Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou plus généralement n'importe quelle partie fermée
Plus généralement les compacts des K-espaces vectoriels normés de dimension finie sont les fermés bornés. Ce résultat est faux en dimension infinie. Exemple :
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée. particulier un espace métrique compact est borné (il est toujours fermé dans lui-même).
atteint ses bornes. Preuve. L'image d'un compact X par une application continue est un compact donc un fermé borné de R. En particulier infX f et supX f
tersection de toute famille d'ensembles fermés est un fermé de E. Exemple (d'ensemble fermé borné non compact). Soit E = C([01])
1.6 Ensembles compacts. Définition. X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ? B(0 R)). Exemples.
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle. Ceci peut se voir.
Un espace métrique compact est borné. Preuve. Exercice 4.2. Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée. Preuve. Exercice 4.10. ? 2.3.2.
dire qu'ils n'ont pas de borne fermée. Un produit cartésien de bornés est borné. ? Théorème de base : l'image continue d'un compact est un compact.
dimension quelconque d ? 1 on démontre aussi que tout sous-ensemble fermé borné. K ? Rd est compact
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle Ceci peut se voir
Propriété Soit E un espace normé A? E Si A est compacte alors A est fermée et bornée Propriété Soit (E E) un espace vectoriel normé et X un compact de
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée Attention ! La réciproque est fausse en général (cf B) Elle est par contre vraie dans (R·)
On va voir que toutes les parties fermées et bornées des K-espaces vectoriels de dimension finie (K = R ou C) sont des espaces compacts (pour la topologie
On munit RN de la norme ·? Alors un sous-ensemble de RN est compact si et seulement si il est fermé et borné Preuve Déj`a
Cette fonction est continue sur un compact donc bornée et atteint ses bornes Exercice 15 Dans un espace métrique (X d) on considère un fermé non-vide F et
Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée Proposition 4 1 10 Dans un espace topologique compact les parties compactes sont
Un espace métrique compact est borné Preuve Exercice 4 2 Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée Preuve Exercice 4 10 ? 2 3 2
4) Montrer que dans un espace métrique tout compact est fermé et borné 5) Montrer que les parties compactes de R sont les parties fermées et bornées