LIMITE DUNE FONCTION - AlloSchool

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1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 1 IHH G FH I) RAPPELLES ET COMPLEMENTS. Le centre de linteralle est le réel Le rayon de linteralle est le réel positif Activité : Dterminer les bornes dun interalle ouert de centre et de rayon (deux réels données) Définition : Lensemble : où est le centre de linteralle , sappelle linteralle pointé de bornes et . Remarque : Si est le rayon de linteralle et son centre alors : Activité : Montrer que - Activité : 1-Rappeler limage dun ensemble par une application. 2- Rappeler 3- Traduire en utilisant les valeurs absolues : II) LIMITE NULLE EN 0. Considérons la fonction : 1- Dterminer lensemble de dfinition de . 2- Ecrire des expressions de sur des intervalles sans valeur absolue. 3- La courbe de est ci-contre : a)- Déterminer un réel tel que : -- b)- Déterminer un réel tel que : - - c)- Déterminer un réel tel que : En répondant à la question 3-c) on peut conclure que : --- On dit que la fonction admet 0 comme limite en 0. et on écrit : - Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre 0. On dit que admet la limite 0 en 0 si elle vérifie la propriété suivante : ---. On écrit : -.

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 2 Remarques : Le faite que est définie sur un intervalle pointé est essentielle. est définie en 0 et nadmet pas de limite en 0. -. On a pas préciser si dans la définition si est définie en 0 ou non, même si est dfinie en 0, limage de en 0 naffecte pas sur la limite. -- - - On a : - et - Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre 0 et si - alors - Propriété : Les fonctions : ; ; tendent vers 0 quand rend vers 0. III) LIMITE FINIE EN . Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre et un réel. On dit que la fonction tend vers quand tend vers si : -. c.-à-d. : --- Exercice : Montrer en utilisant la définition que : (- -. Propriété : Si est une fonction polynôme alors : Une fonction polynôme cest une fonction ui scrit de la forme : Exemple : . Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et - alors Application : Déterminer : . Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre et si alors

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 3 Exemple : On se propose dtudier la limite de la fonction en 0. On remarque que (on a multiplié par le conjugué) Dautre part : et puisque : - alors - et par suite : -. Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et si alors Propriété : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre ; on a : -- Remarque : Propriété : Si admet une limite en alors cette limite est unique. III) LIMITE A DROITE, LIMITE A GAUCHE. 1) Définition Activité : Soit la fonction où désigne la partie entière. 1- Ecrire les expressions de sans utiliser la partie entière sur les intervalles - et -. 2- Construire la courbe de la restriction de sur --. 3- La fonction admet-elle une limite en 1. 4- Soit la fonction et a) Remarquer que et sont confondues sur - et que et sont confondues sur - b) déterminer les limite de et de en 1. Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme où - et un réel. On dit que la fonction tend vers quand tend vers à droite si la proposition suivante est vraie : --- Et on écrit : ou

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 4 Exercice : La courbe ci-contre est la courbe de la fonction définie par morceaux comme suite : - - Déterminer graphiquement les limites de la fonction à droite et à gauche de 2. Exercice : Soit la fonction définie par : - Déterminer pour que la fonction admet une limite en . Théorème : Une fonction admet une limite en si et seulement si elle admet une limite à droite de égale à sa limite à gauche de égale à . 2) Propriétés Toutes les propriétés mentionnées au paravent sont vraie à droite et à gauche de en tenant compte des conditions Propriété : Si sur un intervalle de la forme on a: et - alors Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle de la forme et si alors Propriété : Si sur un intervalle de la forme on a : et si alors On peut citer les même propriétés à gauche de . 3) Opérations sur les limites finies. Propriété : Soient et deux fonctions tels que : on a :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 5 - - - Ces proprits sont raies droite et gauche dun rel . Exemple : IV) EXTENTION DE LA NOTION DE LIMITE. 1) Limite infinie à droite (à gauche) de . Activité : Considérons la fonction La courbe représentative de est lhyperbole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si - alors - Montrer que : (P) : --- La proprit (P) eut dire uon peut rendre aussi grand uon veut ; on dit que la limite de est quand tend vers 0 à droite et on écrit : Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme où -, on dit que la fonction tend vers quand tend vers adroite si --- On écrit : Propriétés : les fonctions ; et où un réel strictement positif et , tendent vers quand tend vers 0. Définitions : : --- : --- : ---

