Pour démarrer Calculs de sommes

217841 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231

Exercices sur les séries numériques

Pour démarrer

Exercice 1 (Nature de série)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un=arctan(n5)

n22.un=2n3n

7+13.un= ln(1 +2n)-2lnn

4.un= 1 +3

n25.un=ch(n)ch(2n)6.un= sin2-n

7.un= ln(1 +2

n)-1n28.un=nsin1n

9.un=1⎷ncos2n

10.un=ei(n4-3n+2)

3n2-4n+111.un=3nn212.un=1nn⎷n

Exercice 2 (Utilisation de DL)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un= sin(1n)-1n+12.un= ln(cos1n) 3.un= e-(1 +1n)n

Exercice 3 (Comparaison à une série de Riemann)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un=n3

e-n2.un=1lnn3.un=1n0,8×lnn4.un=⎷ nlnn n2+5

Calculs de sommes

Exercice 4 (Calculs de sommes)Établir la convergence et déterminer la somme des séries de terme généralun:

1.un=1n2-n(n?2) 2.un= 23-5n3.un=n2nn!4.un=n2+n-1n!

Exercice 5 (Plus complexe...)Établir la convergence et déterminer la somme des séries de terme généralun

1.un=?1+i1+2i?

n2.un=sinn2n Exercice 6 (Un télescopage provoqué)Établir la convergence et déterminer la somme de la série de terme généralun: u n= arctan?1 n2+n+ 1? On pourra montrer à l"aide de la formule d"addition de la tangente que arctan?1n2+n+1?= arctan 1 n-arctan1n+1. Exercice 7 (Série géométrique dérivée)Démontrer que la série?n

7nest convergente et

déterminer sa somme. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232

Exercice 8 (Helene de Deux)On pose pourn?N?,

S n=n k=1(-1)k-1 ketRn=? 1 0t n1 +tdt.

1. Démontrer queSn= ln2-(-1)nRn(on pourra écrire que1

k=?1

0tk-1dt).

2. Déterminer la limite deRn, en déduire que la série?

n?1(-1)n-1 nconverge, et donner sa somme.

Exercice 9 (Difficile)

1. Déterminer la nature de la série de terme généralvn= sin?(2-⎷

3)nπ?.

2. Soitn?N. Démontrer que le nombrekn= (2 +⎷

3)n+ (2-⎷3)nest un entier.

3. En déduire la nature de la série de terme généralvn= sin?(2 +⎷

3)nπ?.

Comparaison série intégrale

Exercice 10 (Équivalent des restes ou sommes partielles desséries de Riemann)On utilisera des comparaisons "série intégrale».

1. Démontrer que

n? k=11 ⎷k≂n→+∞2⎷n.

2. Démontrer que

k=n+11 k2≂n→+∞1n. Exercice 11 (Un cas limite d"intégrale de Bertrand)On pose pour toutt?2,f(t) = 1 tlnt.

1. Calculer et déterminer la limite en lorsquextend vers +∞deI(x) =?x

2f(t)dt.

2. Déterminer la monotonie defsur [2,+∞[, en déduire à l"aide d"une comparaison série

intégrale la nature de la série? n?21 nlnn.

3. Déterminer de même, la nature de

n?21 n(lnn)2. Exercice 12 (Comparaison série-intégrale)Démontrer à l"aide d"une comparaison série intégrale que lnn!≂n→+∞nlnn. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233

D"autres règles de convergence

Exercice 13 (Critère de D"Alembert)Soituune suite de termes strictement positifs telle que la suite?un+1 un? n?0converge vers un certain réell?[0,1[.

1. Démontrer qu"il existe un réelq?[0,1[ et un entiern0tel que :?n?n0, un+1?qun.

2. En déduire que?n?n0, un?qn-n0un0.

3. En déduire que la série

n?0u nconverge.

4. Application : déterminer la nature de la série de terme généralun:

u n=n! nn, un=(n!)2(2n)!.

5. Démontrer que si

un+1 untend versl >1, alors la série?undiverge.

6. Démontrer à l"aide de deux exemples, que si

un+1 untend vers 1, on ne peut rien conclure.

Exercice 14 (Critère pour les séries alternées)Déterminer la nature des séries de terme

généralun

1.un=(-1)n

4n+12.un=(-1)n5n4-3n2+2n+13.un= (-1)nsin1⎷n

4.un=n(-1)n+1

n25.un= (-1)n⎷ntan1n

Exercice 15Déterminer la nature de?ln?1 +(-1)n

n?

Exercice 16Soitα?R. On pose pourn?N?,un=(-1)n

(-1)n+nα.

