FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)









FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

- Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. - Dans le domaine scientifique on utilise la.
LogTS


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La 
LogT


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg. En 1614 un mathématicien écossais
LogTC


La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction ...
Cours fonction logarithme neperien





FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique solution de l'équation ex = a . On la note lna .


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Donc : ln( × ) = ln + ln . Page 3. 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Cette formule permet de transformer un 
LogT


Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme

népérien x a ln x. ◇ Connaître le sens de variation les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. On 


FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

La fonction logarithme népérien notée ln
LogTESL





LOGARITHME NEPERIEN

.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. En 1614 un mathématicien écossais
LogTT


215310 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1) 1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 1/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouve ra son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;

1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.

Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.

L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition

(paragraphe II). Ceci peut paraître dériso ire aujourd'hui , mais il faut co mprendre qu'à cette époque, les

calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations

posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le

commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. Partie 1 : Fonction exponentielle et fonction logarithme

1) Rappels concernant la fonction exponentielle

Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.

On a :

Propriétés :

=1 >0 , avec ∈ℕ 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans

0;+∞

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de

0;+∞

l'équation = admet une unique solution dans ℝ.

Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique

solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur

0;+∞

, par ⟼ln()

Remarques :

- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =. 1 2 0 (2) 1 2 expln 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log()= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln() b) ln(1)=0 ; ln()=1 ; lnD 1 E=-1 c) ln( d) Pour >0 :

Démonstrations :

a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln(1)=0 = donc d'après a, on a : ln()=1 1 donc d'après a, on a : lnD 1 E=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln()=ln( d) Si on pose =ln(), d'après a, on a : = Partie 2 : Propriétés de la fonction logarithme népérien

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln()+ln()

Démonstration :

Donc : ln

=ln()+ln() Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log

36×62

=log 36
+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : (36×62)≈3,3487 En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232. 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Conséquences

Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnD 1

E=-ln()

b) lnD

E=ln()-ln()

c) lnS U= 1 2 ln() d) ln( )=ln(), avec entier relatif

Démonstrations :

a) lnD 1

E+ln()=lnD

1

×E=ln(1)=0 donc lnD

1

E=-ln()

b) lnD

E=lnD×

1

E=ln()+lnD

1

E=ln()-ln()

c) 2lnS U=lnS U+lnS U=lnS U=ln() donc lnS U= 1 2 ln() d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln( 1%$ )=ln 1 =ln( 1 )+ln()=ln()+ln()= +1 ln() Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4

Simplifier les expressions suivantes :

=lnS3-

5U+lnS3+

5U=3ln(2)+ln(5)-2ln(3)=ln(

2

Correction

1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 1/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouve ra son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;

1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.

Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.

L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition

(paragraphe II). Ceci peut paraître dériso ire aujourd'hui , mais il faut co mprendre qu'à cette époque, les

calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations

posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le

commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. Partie 1 : Fonction exponentielle et fonction logarithme

1) Rappels concernant la fonction exponentielle

Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.

On a :

Propriétés :

=1 >0 , avec ∈ℕ 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans

0;+∞

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de

0;+∞

l'équation = admet une unique solution dans ℝ.

Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique

solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur

0;+∞

, par ⟼ln()

Remarques :

- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =. 1 2 0 (2) 1 2 expln 3 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log()= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln() b) ln(1)=0 ; ln()=1 ; lnD 1 E=-1 c) ln( d) Pour >0 :

Démonstrations :

a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln(1)=0 = donc d'après a, on a : ln()=1 1 donc d'après a, on a : lnD 1 E=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln()=ln( d) Si on pose =ln(), d'après a, on a : = Partie 2 : Propriétés de la fonction logarithme népérien

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln()+ln()

Démonstration :

Donc : ln

=ln()+ln() Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log

36×62

=log 36
+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : (36×62)≈3,3487 En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232. 4 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr

2) Conséquences

Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnD 1

E=-ln()

b) lnD

E=ln()-ln()

c) lnS U= 1 2 ln() d) ln( )=ln(), avec entier relatif

Démonstrations :

a) lnD 1

E+ln()=lnD

1

×E=ln(1)=0 donc lnD

1

E=-ln()

b) lnD

E=lnD×

1

E=ln()+lnD

1

E=ln()-ln()

c) 2lnS U=lnS U+lnS U=lnS U=ln() donc lnS U= 1 2 ln() d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln( 1%$ )=ln 1 =ln( 1 )+ln()=ln()+ln()= +1 ln() Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4

Simplifier les expressions suivantes :

=lnS3-

5U+lnS3+

5U=3ln(2)+ln(5)-2ln(3)=ln(

2

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