La fonction logarithme népérien









FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

- Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. - Dans le domaine scientifique on utilise la.
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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

Démonstration : Pour tout réel >0 (ln ) = > 0. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Convexité. Propriété : La 
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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg. En 1614 un mathématicien écossais
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La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Remarque : Cette fonction existe bien car la fonction ...
Cours fonction logarithme neperien





FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique solution de l'équation ex = a . On la note lna .


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Donc : ln( × ) = ln + ln . Page 3. 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Cette formule permet de transformer un 
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Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme

népérien x a ln x. ◇ Connaître le sens de variation les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. On 


FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

La fonction logarithme népérien notée ln
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LOGARITHME NEPERIEN

.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN. En 1614 un mathématicien écossais
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214997 La fonction logarithme népérien DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07

La fonction logarithme népérien

Table des matières

1 La fonction logarithme népérien2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4

2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude de la fonction logarithme népérien6

3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Applications9

4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Le logarithme décimal11

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12

5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.

1.2 Représentation

Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O

1.3 Variation de la fonction logarithme

Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs etaLa fonction logarithme népérien

Table des matières

1 La fonction logarithme népérien2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4

2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude de la fonction logarithme népérien6

3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Applications9

4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Le logarithme décimal11

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12

5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14

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TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.

1.2 Représentation

Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O

1.3 Variation de la fonction logarithme

Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs eta
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