Déterminer la nature de la série

?unselon la valeur deα(indications si besoin : pourα >0, regarderu2net pourα >0, faîtes un développement asymtotique).

Séries abstraites

Exercice 17Soit?unune série à termes positifs convergente. Démontrer la convergence des séries de termes généraux : u 2 netun

1 +un.

Exercice 18Soit?unet?vndeux séries à termes positifs convergentes. Démontrer que la série?⎷ unvnconverge (on pourra comparerabeta2+b22. Exercice 19 (Un défi )Soitσune bijection deN?surN?. Déterminer la nature de la série? n?11

σ(n)n

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234

Mini problèmes

Exercice 20 (Théorème de point fixe de Picard)SoitAune partie fermée1deRetf: A→Aune fonctionk-lipschitzienne aveck?[0,1[. Le but de l"exercice est de démontrer que fadmet un unique point fixe dansA. On noteula suite récurrente définie parun+1=f(un) et de premier termeu0.

1. Démontrer que la série de terme généralun+1-unconverge absolument.

2. En déduire que la suiteuconverge vers un point fixeadef.

3. Démontrer queaest l"unique point fixe defdansA.

4. Démontrer à l"aide de la fonction racine carrée sur ]1,+∞[ que le théorème de Picard est

faux siAn"est pas supposé fermé. Exercice 21 (Formule de Stirling)On veut établir la formule de Stirling : n!≂n→+∞Knne-n⎷

2πn

oùKest un réel à déterminer.

Pourn?N?, on poseun=n!

nne-n⎷2πn.

1. Démontrer que pournau voisinage de +∞, ln?un+1

un? ≂-112n2.

2. En déduire que la suite (lnun)nest convergente.

3. En déduire avec soin qu"il existe un réelLtel que pournau voisinage de +∞, on ait

n!≂nne-n⎷

2πn eL.

On noteWnl"intégrale de Wallis d"indicen. On a déjà prouvé dans des problèmes précédents

que W

2n=(2n)!

(2nn!)2π2etWn≂n→+∞? 2n.

4. En utilisant la formule explicite deW2net la question précédente, écrire à l"aide deeLun

équivalent deW2n.

5. Déterminer enfin la valeur deeLen utilisant l"équivalent deWn.

6. En déduire que :

?2n n? ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231

Exercices sur les séries numériques

Pour démarrer

Exercice 1 (Nature de série)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un=arctan(n5)

n22.un=2n3n

7+13.un= ln(1 +2n)-2lnn

4.un= 1 +3

n25.un=ch(n)ch(2n)6.un= sin2-n

7.un= ln(1 +2

n)-1n28.un=nsin1n

9.un=1⎷ncos2n

10.un=ei(n4-3n+2)

3n2-4n+111.un=3nn212.un=1nn⎷n

Exercice 2 (Utilisation de DL)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un= sin(1n)-1n+12.un= ln(cos1n) 3.un= e-(1 +1n)n

Exercice 3 (Comparaison à une série de Riemann)Déterminer la nature de la série de terme généralun:

1.un=n3

e-n2.un=1lnn3.un=1n0,8×lnn4.un=⎷ nlnn n2+5

Calculs de sommes

Exercice 4 (Calculs de sommes)Établir la convergence et déterminer la somme des séries de terme généralun:

1.un=1n2-n(n?2) 2.un= 23-5n3.un=n2nn!4.un=n2+n-1n!

Exercice 5 (Plus complexe...)Établir la convergence et déterminer la somme des séries de terme généralun

1.un=?1+i1+2i?

n2.un=sinn2n Exercice 6 (Un télescopage provoqué)Établir la convergence et déterminer la somme de la série de terme généralun: u n= arctan?1 n2+n+ 1? On pourra montrer à l"aide de la formule d"addition de la tangente que arctan?1n2+n+1?= arctan 1 n-arctan1n+1. Exercice 7 (Série géométrique dérivée)Démontrer que la série?n

7nest convergente et

déterminer sa somme. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232

Exercice 8 (Helene de Deux)On pose pourn?N?,

S n=n k=1(-1)k-1 ketRn=? 1 0t n1 +tdt.

1. Démontrer queSn= ln2-(-1)nRn(on pourra écrire que1

k=?1

0tk-1dt).

2. Déterminer la limite deRn, en déduire que la série?

n?1(-1)n-1 nconverge, et donner sa somme.

Exercice 9 (Difficile)

1. Déterminer la nature de la série de terme généralvn= sin?(2-⎷

3)nπ?.

2. Soitn?N. Démontrer que le nombrekn= (2 +⎷

3)n+ (2-⎷3)nest un entier.

