Convergence de suites - wwwnormalesuporg
Proposition 2 outeT suite convergente est bornée Démonstration Appliquons la dé nition de la limite avec par exemple ε = 1 On obtient un entier n 0 tel que, ∀n > n 0, u n ∈]l −1;l +1[ Par ailleurs, les termes de la suite d'indice inférieur à n 0 sont
Des d´emonstrations en analyse - unistrafr
c’est-a`-dire l’existence d’une suite convergente extraite de la suite (un) Notons (unp) cette suite extraite, ℓ sa limite et montrons que la suite (un) elle-mˆeme converge vers ℓ Soit ε > 0 Comme la suite (unp) converge vers ℓ, il existe P ∈ N tel que p > P =⇒ unp −ℓ 6 ε 2 On a donc
Amphi 2: Suites - Compacité - Connexité
a 2X est unevaleur d’adh erencede la suite (x n) n2N s’il existe une suite extraite de (x n) n2N qui converge vers a Exemples Une suite convergente a une unique valeur d’adh erence, c’est sa limite La suite (( 1)n) n2N a deux valeurs d’adh erence 1 et 1 La suite ((1 + ( 1)n)n) n2N a une unique valeur d’adh erence, c’est 0
= 2 CH VI : Convergence des suites réelles - Jobin
ECE1-B 2015-2016 CH VI : Convergence des suites réelles I Suitesréellesconvergentes I 1 Définitions Définition Suitesréellesconvergentes
Suites et séries de fonctions (corrigé niveau 3)
Puis la suite (xn) est bornée et on en extrait une suite (xαn( )) convergente, et la suite (yαn( )) étant elle- même bornée, on peut à nouveau en extraire une suite (y αβ n( ( ))) convergente Mais alors (x αβ n( ( ))) comme suite extraite d’une suite convergente est encore convergente
Lycee´ Thiers - MPSI-3
Bref, une seconde application du théorème de BW donne une suite extraite y) (n n2N convergente, de limite 2R On observe pour finir que la suite x) (n n2N converge vers (car toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite) : le résultat annoncé est démontré (avec ’= )
Suites numériques 1 Définitions - Weebly
On appelle suite extraite de (un)toute suite de terme général vn=uϕ(n) où ϕest une extractrice Remarques 5 Toute extractrice ϕvérifie ϕ(n)>npour tout n∈ N(faire une récurrence) Une suite extraite de la suite extraite uϕ(n) est de la forme uϕ ψ(n) où ϕ,ψ:N−→ N sont strictement croissantes (noter l’ordre de la composition)
Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13
1) Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy 2) On souhaite prouver la réciproque à la question précédente Soit (u n) une suite de Cauchy Montrer que (u n) est bornée 3) On suppose que (u n) admet une suite extraite convergente Montrer que (u n) est convergente 4) Conclure 2
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PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 1 -
Suites et séries de fonctions (corrigé niveau 3).Convergence des suites de fonctions.
39. Convergence simple :
Soit x fixé dans [0,2].· si
x vaut 0, 1 ou 2, la suite est constante égale à 0.· si
x est distinct de ces valeurs, alors : 11<-x, et le théorème des croissances comparées montre
que la suite géométrique l"emporte sur la suite ( n) et donc que : 0)(lim=+¥®xfnn. Autrement dit, la suite de fonctions converge simplement sur [0,2] vers la fonction nulle.Convergence uniforme :
On peut noter tout d"abord que : "
1³n, " x Î [0,2], )2()(xfxfnn-=, et cette symétrie permet de
restreindre les études à [0,1] (puisque les résultats sont similaires (en symétrie) sur [1,2]).
On part de la double inégalité : "
u Î '6 772,0 p, uuu££)sin(.2p, par étude de fonctions.
Donc : "
x Î [0,1], 0)(.)1.(2 ..2.)1.(0-£-=-£xfxxnxxn nnnp p.Si on étudie la fonction :
xxnxn.)1.(-a, sur [0,1], on constate qu"elle atteint un maximum en : nx1=, où elle vaut : n n) ::-11Donc : "
1³n, 0)(sup11.)1.(sup
]1,0[]1,0[-£)ÎÎxfnxxnnxn
n x, qui est aussi : 0)(sup ]2,0[-Îxfnx.
