7 nov. 2014 La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe 3) Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet exactement une solution sur l'intervalle.
a) Montrer que si f = g +h avec g qui admet une limite en 0 mais pas h alors Correction :Par opérations
Montrer que si f est continue pour tout ? ouvert de R
Montrer que f est continue et que f est bijective de ]a b[ dans ]?
La fonction f(x y) est continue sur R2 {0
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. Démonstration. Supposons f dérivable Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe :.
Montrer que f est strictement monotone. Théorème 6.8. Soit f une fonction continue sur un segment. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Rappelons qu'un
Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction
on démontre que : 1 ! est continue sur [+ ;S] 2 ! change de signe sur [+ ;S] 3 ! est strictement monotone sur [+ ;S] Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent Avec la condition 3 en plus nous savons que la solution est unique Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)
Continuité d’une fonction Valeur approchée de la solution f(x) = k Principe : on entre dans la calculatrice la fonction on définit les paramètres du tableur avec l’intervalle dans lequel est contenue la solution de l’équation et on choisit le pas
élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim x?a f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau 1 2 3 ?1 1 2 3
f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée Comme la fonction x 7? x est continue sur R si f est continue sur [ab] alors f aussi Supposons que f ne soit pas majorée Alors il existe une suite (x n) n d
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en toute valeur a appartenant à I Exemples Les fonctions polynômes sont continues sur ? Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition La fonction racine carrée est continue sur[0;+?[ Remarque Interprétation graphique
Soit f continue sur R+ telle que pour tout réel positif x on ait f(x2) = f(x) Montrer que f est constante sur R+ Trouver un exemple où f n’est pas constante Correction H [005397] Exercice 7 ***IT Soit f continue sur R+ à valeurs dans R admettant une limite réelle quand x tend vers +¥ Montrer que f est uniformément continue sur R+
On conclut en donnant le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) la fonction f est continue. D'après les questions précédentes, f est continue sur left]2 ; +infty right [ et en x=2. On en conclut que f est continue sur left [2 ; +infty right [.
Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I. On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle (s) sur le (s)quel (s) elle est définie.
(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.