3. En déduire la nature de la série de terme généralvn= sin?(2 +⎷

3)nπ?.

Comparaison série intégrale

Exercice 10 (Équivalent des restes ou sommes partielles desséries de Riemann)On utilisera des comparaisons "série intégrale».

1. Démontrer que

n? k=11 ⎷k≂n→+∞2⎷n.

2. Démontrer que

k=n+11 k2≂n→+∞1n. Exercice 11 (Un cas limite d"intégrale de Bertrand)On pose pour toutt?2,f(t) = 1 tlnt.

1. Calculer et déterminer la limite en lorsquextend vers +∞deI(x) =?x

2f(t)dt.

2. Déterminer la monotonie defsur [2,+∞[, en déduire à l"aide d"une comparaison série

intégrale la nature de la série? n?21 nlnn.

3. Déterminer de même, la nature de

n?21 n(lnn)2. Exercice 12 (Comparaison série-intégrale)Démontrer à l"aide d"une comparaison série intégrale que lnn!≂n→+∞nlnn. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233

D"autres règles de convergence

Exercice 13 (Critère de D"Alembert)Soituune suite de termes strictement positifs telle que la suite?un+1 un? n?0converge vers un certain réell?[0,1[.

1. Démontrer qu"il existe un réelq?[0,1[ et un entiern0tel que :?n?n0, un+1?qun.

2. En déduire que?n?n0, un?qn-n0un0.

3. En déduire que la série

n?0u nconverge.

4. Application : déterminer la nature de la série de terme généralun:

u n=n! nn, un=(n!)2(2n)!.

5. Démontrer que si

un+1 untend versl >1, alors la série?undiverge.

6. Démontrer à l"aide de deux exemples, que si

un+1 untend vers 1, on ne peut rien conclure.

Exercice 14 (Critère pour les séries alternées)Déterminer la nature des séries de terme

généralun

1.un=(-1)n

4n+12.un=(-1)n5n4-3n2+2n+13.un= (-1)nsin1⎷n

4.un=n(-1)n+1

n25.un= (-1)n⎷ntan1n

Exercice 15Déterminer la nature de?ln?1 +(-1)n

n?

Exercice 16Soitα?R. On pose pourn?N?,un=(-1)n

(-1)n+nα.

Déterminer la nature de la série

?unselon la valeur deα(indications si besoin : pourα >0, regarderu2net pourα >0, faîtes un développement asymtotique).

Séries abstraites

Exercice 17Soit?unune série à termes positifs convergente. Démontrer la convergence des séries de termes généraux : u 2 netun

1 +un.

Exercice 18Soit?unet?vndeux séries à termes positifs convergentes. Démontrer que la série?⎷ unvnconverge (on pourra comparerabeta2+b22. Exercice 19 (Un défi )Soitσune bijection deN?surN?. Déterminer la nature de la série? n?11

σ(n)n

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234

Mini problèmes

Exercice 20 (Théorème de point fixe de Picard)SoitAune partie fermée1deRetf: A→Aune fonctionk-lipschitzienne aveck?[0,1[. Le but de l"exercice est de démontrer que fadmet un unique point fixe dansA. On noteula suite récurrente définie parun+1=f(un) et de premier termeu0.

1. Démontrer que la série de terme généralun+1-unconverge absolument.

2. En déduire que la suiteuconverge vers un point fixeadef.

3. Démontrer queaest l"unique point fixe defdansA.

4. Démontrer à l"aide de la fonction racine carrée sur ]1,+∞[ que le théorème de Picard est

faux siAn"est pas supposé fermé. Exercice 21 (Formule de Stirling)On veut établir la formule de Stirling : n!≂n→+∞Knne-n⎷

2πn

oùKest un réel à déterminer.

Pourn?N?, on poseun=n!

nne-n⎷2πn.

1. Démontrer que pournau voisinage de +∞, ln?un+1

un? ≂-112n2.

2. En déduire que la suite (lnun)nest convergente.

3. En déduire avec soin qu"il existe un réelLtel que pournau voisinage de +∞, on ait

n!≂nne-n⎷

2πn eL.

On noteWnl"intégrale de Wallis d"indicen. On a déjà prouvé dans des problèmes précédents

que W

2n=(2n)!

(2nn!)2π2etWn≂n→+∞? 2n.

4. En utilisant la formule explicite deW2net la question précédente, écrire à l"aide deeLun

équivalent deW2n.

5. Déterminer enfin la valeur deeLen utilisant l"équivalent deWn.

6. En déduire que :

?2n n?