suite extraite convergente

Étant donnée une suite (un)n?N on a deux suites extraites importantes : la suite Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même.

Si une suite (un) converge vers une limite finie l alors toutes suite extraite de la suite (un) converge vers l. Théorème 18. CNS de convergence.

Théorème (Convergence et caractère borné) Toute suite convergente est bornée. Démonstration toute limite FINIE d'une suite extraite de (un)n?.

Si les deux suites extraites (u2n) et (u2n+1) convergent vers la même limite alors la suite (un) converge vers cette limite commune. Remarque 1.5.7 Il est 

Si deux suites extraites d'une même suite (un) n'ont pas la même limite alors la suite (un) n'est pas convergente. Page 8. 8/12. 14. Convergence des suites 

Soit (un) est une suite réelle croissante qui admet une suite extraite majorée. Montrer que (un) est majorée (donc convergente). Exercice 20 •.

9 mar. 2011 Extraction de sous-suites convergentes presque partout ... Si 1 ? p ? +? et si la suite (fn) ? Lp(E F

Définition 12 – On dit qu'une suite de nombres réels est convergente quand elle a une deux suites extraites convergentes et n'ayant pas la même limite.

Remarque : Si deux suites extraites d'une même suite (un) n'ont pas la même limite alors la suite (un) 

Exercice 34. Soit (un) une suite de nombres réels telle que les suites extraites (u2n) (u2n+1) et. (u3n) convergent. Montrer que la suite (un) converge.

Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la mˆeme limite D´emonstration Soit (un) une suite convergente de limite ? Soit (un k) une suite extraite de (un) Comme la suite nk est une suite strictement croissante d’entiers nous avons nk ? k pour tout k Soit ? > 0 alors comme (un) converge vers ? il existe N

Theorem 2 8 (Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée on peut extraire une sous suite convergente Démonstration Soit (u n) n2N une suite minorée par met majorée par M:Nous allons construire par récurrence deux suites adjacentes (m k) k2N et (M k) k2N ainsi qu’une sous-suite (u n k) k2N de la suite (u n) n2N telles que m k u n k M k

Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n?N d´e?nie par u n = (?1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang Exercice 5 Soit H n = 1+ 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int´egrale

de suite extraite convergente Appl a) Un compact est complet b) Un produit ni de m etriques compacts est un m etrique compact (avec la distance somme) Ex [ A;A] compact (dichotomie) donc egalement ([ A;A]N;N 1(x) = X jx ij): Appl : f 2C0(compact;R) born ee et atteint ses bornes Compacts de RN Lemme Les compacts de (RN;N 1) sont les ferm

John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé- ment on étudie ici la convergence d’une suite réelle et le comportement asymptotique des suites usuelles 7 1 Suites convergentes suites divergentes 7 1 1 Suites convergentes

Théor`eme Si (un) est bornée, (un) a une sous-suite convergente Les limites des sous-suites convergentes de (un) 

en effet même si la suite n'est pas bornée le Lemme nous dit qu'elle a une suite extraite monotone, donc convergente dans R = R∪{+∞,−∞} Donc, de toute  

Proposition * 4 : Toute suite extraite d'une suite (un) convergente converge vers la même limite démonstration : ϕ étant strictement croissante, on a que pour 

Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la Si une suite (un) converge vers une limite finie l, alors toutes suite extraite de la 

est convergente une suite Montrer que (un)n∈ converge vers 0 si : 1) lim n→ +∞ un 1 + un = 0 née dont toute suite extraite convergente converge vers ℓ

— Attention, il peut y avoir plusieurs suites extraites qui convergent vers des limites différentes Par exemple, si un = (−1)n alors la suite extraite Pn = u2n est  

pas convergente Proposition 1 5 6 Si les deux suites extraites (u2n) et (u2n+1) convergent vers la même limite, alors la suite (un) converge vers cette limite 

Proposition 1 9 Si une suite (un) converge vers l alors toute suite extraite de (un) est convergente et converge vers l Nous pouvons maintenant définir les valeurs  

toute suite convergente est bornée - si ( )n u converge vers l alors ( ) n u converge vers l (la reciproque est vraie si l=0) - Toute suite extraite d'une suite