L'EXPONENTIELLE ET LE LOGARITHME COMPLEXES
tout nombre complexe admet une infinité de logarithmes ! On peut néanmoins définir une fonction logarithme complexe par une méthode élémentaire.
Une premi`ere approche du logarithme complexe
26 Feb 2005 Le logarithme est une fonction définie `a priori sur R ... Logarithme d'un nombre complexe et périodicité de la fonction exponentielle.
Université Pierre et Marie Curie 2017-2018 M. Michel Mémento sur
Mémento sur les logarithmes complexes1. A. Existence des logarithmes. 1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit.
MementoLog
Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes
Représentation d'un nombre complexe dans le plan complexe définition du logarithme complexe demande un peu plus de travail cf. page 18.
transp complexe o ley
Analyse complexe (Notes de cours)
25 Apr 2019 Le logarithme complexe. La formule (1·3) montre qu'un nombre poss`ede une infinité de logarithmes définis modulo 2π par.
CoursANC
Logarithmes complexes En classe de Terminale : -on découvre la
A tout nombre complexe non nul de module et d'argument
Logarithmes complexes
ANALYSE COMPLEXE
définition le nombre complexe ¯z := x − iy l'écriture z = x + iy avec x posant Z = ln(ρ) + iθ (o`u ln est le logarithme népérien étudié au lycée qui.
analysecomplexe
Calculs et visualisation en nombres complexes
4.5 Int er^et des surfaces de Riemann pour les calculs en nombres complexes 74. 4.5.1 D efinition du logarithme et de l'exponentielle . . . . . . . . . 75.
Partie I. Chapitre 3 - Les nombres complexes
Racine logarithme
. /
Manuel dʼutilisation
1.3 Effectuer des calculs avec des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 9 log2(x) Fonction logarithme en base 2 entrer log2(x) calcule.
book
Université Pierre et Marie Curie 2017-2018
M. Michel
Mémento sur les logarithmes complexes
1A. Existence des logarithmes
1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit
la surjectivité deexp :C!C. Toute applicationfdé...nie sur un ouvertUdeC telle queef=IdUest un logarithme.2. Avec continuité : il n"existe pas de détermination continue du logarithme sur un
ouvert deCqui contientT3. Avec holomorphie : tout détermination continue du logarithme sur un ouvert deC
est holomorphe.4. Pour obtenir la continuité, on cherche des formules.
B. Unicité sous réserve d"existence
1. Siwetw0est un logarithme d"un nombre complexe non nulz,Rew= lnjzj.
2.wetw0sont des logarithmes d"un même nombre complexe non nul si et seulement
siw0w22iZ.3. SiLetLsont deux déterminations continues du logarithme sur unmêmedomaine
DdeC, il existek2Ztel queL=L+ 2iketReL= ReL= lnjIdDj.4. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,Lest
holomorphe surUetL0=1Id U.5. SiXest une partieXdeCetL:X!Cest une détermination du logarithme,L
réalise une bijection deXsurY=L(X),E= expXYest bijective etLY=E1.C. Formules locales
1. On primitive surDla série de Taylor dez7!11zen0puis on utilise des homothéties
translations pour obtenir des déterminations holomorphes du logarithme sur tout disque de la formeD(a;jaj),a2C. une fonction continue surCpuisqu"il n"existe pas de détermination continue du logarithme surC.3. (C1) et (B3) donnent (A3).
