L'EXPONENTIELLE ET LE LOGARITHME COMPLEXES
tout nombre complexe admet une infinité de logarithmes ! On peut néanmoins définir une fonction logarithme complexe par une méthode élémentaire.
Une premi`ere approche du logarithme complexe
26 Feb 2005 Le logarithme est une fonction définie `a priori sur R ... Logarithme d'un nombre complexe et périodicité de la fonction exponentielle.
Université Pierre et Marie Curie 2017-2018 M. Michel Mémento sur
Mémento sur les logarithmes complexes1. A. Existence des logarithmes. 1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit.
MementoLog
Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes
Représentation d'un nombre complexe dans le plan complexe définition du logarithme complexe demande un peu plus de travail cf. page 18.
transp complexe o ley
Analyse complexe (Notes de cours)
25 Apr 2019 Le logarithme complexe. La formule (1·3) montre qu'un nombre poss`ede une infinité de logarithmes définis modulo 2π par.
CoursANC
Logarithmes complexes En classe de Terminale : -on découvre la
A tout nombre complexe non nul de module et d'argument
Logarithmes complexes
ANALYSE COMPLEXE
définition le nombre complexe ¯z := x − iy l'écriture z = x + iy avec x posant Z = ln(ρ) + iθ (o`u ln est le logarithme népérien étudié au lycée qui.
analysecomplexe
Calculs et visualisation en nombres complexes
4.5 Int er^et des surfaces de Riemann pour les calculs en nombres complexes 74. 4.5.1 D efinition du logarithme et de l'exponentielle . . . . . . . . . 75.
Partie I. Chapitre 3 - Les nombres complexes
Racine logarithme
. /
Manuel dʼutilisation
1.3 Effectuer des calculs avec des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 9 log2(x) Fonction logarithme en base 2 entrer log2(x) calcule.
book
Outils d'analyse pour l'ingenieur
3EII, 3GMA, 3SGM, 3SRC
Chapitre 3 :Analyse complexe
Olivier Ley
IRMAR, INSA de Rennes
Annee universitaire 2020-2021
Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20211 /45Introduction
Les fonctionsf:RÑRles plus utiles sont les polyn^omesPpxq N¸ n0a nxn: Ce sont des objets"simples»: il sut des touches` a b cde la calculatrice pour calculer leurs valeurs; Ils sont essentiels dans beaucoup d'applications : optimisation, approximation1, etc. Il est possible et naturel d'etendre les polyn^omes aux n ombresc omplexes c ar: 1Lesp olyn^omesc omplexesPpzq N¸ n0a nznsont des objets tous aussi simples queles polyn^omes reels, les operations` a b cont cours dansC;2Les polyn^omes complexes sont m^emes plus naturels que les polyn^omes reels :
Theoreme 1 (Theoreme fondamental de l'algebre)
Tout polyn^ome complexePpzqde degreNa exactementNracines (comptees avec leur multiplicite) dansC.Remarque: c'est faux dansR. Par exemple,x21n'a aucune racine dansR; c'estce type de probleme qui a motive l'introduction deC.1.P are xemple,le c elebreT heoremed'a pproximationde W eierstrass(m athematicienal lemand
du XIX esiecle) dit qu'on peut ecacement approcher toute fonction continue sur un segment ra;bspar une fonction polyn^ome.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20212 /45Objectif du cours
Le but de ce cours est d'etudier certaines fonctionsf:CÑCqui"ressemblent» a des polyn^omes.Parmi ces fonctions, il y a les
p olyn^omes ma isa ussil es s eriesen tieres qu ip euvent ^etre vues comme des"polyn^omes de degre inni»,fpzq 8¸ n0a nzn,anPC. Historiquement, ces series entieres ont permis d'introduire ou de denir rigoureusement de nouvelles fonctions (exp,log,sin,cos, etc.). Toutes ces fonctions font partie d'une classe plus generale qui sont les f onctions holomorphes q uenou sa llonscom mencerpa rd enir.Nous verrons enn comment cette theorie permet de
c alculerd esin tegrales qu e vous ne savez pas encore calculer. Remarque: contrairement aux fonctionsf:RÑR, on ne peut pas tracerlesfonctionsf:CÑCcar il faudrait se placer en dimension 4.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20213 /45
Introduction