Et comme la suite minorante tend vers
e1, la suite des sup ne peut tendre vers 0 : il n"y a donc pas
convergence uniforme de la suite ( nf) sur [0,2].Soit maintenant :
10< Alors : "
x Î [1,a], 2.)1.(2 ..)1.(0)(0ppnn nanxxnxf-£-£-£, d"où : 2.)1.(0)(sup]1,[ pn naxanxf-£- Et comme la suite majorante tend vers 0, on en déduit la convergence uniforme de la suite ( nf) vers la fonction nulle, sur [ 1,a] ou sur [aa-1,].
40. Commençons par la convergence simple.
Soit x fixé dans , et distinguons deux cas : · si :
0)(=xf, alors la suite ()(xgn) est la suite nulle et elle converge vers : )(0xf=.
· si :
0)(¹xf, alors le dénominateur tend vers )(xf et la suite ()(xgn) tend vers : )()())((
2 xfxfxf=. Autrement dit, pour tout
x réel la suite ()(xgn) converge vers )(xf et la suite (ng) converge simplement sur vers f. Convergence uniforme sur :
Soient :
y Î *, et : 1³n. Alors :
)1.(1..1 1.1 1 1122222222
2 2 nyynyynnyyn yy y ny+++= , et donc : PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 2 -
" y Î *, nyyynnyy ny..21 ).2.(1...11 112222£
On en déduit que :
n Î *, " x Î , tel que : 0)(¹=xfy, nnyy yy n yy xfxg n.21 ..21)()(22 22
22=£-
Comme de plus, cette inégalité est encore vérifiée si : 0)(=xf, on en déduit que (fgn-) est bornée
sur , et que : " n Î *, nfg nR.21sup£-. Finalement, la suite (
ng) converge uniformément sur vers f. 41. a. Puisque la suite (
fun- [1,0[sup) converge vers 0, on en déduit que : 0>e, $ 0n Î , " 0nn³, 2sup[1,0[
e£-fun, et donc avec l"inégalité triangulaire : 0nn³, " 0np³, e£-+-£-fufuuupnpn[1,0[[1,0[[1,0[supsupsup.
Donc : "
0nn³, " 0np³, " x Î [0,1[, e£-£-pnpnuuxuxu
[1,0[sup)()(. Mais comme les fonctions
nu sont toutes continues sur [0,1], on peut faire tendre x vers 1 et : 0nn³, " 0np³, e£-)1()1(pnuu.
Donc la suite (
)1(nu) est une suite de Cauchy et donc elle converge vers une valeur qu"on note )1(f. b. Montrons maintenant que la suite ( nu) converge uniformément sur [0,1] vers f. Pour cela, il suffit de dire que : "
n Î , ))1()1(,supmax(sup [1,0[]1,0[fufufunnn--£- (il y a même égalité), puis : " n Î , )1()1(supsup [1,0[]1,0[fufufunnn-+-£-. On en déduit par le théorème des gendarmes que ( fun- ]1,0[sup) tend vers 0. Il y a donc bien convergence uniforme de (
nu) sur [0,1] vers f (qui est d"ailleurs continue sur [0,1]). 42. a. Remarquons que : " t Î [0,1],
'6 77
Î21,0)(tf, puis que : " x Î [0,1], " n Î , ))(()(1xffxfnn=+. On en déduit que : "
x Î [0,1], " 1³n, '6 77
Î21,0)(xfn.
De plus : " t Î
'6 7721,0, 0).21.(.2)(2³-=-=-ttttttf, donc :
x Î [0,1], " 1³n, )())(()(1xfxffxfnnn³=+, et la suite ()(xfn)n³1 est croissante. Etant de plus majorée par
2 1, elle est donc convergente.
De plus :
· si :
0=x, ou : 1=x, alors la suite ()(xfn) est constante nulle donc converge vers 0.
· si :
x Î ]0,1[, 0)(>xf, et la suite ()(xfn) étant croissante, elle converge vers une limite dans ]0,1].
Or cette limite
L (puisque f est continue sur [0,1]) doit vérifier : LLf=)(, en passant à la limite dans PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 3 -
la première égalité. Donc :
0=L, ou : 2
1=L. Finalement, pour :
x Î ]0,1[, ()(xfn) converge vers 2 1. La suite (
nf) converge donc simplement sur [0,1] vers la fonction u, constante égale à 2 1 sauf en 0 ou
en 1 ou elle vaut 0. b. Il est immédiat par récurrence que toutes les fonctions nf sont continues sur [0,1]. Puisque
u n"est pas continue sur [0,1], il en peut y avoir convergence uniforme de (nf) sur [0,1]. Soit maintenant :
2 10< On remarque que
f est croissante de '6 7721,0 dans
'6 7721,0, donc pour tout entier : 1³n, nf est
également croissante sur cet intervalle.
