Exponentielle et logarithme
ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs
exponentielle et logarithme
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
La fonction logarithme népérien notée ln
Texplog
formulaire.pdf
Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln(. √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α
formulaire
Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme
ln x x. =0. On souligne dans les cadres algébrique et graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES exponentielle et logarithme népérien : S ES/L
mathematiques fonctions exponentielles le cours
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Conséquences :.
LogTESL
RAPPELS EXP ET FONCTION LN
Rappels sur la fonction exponentielle . La réciprocité des fonctions exponentielle et logarithme népérien ont pour conséquence directe une.
Fonction exp ln
Fonctions exponentielles et logarithmes - L'Etudiant
logarithme étant la réciproque de l'exponentielle ses propriétés découlent La fonction logarithme népérien
Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths
1.3 Définition. On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction exponentielle. On la note ln. La fonction ln est donc définie sur
expln
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ à valeurs dans. 0;+∞⎤⎦⎡⎣ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires
LogTS
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1 FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1. a) =0 -3=-2 +2-3=0Δ=2
-4×1× -3 =16Donc =
!2 =-3 ou = ,(3 !2 =1Les solutions sont -3 et 1.
2 0 +1 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5 b) ≥1 ⟺4-1≥0 4L'ensemble des solutions est l'intervalle M
;+∞M. Méthode : Étudier une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/_MA1aW8ldjo
Soit f la fonction définie sur ℝ par YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1. a) =0 -3=-2 +2-3=0Δ=2
-4×1× -3 =16Donc =
!2 =-3 ou = ,(3 !2 =1Les solutions sont -3 et 1.
2 0 +1 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5 b) ≥1 ⟺4-1≥0 4L'ensemble des solutions est l'intervalle M
;+∞M. Méthode : Étudier une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/_MA1aW8ldjo
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