FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Et pourtant l'astronomie la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition. La fonction exponentielle
LogTS
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Et pourtant l'astronomie la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition et propriété de la fonction
LogTT
Fonction logarithme népérien
Définition 2 : e est le nombre réel définie par ln(e) = 1. Remarque : On a : e ≃ 271. 2.5. Croissance comparée. Étudions désormais quelques
ECT Cours Chapitre
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0 l'unique solution a de l'équation ex = m. On note cette solution a = ln(m).
logn
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
FONCTION LOGARITHME. I. Définition de la fonction exponentielle. Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que = .
Texplog
Définition et représentation graphique de la fonction logarithme
CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES. 148. Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien. 1. Définition. La fonction inverse.
Fonctions logarithmes
Généralité Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque
Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d'une fonction exponentielle. Relation entre la forme exponentielle et la forme logarithmique.
SN Logarithme
Logarithme binaire : rappel sur la représentation des entiers en
Définition NSI ». Le logarithme binaire ou logarithme de base 2 d'un entier positif n est (approximativement) le nombre de chiffres dans l'écriture binaire
.Logarithme base
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 1.1 Définition. Définition 1 : On appelle fonction logarithme népérien notée ln la fonction définie de ]0; +∞[ sur R telle que :.
Cours fonction logarithme neperien
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique solution de l'équation = . On la note ln .
LogTC
1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.
Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition
(Partie 3). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices
n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles
que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce
demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes.Partie 1 : Fonction réciproque
Exemple :
Dire que 9 est l'image de 3 par la fonction carré, revient à dire que 3 est l'image de 9 par la
fonction racine carrée.On note : 3
=9⟺ 9=3.On a également : 5
=25⟺ 25=5.De façon générale, pour tout réel et positifs, on a :
Dans ce cas, on dit que la fonction ⟼
est réciproque de la fonction ⟼ pour des valeurs de positives.On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre
pour des valeurs de positives. 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLes courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétrique l'une de
l'autre par rapport à la droite d'équation = pour des valeurs de positives. Définition : Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.On appelle fonction réciproque de , la fonction telle que : )=⟺)=.
Propriété : Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques
l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation =. Méthode : Déterminer la fonction réciproque d'une fonctionVidéo https://youtu.be/bgINubYekqo
Soit la fonction définie sur ℝ par =3-4. Déterminer la fonction réciproque de la fonction .Correction
On pose :
Soit : 3-4=
3=+4
1 3 4 3 1 3 4 3Soit encore :
= avec : 1 3 4 3 est la fonction réciproque de la fonction . Partie 2 : Fonction exponentielle et fonction logarithme1) Rappels concernant la fonction exponentielle
Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.On a :
3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriétés :
=1 >0 , avec ∈ℕ2) Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans0;+∞
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de0;+∞
l'équation = admet une unique solution dans ℝ.Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique
solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur0;+∞
, par ⟼ln)Remarques :
- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre.1 2 0 2)
1 2 expln 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.A noter :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log)= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln) b) ln1)=0 ; ln)=1 ; lnL 1 M=-1 c) ln d) Pour >0 :Démonstrations :
a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln1)=0 = donc d'après a, on a : ln)=1 1 donc d'après a, on a : lnL 1 M=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln)=ln d) Si on pose =ln), d'après a, on a : = Partie 3 : Propriétés de la fonction logarithme népérien1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln)+ln)Démonstration :
Donc : ln
=ln)+ln) 5 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la 1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.
Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition
(Partie 3). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices
n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles
que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce
demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes.Partie 1 : Fonction réciproque
Exemple :
Dire que 9 est l'image de 3 par la fonction carré, revient à dire que 3 est l'image de 9 par la
fonction racine carrée.On note : 3
=9⟺ 9=3.On a également : 5
=25⟺ 25=5.De façon générale, pour tout réel et positifs, on a :
Dans ce cas, on dit que la fonction ⟼
est réciproque de la fonction ⟼ pour des valeurs de positives.On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre
pour des valeurs de positives. 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLes courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétrique l'une de
l'autre par rapport à la droite d'équation = pour des valeurs de positives. Définition : Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.On appelle fonction réciproque de , la fonction telle que : )=⟺)=.
Propriété : Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques
l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation =. Méthode : Déterminer la fonction réciproque d'une fonctionVidéo https://youtu.be/bgINubYekqo
Soit la fonction définie sur ℝ par =3-4. Déterminer la fonction réciproque de la fonction .Correction
On pose :
Soit : 3-4=
3=+4
1 3 4 3 1 3 4 3Soit encore :
= avec : 1 3 4 3 est la fonction réciproque de la fonction . Partie 2 : Fonction exponentielle et fonction logarithme1) Rappels concernant la fonction exponentielle
Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.On a :
3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriétés :
=1 >0 , avec ∈ℕ2) Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans0;+∞
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de0;+∞
l'équation = admet une unique solution dans ℝ.Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique
solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur0;+∞
, par ⟼ln)Remarques :
- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre.1 2 0 2)
1 2 expln 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.A noter :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log)= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln) b) ln1)=0 ; ln)=1 ; lnL 1 M=-1 c) ln d) Pour >0 :Démonstrations :
a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln1)=0 = donc d'après a, on a : ln)=1 1 donc d'après a, on a : lnL 1 M=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln)=ln d) Si on pose =ln), d'après a, on a : = Partie 3 : Propriétés de la fonction logarithme népérien1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln)+ln)Démonstration :
Donc : ln
=ln)+ln) 5 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la- signification logarithme népérien