Donc : "
1³n, " x Î
'6 7721,a, )(2
1)()(xuxfafnn=££,
on en déduit que : )()()(2 1)( 2 1)()(auafafxfxuxfnnnn-=-£-=-, et :
1³n,)()(sup
]21,[ auafufnn a-£-. Enfin, puisque : "
x Î [0,1], )1()(xfxf-= on a finalement : )()(sup ]1,[auafufnnaa-£- On en déduit la convergence uniforme de (
nf) vers u sur [a, 1 - a]. 43. Pour
x réel et n entier non nul, on peut écrire : )(""..21)(".1)(1,2nxcfnxfnxfnxf++=) Et puisque
""f est bornée sur , on en déduit que : n Î *, " x Î , Mnxfxfnxfn..21)(")(1.£-)) où M est un majorant de ""f sur .
Donc : "
n Î *, Mnxfxfnxfn Rx..21)(")(1.sup£-))
ce qui montre que ( ng) converge uniformément sur vers "f. Remarque : on aurait aussi pu utiliser l"égalité de Taylor avec reste intégral. 44. a. On sait que : "
n Î , nu est continue et bornée sur le segment [ba,] et que le sup de nu est atteint sur [ ba,] en au moins une valeur qu"on note nx. b. On peut écrire successivement : n Î , nbannnnnbauxuxuu ],[1111],[sup)()(sup££=++++, notamment parce que la suite ( )(anu) est toujours décroissante (pour tout a dans [ba,]). Donc la suite (
nbau ],[sup) est bien décroissante et étant positive, elle admet une limite : 0³L. c. Soit : p Î . PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 4 -
Alors : " pn³, )()(sup
],[npnnnbaxuxuu£=. Donc puisque (
kbau ],[sup) décroît, on en déduit que : )(sup ],[npnbaxuuL££. d. La suite ( nx) étant une suite d"éléments du compact [ba,], il est possible d"en extraire une suite convergente ( )(nxj). e. L"inégalité obtenue en c. permet encore d"écrire : p Î , " n Î , tel que : pn³)(j, alors : )()(npxuLj£, ce qui se produit toujours à partir d"un certain rang puisque j est strictement croissante. Et si on fait tendre
n vers +¥, on en déduit que : " p Î , )(apuL£. f. Vu l"hypothèse faite au début sur nu, on sait également que : " x Î [ba,], 0)(lim= +¥®appu. Donc :
0=L. Conclusion : la suite (
nu) converge uniformément sur [ba,] vers la fonction nulle. g. On peut proposer la suite de fonctions ( nu) définie sur + par : " n Î , " x Î +, 1)(+=n xxu n, qui vérifie bien les hypothèses de l"exercice et qui évidemment ne converge pas uniformément sur
45. a. Il suffit pour commencer de constater que :
n Î , alors : 02>=-nh, et : $ (nnyx,) Î [ba,]2, h£-nnyx, et : e³-)()(nnyfxf. Puis la suite (
nx) est bornée et on en extrait une suite ()(nxa) convergente, et la suite ()(nya) étant elle- même bornée, on peut à nouveau en extraire une suite ( ))((nyba) convergente. Mais alors (
))((nxba) comme suite extraite d"une suite convergente est encore convergente. En posant :
bajo=, les suites ()(nxj) et ()(nyj)) sont bien convergentes respectivement vers x et y. On constate alors en passant à la limite dans : " n Î , )( )()(2n nnyxj jj-£-, que : 0£-yx, puisque ( )(nj) tend vers +¥, et donc que : yx=. Par ailleurs avec : "
n Î , ejj³-)()()()(nnyfxf, on obtient : e³-)()(yfxf, par continuité de f en x (ou en y) et donc : e³0, ce qui est impossible. Donc un tel