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 6 Interprétations géométriques : Exercice : Complter linterprtation gomtriue. Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ; ; ou Alors, on dit que la droite est une asymptote verticale. 2) Limites finies en Activité :Considérons la fonction La courbe représentative de est lhyperbole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si alors En général, montrer que : (P) : -- Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme ( un réel quelconque) et un réel, on dit que la fonction tend quand tend vers si : -- On écrit :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 7 Propriétés : les fonctions ; et où un réel donné et , tendent vers 0 quand tend vers . Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme ( un réel quelconque) et un réel, on dit que la fonction tend quand tend vers si : -- On écrit : Interprétation géométrique : Completer les autres intérprétations. Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ou Alors, on dit que la droite est une asymptote horizontale. Remarque : La position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale se détermine par le signe de : Si - alors est au-dessus de Si - alors est au-dessous de 3) Limite infinies en

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 8 Activité : Considérons la fonction ( La courbe représentative de est la parabole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si alors En général, montrer que : (P) : -- Définition : Soit une fonction (où est un réel quelconque) on dit que la fonction tend vers quand tend vers si : -- ; on écrit : Propriété : Les fonctions ( ; ; et tendent quand tend vers Définitions : o si -- o si -- o si -- o si -- Remarque : Pour linterprtation gomtriue, il y a plusieurs cas uon va étudier par la suite (Etude de fonction). V) OPERATIONS SUR LES LIMITES. 1) Limites et ordres. Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et - alors Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre et si alors Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et si alors Les propriétés précédentes sont vraies si tend vers à droite, ou à gauche , ou ou en tenant compte des conditions pour chaque cas.

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 9 Propriété Si sur un intervalle de la forme on a : et alors : Si sur un intervalle de la forme on a : et alors : La propriété précédente est vraie si tend vers à gauche , ou ou en tenant compte des conditions pour chaque cas. Exercice : Soit ( 1- Montrer que 2- En déduire 2) Opérations sur les limites Toutes les propriétés qui seront citées dans ce paragraphe sous forme de tableau sont admises et on peut les démontrer en utilisant les définitions des limites. 1) Limite de la somme Formes indéterminées Ces propriétés sont vraies si tend vers ou Formes indéterminées Veut dire uon peut pas calculer la limite directement, il faut faire dautres calcules car il y a plusieurs cas. Exemples : -( , ( on a ; et -( , on a ; et (( Dans les deux exemples on a le même cas que dans la dernière colonne du tableau mais on a deux résultats différents 2) Limites des produits - ou - ou - Formes indéterminées 3) Limites des inverses - - -

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 10 - Remarque : - veut dire que tend vers 0 mais de la droite. - - - - chose uon oit bien sur la courbe de la fonction 3) Limites des quotients - ou - ou - - - - - - - Formes indéterminées Formes indéterminées Exemple : On veut déterminer la on a : On a : -- Donc Remarque : Eiter dcrire ces epressions ui nont pas de sens mathmatiue : , Ne pas utiliser ou dans les opérations dans ( et ne sont pas des réels) Exercices Déterminer les limites suivantes :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 11 Soit une fonction polynôme de degré tel que : avec - On a : puisque alors Même chose si tend vers Propriété : La limite dune fonction polynme en est la limite de son plus grand terme en Une fonction rationnelle est le rapport de deux fonctions polynômes : où : avec - et avec - et puisque : et alors Même chose si tend vers Propriété : La limite dune fonction rationnelle en est la limite du rapport des termes de plus grand degré en Exemples : 1- - 2- Remarque : La proprit prcdente nest raie ue si tend vers ou Exercice : Déterminer vous pouvez poser 5) Limites des fonctions trigonométriques. Activité : Dans le plan muni dun repre , On considère le cercle trigonomtriue dorigine -. - et le point sur le cercle trigonométrique tel que : -. 1-Déterminer en fonction de la surface du domaine circulaire limité par , et larc gomtriue 2- Soit la projection orthogonale de sur . a) Déterminer en fonction de laire du triangle

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 12 b) Comparer les aires du domaine et du triangle , que peut-on conclure ? 3- Montrer que : . 4- Déterminer les limites ; et 5- Considérons la droite la droite tangente au cercle en a) Soit lintersection de et , Déterminer en fonction de la surface de b) En déduire que - c) En déduire que 6- En utilisant les résultats précédents. Montrer que : a) b) c) ( Propriété : Soit un réel on a : si Propriété : a. b. c. ( Exercices : Déterminer les limites suivantes : ( VI) COMPLEMENT Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre , on dit que est continue en si elle admet une limite finie en qui est égale à . continue en si . Exemples : 1. Toute fonction polynôme est continue en pour tout dans , si est une fonction polynôme alors .

