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Chapitre 1 : La production
2015/2016. 1ère BAC SEG/ Matière : Economie et statistique. Page 1 Cours particulier de Math donné par le professeur Aziz. X b- Type de travail.
chapitre la production corrige
LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI EXERCICE (1) On considère dans ()3M l'ensemble ( ) ( )20, 0 0 0 / ,2 0 2x yH M x y x yy x y = = Î - +
On pose ()1,0J M= et ()0,1K M= 1) montrer que (), ,H+ est un espace vectoriel et que (),J K est une base de H 2) a) montrer que 2 22 2 ;K J K J J= - + = et JK KJ K= = b) déduire que ()()(), ", " " 2 ", " " 2 "M x y M x y M xx yy xy x y yy´ = - + + 3) soit j l'application qui lie toute matrice (),M x y au nombre complexe ()Z x y iy= + + a) montrer que j est bijective de H vers et ()()()1,Z a ib Z M a b bj-" = + Î = - b) montrer que j est un morphisme de (),H´ vers (),´ 4) déduire que (), ,H+ ´ est un corps commutatif 5) on pose 3 4,5 5B M =
et ()1,1A M= - a) déterminer l'inverse de B et montrer que 2017A A= b) résoudre dans H l'équation 20X J+ = EXERCICE (2) ()Isoit m un nombre complexe . on considère dans l'équation ()()()( )- + + + + - + =2 22 5 2 1 2 5 0E z m i z m i m i et on pose ()()24 4 1 4 15 8P m m m i i= - - - + + 1) a) vérifier que ( ) ( )22 4P m im i= + + b) résoudre l'équation ()E 2) déterminer les valeurs de m pour lesquelles m est solution de ()E ()IIle plan()P est muni d'un repère orthonormé direct (), ,O u v . On considère les deux application fet g : ()()( ) ( )( ):" " 1 2 3f P PM Z M Z i Z i®® = + + + ()()( ) ( )( ):" "" 1 2 2g P PM Z M Z i Z i®® = - - + 1) on pose ()()1M g f M= a) montrer que l'affixe de 1M s'écrit ()13 3 2 3 3Z i Z i+ + = + + b) déduire la nature de g f et ses éléments caractéristiques 2) a) montrer que " " 5 4Z iZ i= - - + b) montrer que "M est l'image de "M par une rotation en déterminant le centre W et l'angle
LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI c) déterminer en fonction de Z l'affixe IZdu point I milieu " "M M 3) montrer que si "M est différent de W alors ()WIet ()" ""M M sont perpendiculaire EXERCICE (3)
n !2 11......1nn foisa=" "#9 10 1nna= -$"%%#20162017a&%2017$ ""p m%' #2p m£ < "#10pm p m pa a a-- =$"#1963m pa a º1963m pa-
"%%#('$N#( 1%)$1963PROBLÈME ()I"#()1xx e x-" Î ³"m%1, +¥ mg
*()()lnmg x x m x m= - - ()limmxg x®+¥()00limmxxg x®>$"%) %mg ()0mg x= %'1ma#1mmea->%")#24 5a< <()II f%*+ *( )( )2ln; 11xf x xx= ¹-()1 0f=" ()limxf x®+¥()00limxxf x®>$")#f 1 % $%f 1" "#{ }()( )( )( )*22ln1 "1xx f x g xx x+" Î - =-$"#( )222214faaa-=% %f&%24,9a "()IIIFG%1, +¥
*( )()1xf tF x dtt=( )( )221lnxtG x dtt=LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI 1) montrer que ( ) ( )( )211 2 ln 2ln 2x G x x xx " > = - + +
et calculer ()limxG x®+¥ 2) on suppose que ()limxF x l®+¥= un nombre fini . montrer que ()0 4 2l F< < + ()IV pour tout n de * on considère les fonctions nG et nF définies sur 1, +¥ par : ( )()11xnnf tF x dtt+= et ( )( )211lnxnntG x dtt+= 1) montrer que ( ) ( )()2224 11 0nx F xnaa-" ³ £ £ 2) en utilisant un changement de variable nt u= montrer que ( )( )31nnG x G xn= puis déduire ()limnxG x®+¥ 3) montrer que ( ) ( ) ( )1k nk nkG x F x F x=== - 4) on pose ()limn nxU F x®+¥= montrer que 3112k nnkl Uk==- = 5) montrer que 311lim2k nnklk=®+¥== Bonne chance
LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI EXERCICE (1) On considère dans ()3M l'ensemble ( ) ( )20, 0 0 0 / ,2 0 2x yH M x y x yy x y = = Î - +
On pose ()1,0J M= et ()0,1K M= 1) montrer que (), ,H+ est un espace vectoriel et que (),J K est une base de H 2) a) montrer que 2 22 2 ;K J K J J= - + = et JK KJ K= = b) déduire que ()()(), ", " " 2 ", " " 2 "M x y M x y M xx yy xy x y yy´ = - + + 3) soit j l'application qui lie toute matrice (),M x y au nombre complexe ()Z x y iy= + + a) montrer que j est bijective de H vers et ()()()1,Z a ib Z M a b bj-" = + Î = - b) montrer que j est un morphisme de (),H´ vers (),´ 4) déduire que (), ,H+ ´ est un corps commutatif 5) on pose 3 4,5 5B M =
et ()1,1A M= - a) déterminer l'inverse de B et montrer que 2017A A= b) résoudre dans H l'équation 20X J+ = EXERCICE (2) ()Isoit m un nombre complexe . on considère dans l'équation ()()()( )- + + + + - + =2 22 5 2 1 2 5 0E z m i z m i m i et on pose ()()24 4 1 4 15 8P m m m i i= - - - + + 1) a) vérifier que ( ) ( )22 4P m im i= + + b) résoudre l'équation ()E 2) déterminer les valeurs de m pour lesquelles m est solution de ()E ()IIle plan()P est muni d'un repère orthonormé direct (), ,O u v . On considère les deux application fet g : ()()( ) ( )( ):" " 1 2 3f P PM Z M Z i Z i®® = + + + ()()( ) ( )( ):" "" 1 2 2g P PM Z M Z i Z i®® = - - + 1) on pose ()()1M g f M= a) montrer que l'affixe de 1M s'écrit ()13 3 2 3 3Z i Z i+ + = + + b) déduire la nature de g f et ses éléments caractéristiques 2) a) montrer que " " 5 4Z iZ i= - - + b) montrer que "M est l'image de "M par une rotation en déterminant le centre W et l'angle
LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI c) déterminer en fonction de Z l'affixe IZdu point I milieu " "M M 3) montrer que si "M est différent de W alors ()WIet ()" ""M M sont perpendiculaire EXERCICE (3)
n !2 11......1nn foisa=" "#9 10 1nna= -$"%%#20162017a&%2017$ ""p m%' #2p m£ < "#10pm p m pa a a-- =$"#1963m pa a º1963m pa-
"%%#('$N#( 1%)$1963PROBLÈME ()I"#()1xx e x-" Î ³"m%1, +¥ mg
*()()lnmg x x m x m= - - ()limmxg x®+¥()00limmxxg x®>$"%) %mg ()0mg x= %'1ma#1mmea->%")#24 5a< <()II f%*+ *( )( )2ln; 11xf x xx= ¹-()1 0f=" ()limxf x®+¥()00limxxf x®>$")#f 1 % $%f 1" "#{ }()( )( )( )*22ln1 "1xx f x g xx x+" Î - =-$"#( )222214faaa-=% %f&%24,9a "()IIIFG%1, +¥
*( )()1xf tF x dtt=( )( )221lnxtG x dtt=LYCÉE JAAFAR ELFASSI ELFEHRI 1) montrer que ( ) ( )( )211 2 ln 2ln 2x G x x xx " > = - + +
et calculer ()limxG x®+¥ 2) on suppose que ()limxF x l®+¥= un nombre fini . montrer que ()0 4 2l F< < + ()IV pour tout n de * on considère les fonctions nG et nF définies sur 1, +¥ par : ( )()11xnnf tF x dtt+= et ( )( )211lnxnntG x dtt+= 1) montrer que ( ) ( )()2224 11 0nx F xnaa-" ³ £ £ 2) en utilisant un changement de variable nt u= montrer que ( )( )31nnG x G xn= puis déduire ()limnxG x®+¥ 3) montrer que ( ) ( ) ( )1k nk nkG x F x F x=== - 4) on pose ()limn nxU F x®+¥= montrer que 3112k nnkl Uk==- = 5) montrer que 311lim2k nnklk=®+¥== Bonne chance