e n"existe pas et : " 0>e, $ 0>h, " (",xx) Î [ba,]2, (h£-"xx) B (e£-)"()(xfxf). b. Le n cherché est simplement celui que garantit l"affirmation précédente pour : 2 e> 0. c. Il est immédiat que les deux ensembles proposés forment bien une partition de n, car disjoints et de réunion égale à n. d. Puisque : " 1EkÎ, on a : h£-nkx, alors : 2)(
e£) -nkfxf, et en sommant ces inégalités : 2))1(.(2)1.(..2)1.(..2)1.(.2.0111
eeeee=-+=-)) 99
99
99
Î-nn
nknk Ekknk EkknkxxxxknxxknxxknS,
puisque tous les termes rajoutés sont positifs. Puis : "
2EkÎ, nkx- nkx- 1, d"où :
99
99
22
)1.(..sup.2)1.(..1.sup.2. 2 ]1,0[ 22
2 ]1,0[2 Ekknk EkknkxxnkxknfxxnkxfknShh, et enfin :
2]1,0[2
02 ]1,0[ 22".sup.2)1.(..sup.2SfxxnkxknfS
n kknk hh=-) 99
PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 5 -
e. Si pour : 1³n, on dérive la fonction de t : nytt)(+a, on obtient : 1 11).(...-
99
nn kknkytnytkkn, et en multipliant par t puis en prenant les valeurs : xt=, et : xy-=1, on obtient successivement : 1 011).(........-
99
99
nn kknkn kknkyttnytkknytkknt, puis : xnxnxxkknnn kknk.1..)1.(..1 0==-))
99
Enfin cette égalité est encore vraie pour :
0=n. En redérivant puis en remultipliant par t, on obtient encore (toujours avec : xt=, et : xy-=1) : 2³n, 21
112)).(1.(.).(...--
99
nnn kknkytntnytnytkkn, et : ])1(.[).(....2 12tnytyttnytkknnn
kknk-+++=)) 99
=-, d"où : )).1(1.(.)1.(.. 02xnxnxxkkn
n kknk 99
et cette dernière égalité est encore vraie pour : 0=n, ou : 1=n, comme on le vérifie à la main.
Enfin :
nxxxnxnnxnnxxxxnkxnkxknS n kknk)1.()).1(1.(..1...21.)1.(...2." 22
0 22
2 2-=-++-=-
'6 77
99
f. On peut alors remarquer que la fonction : )1.(xxx-a, est bornée par 4 1 sur [0,1], donc :
fnnfnxxfS ]1,0[2]1,0[2]1,0[22sup...21 .41.sup.2)1.(.sup.2hhh=£-£, puis : fnxfBxfn]1,0[2sup...21 2))(()(h
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Alors : "
x Î [1,a], 2.)1.(2 ..)1.(0)(0ppnn nanxxnxf-£-£-£, d"où : 2.)1.(0)(sup]1,[ pn naxanxf-£- Et comme la suite majorante tend vers 0, on en déduit la convergence uniforme de la suite ( nf) vers la fonction nulle, sur [1,a] ou sur [aa-1,].
40. Commençons par la convergence simple.
Soit x fixé dans , et distinguons deux cas :· si :
0)(=xf, alors la suite ()(xgn) est la suite nulle et elle converge vers : )(0xf=.
· si :
0)(¹xf, alors le dénominateur tend vers )(xf et la suite ()(xgn) tend vers : )()())((
2 xfxfxf=.Autrement dit, pour tout
x réel la suite ()(xgn) converge vers )(xf et la suite (ng) converge simplement sur vers f.Convergence uniforme sur :
Soient :
y Î *, et : 1³n.Alors :
)1.(1..1 1.1 11122222222
2 2 nyynyynnyyn yy y ny+++= , et donc :PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 2 -
" y Î *, nyyynnyy ny..21 ).2.(1...11112222£
On en déduit que :
n Î *, " x Î , tel que : 0)(¹=xfy, nnyy yy n yy xfxg n.21 ..21)()(22 2222=£-
Comme de plus, cette inégalité est encore vérifiée si :0)(=xf, on en déduit que (fgn-) est bornée
sur , et que : " n Î *, nfg nR.21sup£-.Finalement, la suite (
ng) converge uniformément sur vers f.41. a. Puisque la suite (
fun- [1,0[sup) converge vers 0, on en déduit que :0>e, $ 0n Î , " 0nn³, 2sup[1,0[
e£-fun, et donc avec l"inégalité triangulaire :0nn³, " 0np³, e£-+-£-fufuuupnpn[1,0[[1,0[[1,0[supsupsup.