D. Formules globales pour la détermination principale1.Logest l"unique logarithme dé...ni surCnRà valeurs dansR+ ];+[i.1
Texte non libre de droits
12. Formules trigonométriques. Siz2CnR,
Logz= lnjzj+iArgz
oùArg :CnR!];[est donnée par les formulesArg(z) =
argtanImzRezsiRez >0
argcosRezjzjsiImz >0
argcosRezjzjsiImz <0:3. Formule intégrale. Siz2CnR,
Logz=Z
[1;z]dE. Pièges et curiosités des logarithmes
1. En général,Log(ab)6= Loga+ Logblorsquea;b2CnR. D"ailleurs,Logn"est
même pas dé...nie eniialors qu"elle l"est eni.2. Sia2R,limz!a;Imz>0Logzexiste et vautitandis quelimz!a;Imz<0Logzexiste et vaut
i.3. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,A= ImL
est une détermination continue de l"argument surUmais il n"y a aucune raison pour que a prioriA(U)soit contenu dans un intervalle de longueur2. Il y a des exemples oùA(U) =R+.4. Soit
2C0([0;1];C)un chemin. Il existe une détermination continue du loga-
rithme le long de , c"est à dire une application continue`: [0;1]!Ctelle que =e`.= Im`est une détermination continue de l"argument le long de puisque =j jei. Ceci est en particulier vrai quand paramètre le cercleT(Université Pierre et Marie Curie 2017-2018
M. Michel
Mémento sur les logarithmes complexes
1A. Existence des logarithmes
1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit
la surjectivité deexp :C!C. Toute applicationfdé...nie sur un ouvertUdeC telle queef=IdUest un logarithme.2. Avec continuité : il n"existe pas de détermination continue du logarithme sur un
ouvert deCqui contientT3. Avec holomorphie : tout détermination continue du logarithme sur un ouvert deC
est holomorphe.4. Pour obtenir la continuité, on cherche des formules.
B. Unicité sous réserve d"existence
1. Siwetw0est un logarithme d"un nombre complexe non nulz,Rew= lnjzj.
2.wetw0sont des logarithmes d"un même nombre complexe non nul si et seulement
siw0w22iZ.3. SiLetLsont deux déterminations continues du logarithme sur unmêmedomaine
DdeC, il existek2Ztel queL=L+ 2iketReL= ReL= lnjIdDj.4. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,Lest
holomorphe surUetL0=1Id U.5. SiXest une partieXdeCetL:X!Cest une détermination du logarithme,L
réalise une bijection deXsurY=L(X),E= expXYest bijective etLY=E1.C. Formules locales
1. On primitive surDla série de Taylor dez7!11zen0puis on utilise des homothéties
translations pour obtenir des déterminations holomorphes du logarithme sur tout disque de la formeD(a;jaj),a2C. une fonction continue surCpuisqu"il n"existe pas de détermination continue du logarithme surC.3. (C1) et (B3) donnent (A3).
D. Formules globales pour la détermination principale1.Logest l"unique logarithme dé...ni surCnRà valeurs dansR+ ];+[i.1
Texte non libre de droits
12. Formules trigonométriques. Siz2CnR,
Logz= lnjzj+iArgz
oùArg :CnR!];[est donnée par les formulesArg(z) =
argtanImzRezsiRez >0
argcosRezjzjsiImz >0
argcosRezjzjsiImz <0:3. Formule intégrale. Siz2CnR,
Logz=Z
[1;z]dE. Pièges et curiosités des logarithmes
1. En général,Log(ab)6= Loga+ Logblorsquea;b2CnR. D"ailleurs,Logn"est
même pas dé...nie eniialors qu"elle l"est eni.2. Sia2R,limz!a;Imz>0Logzexiste et vautitandis quelimz!a;Imz<0Logzexiste et vaut
i.3. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,A= ImL
est une détermination continue de l"argument surUmais il n"y a aucune raison pour que a prioriA(U)soit contenu dans un intervalle de longueur2. Il y a des exemples oùA(U) =R+.4. Soit
2C0([0;1];C)un chemin. Il existe une détermination continue du loga-
rithme le long de , c"est à dire une application continue`: [0;1]!Ctelle que =e`.= Im`est une détermination continue de l"argument le long de puisque =j jei. Ceci est en particulier vrai quand paramètre le cercleT(- définition logarithme nombre complexe