par unn-uplet (x1,...,xn) de nombres positifs repr´esentant les quantit´es consomm´ees de chacun des nbiens. La fonction d"utilit´e associe `a ce panier de biens un indice de satisfactionu(x1,x2,...,xn), que le consommateur cherche `a maximiser.1.2L"espaceR3-R, l"ensemble des r´eels, s"identifie `a une droite orient´ee munie d"une origine et d"une
unit´e de longueur :? 0 1-1 -R2, l"ensemble des couples de r´eels (x,y), s"identifie `a un plan muni d"un rep`ere
orthonorm´e (O;-→i ,-→j) compos´e d"une origineOet de trois vecteurs-→iet-→jor-
thogonaux et de longueur ´egale `a 1. Au couple (x,y), on associe le pointMdu plan de coordonn´eesxetydans le rep`ere (O;-→i ,-→j) :?? M xy?? i-→ j O? On peut orient´e le rep`ere, et dans ce cas, on dit que le rep`ere (O;-→i ,-→j) (ou quela base (-→i ,-→j)) est directe si, pour parcourir le plus petit chemin allant de-→i`a-→jsur le cercle unit´e, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d"une montre.Cours d"Analyse - 6 - Fonctions de plusieurs variables
CHAPITRE 1. NOTIONS DE G
´EOM´ETRIE DANS L"ESPACE ET
FONCTIONS`A DEUX VARIABLESLorsque l"on tourne dans le sens inverse des aiguilles d"une montre un angle est
alors positif, et il sera n´egatif si on le mesure en allant dans le sens des aiguilles d"une montre. Par exemple, l"angle form´e par les vecteurs-→iet-→jdans un rep`ere orthonorm´e direct est deπ/2 alors que celui form´e par les vecteurs-→jet-→iet de-π/2 (lerep`ere (O;-→j ,-→i) est alors un rep`ere orthonorm´e indirect).Remarque 1.2 :Le couple(x,y)s"identifie au vecteur--→OM. Ainsi, les ´el´ements
deR2sont consid´er´es tantˆot comme des points, tantˆot comme des vecteurs.-R3, l"ensemble des triplets (x,y,z) de r´eels, s"identifie `a l"espace `a trois dimensions
muni d"un rep`ere orthonorm´e (O;-→i ,-→j ,-→k) compos´e d"une origineOet de trois
vecteurs-→i ,-→jet-→kdeux `a deux orthogonaux et de longueur ´egale `a 1. Le tri- plet (x,y,z) s"identifie au pointMdu plan de coordonn´eesx,yetzdans le rep`ere (O;-→i ,-→j ,-→k) :? Mz y x??? i-→ j-→ k O??DansR3, pour dire si un rep`ere (O;-→i ,-→j ,-→k) (ou une base (-→i ,-→j ,-→k)) est directe,
en faisant appel `a la r`egle du "bonhomme de Newton" : il doit se placer au niveau du vecteur-→k(le sens des pieds `a la tˆete est celui de-→k), il doit pointer son brasdroit dans la direction et le sens de-→iet regarder dans la direction et le sens de-→j. Sinon, le rep`ere (ou la base) est dit indirect.
Par exemple, sur le dessin, on peut voir que notre rep`ere est un rep`ere orthonorm´edirect deR3.Remarque 1.3 :Le triplet(x,y,z)s"identifie au vecteur--→OM. Ainsi, les ´el´ements
deR3sont consid´er´es tantˆot comme des points, tantˆot comme des vecteurs.Nous allons maintenant donner les op´erations de bases sur les vecteurs :Cours d"Analyse - 7 - Fonctions de plusieurs variables
1.2. L"ESPACER3?
??Propri´et´e 1.4 :-Addition :(x,y,z) + (x?,y?,z?) = (x+x?,y+y?,z+z?).-Multiplication par un scalaire (par un r´eel) :
?λ?R,?(x,y,z)?R3, λ(x,y,z) = (λx,λy,λz).Remarque 1.5 :