Donc : "
0nn³, " 0np³, " x Î [0,1[, e£-£-pnpnuuxuxu
[1,0[sup)()(.Mais comme les fonctions
nu sont toutes continues sur [0,1], on peut faire tendre x vers 1 et :0nn³, " 0np³, e£-)1()1(pnuu.
Donc la suite (
)1(nu) est une suite de Cauchy et donc elle converge vers une valeur qu"on note )1(f. b. Montrons maintenant que la suite ( nu) converge uniformément sur [0,1] vers f.Pour cela, il suffit de dire que : "
n Î , ))1()1(,supmax(sup [1,0[]1,0[fufufunnn--£- (il y a même égalité), puis : " n Î , )1()1(supsup [1,0[]1,0[fufufunnn-+-£-. On en déduit par le théorème des gendarmes que ( fun- ]1,0[sup) tend vers 0.Il y a donc bien convergence uniforme de (
nu) sur [0,1] vers f (qui est d"ailleurs continue sur [0,1]).42. a. Remarquons que : " t Î [0,1],
'6 77Î21,0)(tf, puis que : " x Î [0,1], " n Î , ))(()(1xffxfnn=+.
On en déduit que : "
x Î [0,1], " 1³n, '6 77Î21,0)(xfn.
De plus : " t Î
'67721,0, 0).21.(.2)(2³-=-=-ttttttf, donc :
x Î [0,1], " 1³n, )())(()(1xfxffxfnnn³=+, et la suite ()(xfn)n³1 est croissante.Etant de plus majorée par
21, elle est donc convergente.
De plus :
· si :
0=x, ou : 1=x, alors la suite ()(xfn) est constante nulle donc converge vers 0.
· si :
x Î ]0,1[, 0)(>xf, et la suite ()(xfn) étant croissante, elle converge vers une limite dans ]0,1].
Or cette limite
L (puisque f est continue sur [0,1]) doit vérifier : LLf=)(, en passant à la limite dansPSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 3 -
la première égalité.Donc :
0=L, ou : 2
1=L.Finalement, pour :
x Î ]0,1[, ()(xfn) converge vers 2 1.La suite (
nf) converge donc simplement sur [0,1] vers la fonction u, constante égale à 21 sauf en 0 ou
en 1 ou elle vaut 0. b. Il est immédiat par récurrence que toutes les fonctions nf sont continues sur [0,1].Puisque
u n"est pas continue sur [0,1], il en peut y avoir convergence uniforme de (nf) sur [0,1].Soit maintenant :
210< On remarque que
f est croissante de '6 7721,0 dans
'6 7721,0, donc pour tout entier : 1³n, nf est
également croissante sur cet intervalle.
Donc : "
1³n, " x Î
'6 7721,a, )(2
1)()(xuxfafnn=££,
on en déduit que : )()()(2 1)( 2 1)()(auafafxfxuxfnnnn-=-£-=-, et :
1³n,)()(sup
]21,[ auafufnn a-£-. Enfin, puisque : "
x Î [0,1], )1()(xfxf-= on a finalement : )()(sup ]1,[auafufnnaa-£- On en déduit la convergence uniforme de (
nf) vers u sur [a, 1 - a]. 43. Pour
x réel et n entier non nul, on peut écrire : )(""..21)(".1)(1,2nxcfnxfnxfnxf++=) Et puisque
""f est bornée sur , on en déduit que : n Î *, " x Î , Mnxfxfnxfn..21)(")(1.£-)) où M est un majorant de ""f sur .
