FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Et pourtant l'astronomie la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition. La fonction exponentielle
LogTS
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
Et pourtant l'astronomie la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition et propriété de la fonction
LogTT
Fonction logarithme népérien
Définition 2 : e est le nombre réel définie par ln(e) = 1. Remarque : On a : e ≃ 271. 2.5. Croissance comparée. Étudions désormais quelques
ECT Cours Chapitre
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0 l'unique solution a de l'équation ex = m. On note cette solution a = ln(m).
logn
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
FONCTION LOGARITHME. I. Définition de la fonction exponentielle. Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que = .
Texplog
Définition et représentation graphique de la fonction logarithme
CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES. 148. Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien. 1. Définition. La fonction inverse.
Fonctions logarithmes
Généralité Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque
Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d'une fonction exponentielle. Relation entre la forme exponentielle et la forme logarithmique.
SN Logarithme
Logarithme binaire : rappel sur la représentation des entiers en
Définition NSI ». Le logarithme binaire ou logarithme de base 2 d'un entier positif n est (approximativement) le nombre de chiffres dans l'écriture binaire
.Logarithme base
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 1.1 Définition. Définition 1 : On appelle fonction logarithme népérien notée ln la fonction définie de ]0; +∞[ sur R telle que :.
Cours fonction logarithme neperien
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique solution de l'équation = . On la note ln .
LogTC
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1 Définition de la fonction "ln» :
Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.
On note cette solutiona= ln(m).
Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=xPropriétés de la fonctionln:
1.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).2.Identités :
(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable
sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.Démonstration
: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 11.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.
2.Limites et asymptotes :
Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.On a aussilimx→0
x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.3.Sens de variation :
La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)04.La bijectionln:
Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :
ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)à la courbe enx= 1esty=x-1.
6.Courbe représentative :
O? i? j xy y= ln(x) 23 Logarithme décimal :
Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0
associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).Propriétés de la fonctionlog:
1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1
xln(10).2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.
3.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).5.Identités :
(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.4 Fonctions composées avecln:
Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère
la fonction composéeg= ln◦u.Propriétés
1. La fonctiongest définie, dérivable surIetg?(x) =u?(x)
u(x). Le signe deg?(x)est le même que celui deu?(x).2. Les fonctionsuetg= ln◦uont les mêmes variations surI.
3. Soitaun nombre réel donné, ou+∞, ou-∞, et soitb?R+:
(a) Silimx→au(x) = +∞, alorslimx→aln(u(x)) = +∞, (b) Silimx→au(x) = 0+, alorslimx→aln(u(x)) =-∞, (c) Silimx→au(x) =b, alorslimx→aln(u(x)) = ln(b).5 Fonctions exponentielles de basea:
Définition 5Soitaun réel strictement positif et différent de1.On appellefonction exponentielle de base a
la fonctiongqui, à toutx?Rassocie le réelax= e xln(a).g(x) =ax=exln(a).Propriétés
1. Pour tout réelx,ln(ax) =xln(a),
2. Pour tous réelsxety,ax×ay=ax+y,ax
ay=ax-y,(ax)y=axy,3. La fonctiongest dérivable surRetg?(x) =axln(a),
4. (a) Sia >1,limx→+∞g(x) = +∞etlimx→-∞g(x) = 0,
3 (b) Si0< a <1,limx→+∞g(x) = 0etlimx→-∞g(x) = +∞.5.Variations deg:
(a) Sia >1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0 (b) Si0< a <1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0- O?i? j xy y=ax a >1y=ax0< a <1
6 Fonction " racine n-ième » :
Soientn?N?etx >0. Le réeln⎷xse note aussix1noue1nln(x). La fonctionhqui, à toutx >0 associe le réele1 nln(x)est la fonction " racine n-ième ».Propriétés
1. la fonction " racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur]0,+∞[, et sa
dérivée esth?(x) =1 nx1 n-1,2.limx→+∞h(x) = +∞etlimx→0+h(x) = 0.
4FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1 Définition de la fonction "ln» :
Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.
On note cette solutiona= ln(m).
Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=xPropriétés de la fonctionln:
1.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).2.Identités :
(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable
sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.Démonstration
: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 11.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.
2.Limites et asymptotes :
Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.On a aussilimx→0
x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.3.Sens de variation :
La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)04.La bijectionln:
Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :
ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)à la courbe enx= 1esty=x-1.
6.Courbe représentative :
O? i? j xy y= ln(x) 23 Logarithme décimal :
Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0
associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).Propriétés de la fonctionlog:
1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1
xln(10).2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.
3.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).5.Identités :
(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.4 Fonctions composées avecln:
Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère
la fonction composéeg= ln◦u.Propriétés
1. La fonctiongest définie, dérivable surIetg?(x) =u?(x)
u(x). Le signe deg?(x)est le même que celui deu?(x).2. Les fonctionsuetg= ln◦uont les mêmes variations surI.
3. Soitaun nombre réel donné, ou+∞, ou-∞, et soitb?R+:
(a) Silimx→au(x) = +∞, alorslimx→aln(u(x)) = +∞, (b) Silimx→au(x) = 0+, alorslimx→aln(u(x)) =-∞, (c) Silimx→au(x) =b, alorslimx→aln(u(x)) = ln(b).5 Fonctions exponentielles de basea:
Définition 5Soitaun réel strictement positif et différent de1.On appellefonction exponentielle de base a
la fonctiongqui, à toutx?Rassocie le réelax= e xln(a).g(x) =ax=exln(a).Propriétés
1. Pour tout réelx,ln(ax) =xln(a),
2. Pour tous réelsxety,ax×ay=ax+y,ax
ay=ax-y,(ax)y=axy,3. La fonctiongest dérivable surRetg?(x) =axln(a),
4. (a) Sia >1,limx→+∞g(x) = +∞etlimx→-∞g(x) = 0,
3 (b) Si0< a <1,limx→+∞g(x) = 0etlimx→-∞g(x) = +∞.5.Variations deg:
(a) Sia >1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0 (b) Si0< a <1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0- O?i? j xy y=ax a >1y=ax0< a <1
6 Fonction " racine n-ième » :
Soientn?N?etx >0. Le réeln⎷xse note aussix1noue1nln(x). La fonctionhqui, à toutx >0 associe le réele1 nln(x)est la fonction " racine n-ième ».Propriétés
1. la fonction " racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur]0,+∞[, et sa
dérivée esth?(x) =1 nx1 n-1,2.limx→+∞h(x) = +∞etlimx→0+h(x) = 0.
4- signification logarithme népérien