1Rappels sur les nombres complexes, topologie dans le plan complexe
2Fonctions holomorphes
3Series entieres
4Exponentielle complexe et fonctions usuelles associees
5Logarithmes complexes
6Integrale le long d'un chemin
7Theoreme et formule de Cauchy
8Singularites et residus d'une fonction holomorphe
9Calcul d'integrales avec la formule des residus
Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20214 /451.1. Rappels sur les nombres complexes
2 Representation d'un nombre complexe dans le plan complexe0 xRezyImzzxiyreizxiyreiargzmod2|z|rxiyr eirax 2y2 cosx? x 2y2 siny? x2y2xrcos
yrsinRepresentation cartesienne
Representation trigonometrique
2. R evoirle co ursde 1 erea nneesu rles no mbresc omplexesa ub esoin. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20215 /451.2. Topologie dans le plan complexe
Denition 1 (Disques, ouverts, fermes, bornes, compacts)Outils d'analyse pour l'ingenieur
3EII, 3GMA, 3SGM, 3SRC
Chapitre 3 :Analyse complexe
Olivier Ley
IRMAR, INSA de Rennes
Annee universitaire 2020-2021
Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20211 /45Introduction
Les fonctionsf:RÑRles plus utiles sont les polyn^omesPpxq N¸ n0a nxn: Ce sont des objets"simples»: il sut des touches` a b cde la calculatrice pour calculer leurs valeurs; Ils sont essentiels dans beaucoup d'applications : optimisation, approximation1, etc. Il est possible et naturel d'etendre les polyn^omes aux n ombresc omplexes c ar: 1Lesp olyn^omesc omplexesPpzq N¸ n0a nznsont des objets tous aussi simples queles polyn^omes reels, les operations` a b cont cours dansC;2Les polyn^omes complexes sont m^emes plus naturels que les polyn^omes reels :
Theoreme 1 (Theoreme fondamental de l'algebre)
Tout polyn^ome complexePpzqde degreNa exactementNracines (comptees avec leur multiplicite) dansC.Remarque: c'est faux dansR. Par exemple,x21n'a aucune racine dansR; c'estce type de probleme qui a motive l'introduction deC.1.P are xemple,le c elebreT heoremed'a pproximationde W eierstrass(m athematicienal lemand
du XIX esiecle) dit qu'on peut ecacement approcher toute fonction continue sur un segment ra;bspar une fonction polyn^ome.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20212 /45Objectif du cours
Le but de ce cours est d'etudier certaines fonctionsf:CÑCqui"ressemblent» a des polyn^omes.Parmi ces fonctions, il y a les
p olyn^omes ma isa ussil es s eriesen tieres qu ip euvent ^etre vues comme des"polyn^omes de degre inni»,fpzq 8¸ n0a nzn,anPC. Historiquement, ces series entieres ont permis d'introduire ou de denir rigoureusement de nouvelles fonctions (exp,log,sin,cos, etc.). Toutes ces fonctions font partie d'une classe plus generale qui sont les f onctions holomorphes q uenou sa llonscom mencerpa rd enir.Nous verrons enn comment cette theorie permet de
c alculerd esin tegrales qu e vous ne savez pas encore calculer. Remarque: contrairement aux fonctionsf:RÑR, on ne peut pas tracerlesfonctionsf:CÑCcar il faudrait se placer en dimension 4.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20213 /45
Introduction
1Rappels sur les nombres complexes, topologie dans le plan complexe
2Fonctions holomorphes
3Series entieres
4Exponentielle complexe et fonctions usuelles associees
5Logarithmes complexes
6Integrale le long d'un chemin
7Theoreme et formule de Cauchy
8Singularites et residus d'une fonction holomorphe
9Calcul d'integrales avec la formule des residus
Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20214 /451.1. Rappels sur les nombres complexes
2 Representation d'un nombre complexe dans le plan complexe0 xRezyImzzxiyreizxiyreiargzmod2|z|rxiyr eirax 2y2 cosx? x 2y2 siny? x2y2xrcos
yrsinRepresentation cartesienne
Representation trigonometrique
2. R evoirle co ursde 1 erea nneesu rles no mbresc omplexesa ub esoin. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20215 /451.2. Topologie dans le plan complexe
Denition 1 (Disques, ouverts, fermes, bornes, compacts)- définition logarithme nombre complexe