FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)









FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

- Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. - Dans le domaine scientifique on utilise la.
LogTS


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La 
LogT


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg. En 1614 un mathématicien écossais
LogTC


La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction ...
Cours fonction logarithme neperien





FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique solution de l'équation ex = a . On la note lna .


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Donc : ln( × ) = ln + ln . Page 3. 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Cette formule permet de transformer un 
LogT


Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme

népérien x a ln x. â—‡ Connaître le sens de variation les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. On 


FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

La fonction logarithme népérien notée ln
LogTESL





LOGARITHME NEPERIEN

.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. En 1614 un mathématicien écossais
LogTT


214837 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2) 1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 2/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg Partie 1 : Étude de la fonction logarithme népérien

1) Continuité et dérivabilité

Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI

Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et ln(í µ)

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg

Rappel : /í µ

En posant : í µ

=ln(í µ), on a : /í µ =(ln(í µ))â€²í µ

Or /í µ

=1.

Donc : (ln(í µ))â€²í µ

=1

Soit : (ln(í µ))′=

Méthode : Calculer une dérivée contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8

Dériver la fonction í µ définie sur

0;+∞

par : í µ ln(í µ) 2

Correction

ln(í µ)

Avec : í µ

ln(í µ) =2× 1

×ln(í µ)

=1 2×

×ln(í µ)Ã—í µ-

ln(í µ) ×1

2ln(í µ)-

ln(í µ) ln(í µ)×(2-ln 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Variations

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel í µ>0,

ln(í µ) >0

3) Convexité

Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel í µ>0,

ln(í µ) ln(í µ) Donc la fonction logarithme népérien est concave.

4) Limites aux bornes

Propriétés : lim

ln(í µ)=-∞ et lim ln(í µ)=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

0 +∞

ln(í µ) ln(í µ)

5) Tangentes en 1 et en í µ

Rappel : Une équation de la tangente à la courbe de í µ au point d'abscisse í µ est de la forme :

Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : 1 +ln(í µ). Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est í µ= 1 1 í µ-1 +ln(1) soit : í µ=í µ-1. Au point d'abscisse í µ, l'équation de la tangente est í µ= 1 +ln(í µ) soit : 1 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

6) Courbe représentative

Valeurs particulières : ln(1)=0, ln(í µ)=1

Partie 2 : Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim ln(í µ) =0 et pour tout entier naturel non nul í µ, lim ln(í µ) =0 b) lim í µln(í µ)=0 et pour tout entier naturel í µ, lim 0 ln(í µ)=0 Démonstration du b. dans les cas où í µ=1 (au programme) :

Vidéo https://youtu.be/LxgQBYTaRaw

En posant í µ=ln(í µ), on a : í µ=í µ

1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 2/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg Partie 1 : Étude de la fonction logarithme népérien

1) Continuité et dérivabilité

Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI

Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et ln(í µ)

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg

Rappel : /í µ

En posant : í µ

=ln(í µ), on a : /í µ =(ln(í µ))â€²í µ

Or /í µ

=1.

Donc : (ln(í µ))â€²í µ

=1

Soit : (ln(í µ))′=

Méthode : Calculer une dérivée contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8

Dériver la fonction í µ définie sur

0;+∞

par : í µ ln(í µ) 2

Correction

ln(í µ)

Avec : í µ

ln(í µ) =2× 1

×ln(í µ)

=1 2×

×ln(í µ)Ã—í µ-

ln(í µ) ×1

2ln(í µ)-

ln(í µ) ln(í µ)×(2-ln 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Variations

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel í µ>0,

ln(í µ) >0

3) Convexité

Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel í µ>0,

ln(í µ) ln(í µ) Donc la fonction logarithme népérien est concave.

4) Limites aux bornes

Propriétés : lim

ln(í µ)=-∞ et lim ln(í µ)=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

0 +∞

ln(í µ) ln(í µ)

5) Tangentes en 1 et en í µ

Rappel : Une équation de la tangente à la courbe de í µ au point d'abscisse í µ est de la forme :

Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : 1 +ln(í µ). Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est í µ= 1 1 í µ-1 +ln(1) soit : í µ=í µ-1. Au point d'abscisse í µ, l'équation de la tangente est í µ= 1 +ln(í µ) soit : 1 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

6) Courbe représentative

Valeurs particulières : ln(1)=0, ln(í µ)=1

Partie 2 : Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim ln(í µ) =0 et pour tout entier naturel non nul í µ, lim ln(í µ) =0 b) lim í µln(í µ)=0 et pour tout entier naturel í µ, lim 0 ln(í µ)=0 Démonstration du b. dans les cas où í µ=1 (au programme) :

Vidéo https://youtu.be/LxgQBYTaRaw

En posant í µ=ln(í µ), on a : í µ=í µ


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