ANALYSE COMPLEXE

214446 D epartement MIDO

Notes de cours

ANALYSE COMPLEXE

Guillaume CARLIER

L3, ann

ee 2012-2013 2 Ces notes de cours constituent une introduction a l'analyse complexe elementaire, domaine fascinant de l'analyse aux nombreuses ramications. Ces notes ne vous seront protables que si vous preparez regulierement et serieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien evidemment pas d'assister au cours. N'hesitez pas a me signaler les erreurs et les coquilles qui subsisteraient dans ces notes. De maniere generale, vos suggestions sont les bienvenues, c'est gr^ace a elles que ces notes pourront ^etre ameliorees pour vos camarades des prochaines annees. J'espere que ce poly vous sera utile et vous en souhaite une bonne lecture.

G. CARLIER

3 4

Table des matieres

1 Rappels et preliminaires 6

1.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Topologie des metriques, topologie deC. . . . . . . . . . . .9

1.3 Rappels sur les suites et series de fonctions . . . . . . . . . . .

16

1.4 Connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Series entieres 21

2.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4 Exponentielle et quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . .

30

2.5 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 Fonctions analytiques 36

3.1 Denitions premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2 Prolongement analytique, principe des zeros isoles et consequences

37

3.3 Theoreme du module maximal et consequences . . . . . . . . .

41

4 Fonctions holomorphes, formules de Cauchy, primitives com-

plexes 43

4.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2 Les relations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3 Integrales le long de chemins, indice . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.4 Primitives complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.5 Theoreme de Cauchy et analyticite des fonctions holomorphes

59

5 Fonctions meromorphes, singularite et residus 63

5.1 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2 Fonctions meromorphes, p^oles, residus . . . . . . . . . . . . .

68

5.3 La formule des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4 Exemples de calcul d'integrales par la formule des residus . . .

73
5

Chapitre 1

Rappels et preliminaires

1.1 Rappels sur les nombres complexes

Soit (x;y) et (x0;y0) deux couples de reels et denissons leur produit (x;y) (x0;y0) (ou (x;y)(x0;y0)) par (x;y)(x0;y0) = (xx0yy0;xy0+yx0): Ce produit denit une loi de composition interne surR2et en notanti= (0;1) et 1 = (1;0) on a les proprietes fondamentales que 1 est l'element neutre pour le produit : (x;y)(1;0) = (x;y) et i

2=ii= (1;0) =1

de sorte queipeut ^etre vu comme une racine carree de l'unite. On identie par la suite les points du planR2(x;y) az=x+iyet l'ensemble des nombres complexesCest precisement l'ensemblefz=x+iy;2R; y2Rg. Ainsi le produit des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est il le nombre complexezz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y). Le conjugue dez=x+iyest par denition le nombre complexe z:=xiy, l'ecriturez=x+iyavecxety reels est unique (car 1 etiforment une famille libre surR),xetys'appellent respectivement partie reelle et partie imaginaire dez: x= Re(z); y= Im(z): Un nombre complexezest dit reel ssi sa partie imaginaire est nulle (on l'identie alors au reel Re(z)) et imaginaire pur ssi sa partie reelle est nulle. Le nombre complexe 0 est par denition le nombre complexe de partie reelle et imaginaire nulles. 6

Notons que

Re(z) =z+ z2

et Im(z) =zz2 La somme des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est par denition z+z0= (x+x0) +i(y+y0) et le produit dezpar le reelest le complexez=x+iy(noter quez est aussi le produit des nombres complexeszet). AinsiCest-il unR-espace vectoriel et l'application : (x;y)2R27!x+iy2C est un isomorphisme et doncCest unRespace vectoriel de dimension deux (une base etant formee par 1,i). Muni de son produit et de son additionCest aussi un corps commutatif ce qui signie que : (C;+) est un groupe commutatif (son neutre etant le nombre complexe 0), D epartement MIDO

Notes de cours

ANALYSE COMPLEXE

Guillaume CARLIER

L3, ann

ee 2012-2013 2 Ces notes de cours constituent une introduction a l'analyse complexe elementaire, domaine fascinant de l'analyse aux nombreuses ramications. Ces notes ne vous seront protables que si vous preparez regulierement et serieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien evidemment pas d'assister au cours. N'hesitez pas a me signaler les erreurs et les coquilles qui subsisteraient dans ces notes. De maniere generale, vos suggestions sont les bienvenues, c'est gr^ace a elles que ces notes pourront ^etre ameliorees pour vos camarades des prochaines annees. J'espere que ce poly vous sera utile et vous en souhaite une bonne lecture.

G. CARLIER

3 4

Table des matieres

1 Rappels et preliminaires 6

1.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Topologie des metriques, topologie deC. . . . . . . . . . . .9

1.3 Rappels sur les suites et series de fonctions . . . . . . . . . . .

16

1.4 Connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Series entieres 21

2.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4 Exponentielle et quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . .

30

2.5 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 Fonctions analytiques 36

3.1 Denitions premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2 Prolongement analytique, principe des zeros isoles et consequences

37

3.3 Theoreme du module maximal et consequences . . . . . . . . .

41

4 Fonctions holomorphes, formules de Cauchy, primitives com-

plexes 43

4.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2 Les relations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3 Integrales le long de chemins, indice . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.4 Primitives complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.5 Theoreme de Cauchy et analyticite des fonctions holomorphes

59

5 Fonctions meromorphes, singularite et residus 63

5.1 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2 Fonctions meromorphes, p^oles, residus . . . . . . . . . . . . .

68

5.3 La formule des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4 Exemples de calcul d'integrales par la formule des residus . . .

73
5

Chapitre 1

Rappels et preliminaires

1.1 Rappels sur les nombres complexes

Soit (x;y) et (x0;y0) deux couples de reels et denissons leur produit (x;y) (x0;y0) (ou (x;y)(x0;y0)) par (x;y)(x0;y0) = (xx0yy0;xy0+yx0): Ce produit denit une loi de composition interne surR2et en notanti= (0;1) et 1 = (1;0) on a les proprietes fondamentales que 1 est l'element neutre pour le produit : (x;y)(1;0) = (x;y) et i

2=ii= (1;0) =1

de sorte queipeut ^etre vu comme une racine carree de l'unite. On identie par la suite les points du planR2(x;y) az=x+iyet l'ensemble des nombres complexesCest precisement l'ensemblefz=x+iy;2R; y2Rg. Ainsi le produit des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est il le nombre complexezz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y). Le conjugue dez=x+iyest par denition le nombre complexe z:=xiy, l'ecriturez=x+iyavecxety reels est unique (car 1 etiforment une famille libre surR),xetys'appellent respectivement partie reelle et partie imaginaire dez: x= Re(z); y= Im(z): Un nombre complexezest dit reel ssi sa partie imaginaire est nulle (on l'identie alors au reel Re(z)) et imaginaire pur ssi sa partie reelle est nulle. Le nombre complexe 0 est par denition le nombre complexe de partie reelle et imaginaire nulles. 6

Notons que

Re(z) =z+ z2

et Im(z) =zz2 La somme des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est par denition z+z0= (x+x0) +i(y+y0) et le produit dezpar le reelest le complexez=x+iy(noter quez est aussi le produit des nombres complexeszet). AinsiCest-il unR-espace vectoriel et l'application : (x;y)2R27!x+iy2C est un isomorphisme et doncCest unRespace vectoriel de dimension deux (une base etant formee par 1,i). Muni de son produit et de son additionCest aussi un corps commutatif ce qui signie que : (C;+) est un groupe commutatif (son neutre etant le nombre complexe 0),