Donc : "
n Î *, Mnxfxfnxfn Rx..21)(")(1.sup£-))
ce qui montre que ( ng) converge uniformément sur vers "f. Remarque : on aurait aussi pu utiliser l"égalité de Taylor avec reste intégral. 44. a. On sait que : "
n Î , nu est continue et bornée sur le segment [ba,] et que le sup de nu est atteint sur [ ba,] en au moins une valeur qu"on note nx. b. On peut écrire successivement : n Î , nbannnnnbauxuxuu ],[1111],[sup)()(sup££=++++, notamment parce que la suite ( )(anu) est toujours décroissante (pour tout a dans [ba,]). Donc la suite (
nbau ],[sup) est bien décroissante et étant positive, elle admet une limite : 0³L. c. Soit : p Î . PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 4 -
Alors : " pn³, )()(sup
],[npnnnbaxuxuu£=. Donc puisque (
kbau ],[sup) décroît, on en déduit que : )(sup ],[npnbaxuuL££. d. La suite ( nx) étant une suite d"éléments du compact [ba,], il est possible d"en extraire une suite convergente ( )(nxj). e. L"inégalité obtenue en c. permet encore d"écrire : p Î , " n Î , tel que : pn³)(j, alors : )()(npxuLj£, ce qui se produit toujours à partir d"un certain rang puisque j est strictement croissante. Et si on fait tendre
n vers +¥, on en déduit que : " p Î , )(apuL£. f. Vu l"hypothèse faite au début sur nu, on sait également que : " x Î [ba,], 0)(lim= +¥®appu. Donc :
0=L. Conclusion : la suite (
nu) converge uniformément sur [ba,] vers la fonction nulle. g. On peut proposer la suite de fonctions ( nu) définie sur + par : " n Î , " x Î +, 1)(+=n xxu n, qui vérifie bien les hypothèses de l"exercice et qui évidemment ne converge pas uniformément sur
45. a. Il suffit pour commencer de constater que :
n Î , alors : 02>=-nh, et : $ (nnyx,) Î [ba,]2, h£-nnyx, et : e³-)()(nnyfxf. Puis la suite (
nx) est bornée et on en extrait une suite ()(nxa) convergente, et la suite ()(nya) étant elle- même bornée, on peut à nouveau en extraire une suite ( ))((nyba) convergente. Mais alors (
))((nxba) comme suite extraite d"une suite convergente est encore convergente. En posant :
bajo=, les suites ()(nxj) et ()(nyj)) sont bien convergentes respectivement vers x et y. On constate alors en passant à la limite dans : " n Î , )( )()(2n nnyxj jj-£-, que : 0£-yx, puisque ( )(nj) tend vers +¥, et donc que : yx=. Par ailleurs avec : "
n Î , ejj³-)()()()(nnyfxf, on obtient : e³-)()(yfxf, par continuité de f en x (ou en y) et donc : e³0, ce qui est impossible. Donc un tel
e n"existe pas et : " 0>e, $ 0>h, " (",xx) Î [ba,]2, (h£-"xx) B (e£-)"()(xfxf). b. Le n cherché est simplement celui que garantit l"affirmation précédente pour : 2 e> 0. c. Il est immédiat que les deux ensembles proposés forment bien une partition de n, car disjoints et de réunion égale à n. d. Puisque : " 1EkÎ, on a : h£-nkx, alors : 2)(
e£) -nkfxf, et en sommant ces inégalités : 2))1(.(2)1.(..2)1.(..2)1.(.2.0111
eeeee=-+=-)) 99
99
99
Î-nn
nknk Ekknk EkknkxxxxknxxknxxknS,
puisque tous les termes rajoutés sont positifs. Puis : "
2EkÎ, nkx- nkx- 1, d"où :
99
99
22
)1.(..sup.2)1.(..1.sup.2. 2 ]1,0[ 22
2 ]1,0[2 Ekknk EkknkxxnkxknfxxnkxfknShh, et enfin :
2]1,0[2
02 ]1,0[ 22".sup.2)1.(..sup.2SfxxnkxknfS
n kknk hh=-) 99
PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 5 -
e. Si pour : 1³n, on dérive la fonction de t : nytt)(+a, on obtient : 1 11).(...-
99
nn kknkytnytkkn, et en multipliant par t puis en prenant les valeurs : xt=, et : xy-=1, on obtient successivement : 1 011).(........-
99
99
nn kknkn kknkyttnytkknytkknt, puis : xnxnxxkknnn kknk.1..)1.(..1 0==-))
99
Enfin cette égalité est encore vraie pour :
0=n. En redérivant puis en remultipliant par t, on obtient encore (toujours avec : xt=, et : xy-=1) : 2³n, 21
112)).(1.(.).(...--
99
nnn kknkytntnytnytkkn, et : ])1(.[).(....2 12tnytyttnytkknnn
kknk-+++=)) 99
=-, d"où : )).1(1.(.)1.(.. 02xnxnxxkkn
n kknk 99
et cette dernière égalité est encore vraie pour : 0=n, ou : 1=n, comme on le vérifie à la main.