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 13 2. Toute fonction rationnelle est continue en si . si est une fonction rationnelle et alors . 3. Les fonctions et sont continues en pour tout dans . Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (- on dit que est continue à droite de si :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 1 IHH G FH I) RAPPELLES ET COMPLEMENTS. Le centre de linteralle est le réel Le rayon de linteralle est le réel positif Activité : Dterminer les bornes dun interalle ouert de centre et de rayon (deux réels données) Définition : Lensemble : où est le centre de linteralle , sappelle linteralle pointé de bornes et . Remarque : Si est le rayon de linteralle et son centre alors : Activité : Montrer que - Activité : 1-Rappeler limage dun ensemble par une application. 2- Rappeler 3- Traduire en utilisant les valeurs absolues : II) LIMITE NULLE EN 0. Considérons la fonction : 1- Dterminer lensemble de dfinition de . 2- Ecrire des expressions de sur des intervalles sans valeur absolue. 3- La courbe de est ci-contre : a)- Déterminer un réel tel que : -- b)- Déterminer un réel tel que : - - c)- Déterminer un réel tel que : En répondant à la question 3-c) on peut conclure que : --- On dit que la fonction admet 0 comme limite en 0. et on écrit : - Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre 0. On dit que admet la limite 0 en 0 si elle vérifie la propriété suivante : ---. On écrit : -.

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 2 Remarques : Le faite que est définie sur un intervalle pointé est essentielle. est définie en 0 et nadmet pas de limite en 0. -. On a pas préciser si dans la définition si est définie en 0 ou non, même si est dfinie en 0, limage de en 0 naffecte pas sur la limite. -- - - On a : - et - Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre 0 et si - alors - Propriété : Les fonctions : ; ; tendent vers 0 quand rend vers 0. III) LIMITE FINIE EN . Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre et un réel. On dit que la fonction tend vers quand tend vers si : -. c.-à-d. : --- Exercice : Montrer en utilisant la définition que : (- -. Propriété : Si est une fonction polynôme alors : Une fonction polynôme cest une fonction ui scrit de la forme : Exemple : . Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et - alors Application : Déterminer : . Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre et si alors

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 3 Exemple : On se propose dtudier la limite de la fonction en 0. On remarque que (on a multiplié par le conjugué) Dautre part : et puisque : - alors - et par suite : -. Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et si alors Propriété : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre ; on a : -- Remarque : Propriété : Si admet une limite en alors cette limite est unique. III) LIMITE A DROITE, LIMITE A GAUCHE. 1) Définition Activité : Soit la fonction où désigne la partie entière. 1- Ecrire les expressions de sans utiliser la partie entière sur les intervalles - et -. 2- Construire la courbe de la restriction de sur --. 3- La fonction admet-elle une limite en 1. 4- Soit la fonction et a) Remarquer que et sont confondues sur - et que et sont confondues sur - b) déterminer les limite de et de en 1. Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme où - et un réel. On dit que la fonction tend vers quand tend vers à droite si la proposition suivante est vraie : --- Et on écrit : ou

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 4 Exercice : La courbe ci-contre est la courbe de la fonction définie par morceaux comme suite : - - Déterminer graphiquement les limites de la fonction à droite et à gauche de 2. Exercice : Soit la fonction définie par : - Déterminer pour que la fonction admet une limite en . Théorème : Une fonction admet une limite en si et seulement si elle admet une limite à droite de égale à sa limite à gauche de égale à . 2) Propriétés Toutes les propriétés mentionnées au paravent sont vraie à droite et à gauche de en tenant compte des conditions Propriété : Si sur un intervalle de la forme on a: et - alors Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle de la forme et si alors Propriété : Si sur un intervalle de la forme on a : et si alors On peut citer les même propriétés à gauche de . 3) Opérations sur les limites finies. Propriété : Soient et deux fonctions tels que : on a :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 5 - - - Ces proprits sont raies droite et gauche dun rel . Exemple : IV) EXTENTION DE LA NOTION DE LIMITE. 1) Limite infinie à droite (à gauche) de . Activité : Considérons la fonction La courbe représentative de est lhyperbole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si - alors - Montrer que : (P) : --- La proprit (P) eut dire uon peut rendre aussi grand uon veut ; on dit que la limite de est quand tend vers 0 à droite et on écrit : Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme où -, on dit que la fonction tend vers quand tend vers adroite si --- On écrit : Propriétés : les fonctions ; et où un réel strictement positif et , tendent vers quand tend vers 0. Définitions : : --- : --- : ---

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 6 Interprétations géométriques : Exercice : Complter linterprtation gomtriue. Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ; ; ou Alors, on dit que la droite est une asymptote verticale. 2) Limites finies en Activité :Considérons la fonction La courbe représentative de est lhyperbole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si alors En général, montrer que : (P) : -- Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme ( un réel quelconque) et un réel, on dit que la fonction tend quand tend vers si : -- On écrit :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 7 Propriétés : les fonctions ; et où un réel donné et , tendent vers 0 quand tend vers . Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme ( un réel quelconque) et un réel, on dit que la fonction tend quand tend vers si : -- On écrit : Interprétation géométrique : Completer les autres intérprétations. Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ou Alors, on dit que la droite est une asymptote horizontale. Remarque : La position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale se détermine par le signe de : Si - alors est au-dessus de Si - alors est au-dessous de 3) Limite infinies en

