Fonction exponentielle et fonction logarithmique

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Fonction exponentielleet fonction logarithmique

5

5.1Rappel

Nous nous sommes jusqu"à maintenant limités à l"étude des fonctionsalgébriques. Nous sommes par conséquent familiers avec des fonctionstelles

ƒ(x) = x

2 ou g(x) = ⎷‾x .

Ces deux fonctions ont pour caractéristique d"être définies à l"aide d"uneexpression contenant une variable élevée à une puissance constante. Eninversant les rôles et en élevant une constante (non négative et différentede l"unité) à une puissance variable, on obtient une des plus importantesclasses de fonctions qui existent en mathématiques, la fonctionexponentielle. En voici deux exemples:

ƒ(x) = 2

x , g(x) = 1 2 x

La fonction exponentielle possède une fonction inverse toute aussiimportante, la fonction logarithmique.

Avant d"aborder l"étude de ces fonctions, rappelons d"abord lespropriétés des exposants que l"on aura souvent l"occasion d"utiliser danscette section.

propriétés desexposants bien que ces propriétés aient été utilisées jusqu"ici uniquement avec des exposants rationnels, elles demeurent néanmoins valables lorsque l"exposant est un nombre irrationnel

Soit a, b > 0 et m, n ? R.

1) b 0 = 1 5) (b n m = b nm 2) b -n = 1 b n 6) a n b n = (ab) n 3) b n b m = b n+m

7) a

n b n = (( ))a b n 4)b n b m = b n-m exemples 5.1.1Montrer que (2a 2 1/2 8 1/6 a -1 = a 2 (a > 0 ) ____________

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-2

a)la fonction exponentielle définition 5.1.1 fonction exponentielle

La fonction définie par l"équation

y = b x ( b > 0 et b ≠ 1 ) est appelée fonction exponentielle de base b . exemple 5.1.2 les équations y = 1 x ou y = (-2) x ne définissent pas des fonctions exponentielles

Les équations

y = 3 x, y = 1 5 x ,y = 10 x ,y = (1,01) x y = (0,9) x ,y = π x ,y = e x (e = 2,718...) définissent dans chacun des cas une fonction exponentielle.

Euler (1707-1783)

Dans le dernier cas, la fonction exponentielle est de base e = 2,718 281 828 459 045 235 36...

Ce nombre irrationnel est en fait un des plus importants que l"on retrouveen mathématiques. Il a été introduit en sciences vers 1748 par lemathématicien suisse Euler. Celui-ci le qualifia de nombre transcendant.On dit d"un nombre qu"il est transcendant s"il ne peut être racined"aucune équation algébrique dont les coefficients sont des entiers. PourEuler, ce nombre semblait "transcender la puissance des méthodesalgébriques de son temps".

Le nombre e est la base par excellence utilisée en sciences. On verra quelorsque la valeur de e est utilisée comme base d"une fonctionexponentielle, cette fonction devient une des plus faciles à dériver et parvoie de conséquence, une des plus faciles à étudier.

graphiquede la fonctionexponentielled"équation

Fonction exponentielleet fonction logarithmique

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5.1Rappel

Nous nous sommes jusqu"à maintenant limités à l"étude des fonctionsalgébriques. Nous sommes par conséquent familiers avec des fonctionstelles

ƒ(x) = x

2 ou g(x) = ⎷‾x .

Ces deux fonctions ont pour caractéristique d"être définies à l"aide d"uneexpression contenant une variable élevée à une puissance constante. Eninversant les rôles et en élevant une constante (non négative et différentede l"unité) à une puissance variable, on obtient une des plus importantesclasses de fonctions qui existent en mathématiques, la fonctionexponentielle. En voici deux exemples:

ƒ(x) = 2

x , g(x) = 1 2 x

La fonction exponentielle possède une fonction inverse toute aussiimportante, la fonction logarithmique.

Avant d"aborder l"étude de ces fonctions, rappelons d"abord lespropriétés des exposants que l"on aura souvent l"occasion d"utiliser danscette section.

propriétés desexposants bien que ces propriétés aient été utilisées jusqu"ici uniquement avec des exposants rationnels, elles demeurent néanmoins valables lorsque l"exposant est un nombre irrationnel

Soit a, b > 0 et m, n ? R.

1) b 0 = 1 5) (b n m = b nm 2) b -n = 1 b n 6) a n b n = (ab) n 3) b n b m = b n+m

7) a

n b n = (( ))a b n 4)b n b m = b n-m exemples 5.1.1Montrer que (2a 2 1/2 8 1/6 a -1 = a 2 (a > 0 ) ____________

5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)

André Lévesque5-2

a)la fonction exponentielle définition 5.1.1 fonction exponentielle

La fonction définie par l"équation

y = b x ( b > 0 et b ≠ 1 ) est appelée fonction exponentielle de base b . exemple 5.1.2 les équations y = 1 x ou y = (-2) x ne définissent pas des fonctions exponentielles

Les équations

y = 3 x, y = 1 5 x ,y = 10 x ,y = (1,01) x y = (0,9) x ,y = π x ,y = e x (e = 2,718...) définissent dans chacun des cas une fonction exponentielle.

Euler (1707-1783)

Dans le dernier cas, la fonction exponentielle est de base e = 2,718 281 828 459 045 235 36...

Ce nombre irrationnel est en fait un des plus importants que l"on retrouveen mathématiques. Il a été introduit en sciences vers 1748 par lemathématicien suisse Euler. Celui-ci le qualifia de nombre transcendant.On dit d"un nombre qu"il est transcendant s"il ne peut être racined"aucune équation algébrique dont les coefficients sont des entiers. PourEuler, ce nombre semblait "transcender la puissance des méthodesalgébriques de son temps".

Le nombre e est la base par excellence utilisée en sciences. On verra quelorsque la valeur de e est utilisée comme base d"une fonctionexponentielle, cette fonction devient une des plus faciles à dériver et parvoie de conséquence, une des plus faciles à étudier.

graphiquede la fonctionexponentielled"équation