Enfin :
nxxxnxnnxnnxxxxnkxnkxknS n kknk)1.()).1(1.(..1...21.)1.(...2." 22
0 22
2 2-=-++-=-
'6 77
99
f. On peut alors remarquer que la fonction : )1.(xxx-a, est bornée par 4 1 sur [0,1], donc :
fnnfnxxfS ]1,0[2]1,0[2]1,0[22sup...21 .41.sup.2)1.(.sup.2hhh=£-£, puis : fnxfBxfn]1,0[2sup...21 2))(()(h
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
On remarque que
f est croissante de '67721,0 dans
'67721,0, donc pour tout entier : 1³n, nf est
également croissante sur cet intervalle.
Donc : "
1³n, " x Î
'67721,a, )(2
1)()(xuxfafnn=££,
on en déduit que : )()()(2 1)( 21)()(auafafxfxuxfnnnn-=-£-=-, et :
1³n,)()(sup
]21,[ auafufnn a-£-.Enfin, puisque : "
x Î [0,1], )1()(xfxf-= on a finalement : )()(sup ]1,[auafufnnaa-£-On en déduit la convergence uniforme de (
nf) vers u sur [a, 1 - a].43. Pour
x réel et n entier non nul, on peut écrire : )(""..21)(".1)(1,2nxcfnxfnxfnxf++=)Et puisque
""f est bornée sur , on en déduit que : n Î *, " x Î , Mnxfxfnxfn..21)(")(1.£-)) oùM est un majorant de ""f sur .
Donc : "
n Î *, MnxfxfnxfnRx..21)(")(1.sup£-))
ce qui montre que ( ng) converge uniformément sur vers "f. Remarque : on aurait aussi pu utiliser l"égalité de Taylor avec reste intégral.44. a. On sait que : "
n Î , nu est continue et bornée sur le segment [ba,] et que le sup de nu est atteint sur [ ba,] en au moins une valeur qu"on note nx. b. On peut écrire successivement : n Î , nbannnnnbauxuxuu ],[1111],[sup)()(sup££=++++, notamment parce que la suite ( )(anu) est toujours décroissante (pour tout a dans [ba,]).Donc la suite (
nbau ],[sup) est bien décroissante et étant positive, elle admet une limite : 0³L. c. Soit : p Î .PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 4 -
Alors : " pn³, )()(sup
],[npnnnbaxuxuu£=.Donc puisque (
kbau ],[sup) décroît, on en déduit que : )(sup ],[npnbaxuuL££. d. La suite ( nx) étant une suite d"éléments du compact [ba,], il est possible d"en extraire une suite convergente ( )(nxj). e. L"inégalité obtenue en c. permet encore d"écrire : p Î , " n Î , tel que : pn³)(j, alors : )()(npxuLj£, ce qui se produit toujours à partir d"un certain rang puisque j est strictement croissante.Et si on fait tendre
n vers +¥, on en déduit que : " p Î , )(apuL£. f. Vu l"hypothèse faite au début sur nu, on sait également que : " x Î [ba,], 0)(lim= +¥®appu.Donc :
0=L.Conclusion : la suite (
nu) converge uniformément sur [ba,] vers la fonction nulle. g. On peut proposer la suite de fonctions ( nu) définie sur + par : " n Î , " x Î +, 1)(+=n xxu n,qui vérifie bien les hypothèses de l"exercice et qui évidemment ne converge pas uniformément sur
45. a. Il suffit pour commencer de constater que :
n Î , alors : 02>=-nh, et : $ (nnyx,) Î [ba,]2, h£-nnyx, et : e³-)()(nnyfxf.Puis la suite (
nx) est bornée et on en extrait une suite ()(nxa) convergente, et la suite ()(nya) étant elle- même bornée, on peut à nouveau en extraire une suite ( ))((nyba) convergente.Mais alors (
))((nxba) comme suite extraite d"une suite convergente est encore convergente.En posant :
bajo=, les suites ()(nxj) et ()(nyj)) sont bien convergentes respectivement vers x et y. On constate alors en passant à la limite dans : " n Î , )( )()(2n nnyxj jj-£-, que : 0£-yx, puisque ( )(nj) tend vers +¥, et donc que : yx=.Par ailleurs avec : "