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 8 Activité : Considérons la fonction ( La courbe représentative de est la parabole de centre -- 1- Compléter le tableau suivant : - - - - Que remarquer-vous ? Considérons - déterminer un réel tel que si alors En général, montrer que : (P) : -- Définition : Soit une fonction (où est un réel quelconque) on dit que la fonction tend vers quand tend vers si : -- ; on écrit : Propriété : Les fonctions ( ; ; et tendent quand tend vers Définitions : o si -- o si -- o si -- o si -- Remarque : Pour linterprtation gomtriue, il y a plusieurs cas uon va étudier par la suite (Etude de fonction). V) OPERATIONS SUR LES LIMITES. 1) Limites et ordres. Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et - alors Propriété : Si et sont confondues sur un intervalle pointé de centre et si alors Propriété : Si sur un intervalle pointé de centre on a : et si alors Les propriétés précédentes sont vraies si tend vers à droite, ou à gauche , ou ou en tenant compte des conditions pour chaque cas.

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 9 Propriété Si sur un intervalle de la forme on a : et alors : Si sur un intervalle de la forme on a : et alors : La propriété précédente est vraie si tend vers à gauche , ou ou en tenant compte des conditions pour chaque cas. Exercice : Soit ( 1- Montrer que 2- En déduire 2) Opérations sur les limites Toutes les propriétés qui seront citées dans ce paragraphe sous forme de tableau sont admises et on peut les démontrer en utilisant les définitions des limites. 1) Limite de la somme Formes indéterminées Ces propriétés sont vraies si tend vers ou Formes indéterminées Veut dire uon peut pas calculer la limite directement, il faut faire dautres calcules car il y a plusieurs cas. Exemples : -( , ( on a ; et -( , on a ; et (( Dans les deux exemples on a le même cas que dans la dernière colonne du tableau mais on a deux résultats différents 2) Limites des produits - ou - ou - Formes indéterminées 3) Limites des inverses - - -

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 10 - Remarque : - veut dire que tend vers 0 mais de la droite. - - - - chose uon oit bien sur la courbe de la fonction 3) Limites des quotients - ou - ou - - - - - - - Formes indéterminées Formes indéterminées Exemple : On veut déterminer la on a : On a : -- Donc Remarque : Eiter dcrire ces epressions ui nont pas de sens mathmatiue : , Ne pas utiliser ou dans les opérations dans ( et ne sont pas des réels) Exercices Déterminer les limites suivantes :

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 11 Soit une fonction polynôme de degré tel que : avec - On a : puisque alors Même chose si tend vers Propriété : La limite dune fonction polynme en est la limite de son plus grand terme en Une fonction rationnelle est le rapport de deux fonctions polynômes : où : avec - et avec - et puisque : et alors Même chose si tend vers Propriété : La limite dune fonction rationnelle en est la limite du rapport des termes de plus grand degré en Exemples : 1- - 2- Remarque : La proprit prcdente nest raie ue si tend vers ou Exercice : Déterminer vous pouvez poser 5) Limites des fonctions trigonométriques. Activité : Dans le plan muni dun repre , On considère le cercle trigonomtriue dorigine -. - et le point sur le cercle trigonométrique tel que : -. 1-Déterminer en fonction de la surface du domaine circulaire limité par , et larc gomtriue 2- Soit la projection orthogonale de sur . a) Déterminer en fonction de laire du triangle

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 12 b) Comparer les aires du domaine et du triangle , que peut-on conclure ? 3- Montrer que : . 4- Déterminer les limites ; et 5- Considérons la droite la droite tangente au cercle en a) Soit lintersection de et , Déterminer en fonction de la surface de b) En déduire que - c) En déduire que 6- En utilisant les résultats précédents. Montrer que : a) b) c) ( Propriété : Soit un réel on a : si Propriété : a. b. c. ( Exercices : Déterminer les limites suivantes : ( VI) COMPLEMENT Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre , on dit que est continue en si elle admet une limite finie en qui est égale à . continue en si . Exemples : 1. Toute fonction polynôme est continue en pour tout dans , si est une fonction polynôme alors .

1Bac SM F Lycée oued Eddahab oujda A.KARMIM 13 2. Toute fonction rationnelle est continue en si . si est une fonction rationnelle et alors . 3. Les fonctions et sont continues en pour tout dans . Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (- on dit que est continue à droite de si :