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Théor`eme 6 (Théor`eme de Cauchy-Lipschitz (local Lipschitz)) On suppose que f est continue et localement lipschitzienne par rapport `a sa deuxi`eme variable

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18 avr 2011 · 2 On dit que f est localement lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable si pour chaque (t0 x0) ? U il existe un voisinage V de

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a ?h(t) est décroissante ce qui fournit l'inégalité attendue 2 2 2 Unicité Dans le cas où f est localement Lipschitzienne par rapport à sa seconde variable

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localement lipschitzienne par rapport `a la seconde variable si tout point de U est contenu dans un voisinage ouvert V ? U tel que la fonction fV est

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Ce égalité donne deux solutions possibles pour le problème est localement lipschitzienne et à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une

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localement lipschitzien par rapport à la variable d'état si : pour tout pt x q P I ˆ ? il existe L ? ? ? un voisinage ouvert U de x tels que

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Une fonction f : U ? Rm où U est un ouvert de R ×Rm est dite localement lipschitzienne en y si pour tout point (t0 x0) ? U il existe un cylindre de C0 = [t0

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Montrer que ƒ est continue sur Rx]0 +?o[ et localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable 2 Soit xo>0 On considère le problème de Cauchy

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Pour que f soit localement Lipschitzienne par rapport `a la seconde variable il suffit que f soit différentiable par rapport `a cette variable et que l'appli-

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Définition 4 Localement lipschitzien par rapport `a la seconde variable : Soit ? un ouvert de R × RN f : ? ? RN est dite localement lipschitzienne par

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est continue et localement lipschitzienne par rapport `a la variable y sur chacun des deux demi-plans ?+ = {(t y) ? R2/y > 0} et ?? = {(t

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L'application f est dite localement lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable si et seulement si pour tout (t0y0) ? I × U il existe ? > 0