n Î , ejj³-)()()()(nnyfxf, on obtient : e³-)()(yfxf, par continuité de f en x (ou en y) et donc : e³0, ce qui est impossible.Donc un tel
e n"existe pas et : " 0>e, $ 0>h, " (",xx) Î [ba,]2, (h£-"xx) B (e£-)"()(xfxf). b. Le n cherché est simplement celui que garantit l"affirmation précédente pour : 2 e> 0. c. Il est immédiat que les deux ensembles proposés forment bien une partition de n, car disjoints et de réunion égale à n. d. Puisque : "1EkÎ, on a : h£-nkx, alors : 2)(
e£) -nkfxf, et en sommant ces inégalités :2))1(.(2)1.(..2)1.(..2)1.(.2.0111
eeeee=-+=-)) 9999
99
Î-nn
nknk EkknkEkknkxxxxknxxknxxknS,
puisque tous les termes rajoutés sont positifs.Puis : "
2EkÎ, nkx- nkx- 1, d"où :
99
99
22
)1.(..sup.2)1.(..1.sup.2. 2 ]1,0[ 22
2 ]1,0[2 Ekknk EkknkxxnkxknfxxnkxfknShh, et enfin :
2]1,0[2
02 ]1,0[ 22".sup.2)1.(..sup.2SfxxnkxknfS
n kknk hh=-) 99
PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 5 -
e. Si pour : 1³n, on dérive la fonction de t : nytt)(+a, on obtient : 1 11).(...-
99
nn kknkytnytkkn, et en multipliant par t puis en prenant les valeurs : xt=, et : xy-=1, on obtient successivement : 1 011).(........-
99
99
nn kknkn kknkyttnytkknytkknt, puis : xnxnxxkknnn kknk.1..)1.(..1 0==-))
99
Enfin cette égalité est encore vraie pour :
0=n. En redérivant puis en remultipliant par t, on obtient encore (toujours avec : xt=, et : xy-=1) : 2³n, 21
112)).(1.(.).(...--
99
nnn kknkytntnytnytkkn, et : ])1(.[).(....2 12tnytyttnytkknnn
kknk-+++=)) 99
=-, d"où : )).1(1.(.)1.(.. 02xnxnxxkkn
n kknk 99
et cette dernière égalité est encore vraie pour : 0=n, ou : 1=n, comme on le vérifie à la main.
Enfin :
nxxxnxnnxnnxxxxnkxnkxknS n kknk)1.()).1(1.(..1...21.)1.(...2." 22
0 22
2 2-=-++-=-
'6 77
99
f. On peut alors remarquer que la fonction : )1.(xxx-a, est bornée par 4 1 sur [0,1], donc :
fnnfnxxfS ]1,0[2]1,0[2]1,0[22sup...21 .41.sup.2)1.(.sup.2hhh=£-£, puis : fnxfBxfn]1,0[2sup...21 2))(()(h
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1, d"où :
9999
22
)1.(..sup.2)1.(..1.sup.2. 2 ]1,0[ 22
2 ]1,0[2 Ekknk
EkknkxxnkxknfxxnkxfknShh, et enfin :
2]1,0[2
02 ]1,0[22".sup.2)1.(..sup.2SfxxnkxknfS
n kknk hh=-) 99PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions (Exercices : corrigé niveau 3). - 5 -
e. Si pour : 1³n, on dérive la fonction de t : nytt)(+a, on obtient : 111).(...-
99nn kknkytnytkkn, et en multipliant par t puis en prenant les valeurs : xt=, et : xy-=1, on obtient successivement : 1
011).(........-
9999
nn kknkn kknkyttnytkknytkknt, puis : xnxnxxkknnn kknk.1..)1.(..1
0==-))
99Enfin cette égalité est encore vraie pour :
0=n. En redérivant puis en remultipliant par t, on obtient encore (toujours avec : xt=, et : xy-=1) :2³n, 21
112)).(1.(.).(...--
99nnn kknkytntnytnytkkn, et : ])1(.[).(....2
12tnytyttnytkknnn
kknk-+++=)) 99=-, d"où : )).1(1.(.)1.(..
02xnxnxxkkn
n kknk 99et cette dernière égalité est encore vraie pour :
0=n, ou : 1=n, comme on le vérifie à la main.
Enfin :
nxxxnxnnxnnxxxxnkxnkxknS n kknk)1.()).1(1.(..1...21.)1.(...2." 220 22
2
2-=-++-=-
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f. On peut alors remarquer que la fonction : )1.(xxx-a, est bornée par 4