est semi-convergente. Allez à : Correction exercice 10. Exercice 11. Etudier la convergence de la série numérique de terme général :.
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges series numeriques
n≥0 u2 n diverge. Application à l'étude de suites. Exercice 56 [ 01070 ] [Correction]. Calculer la limite
séries numériques
Il y a deux façons de traiter les exercices portant sur la convergence et le calcul d'une série : soit on montre la convergence avant de calculer la somme soit
dddc f a ff a e acc c e
On suppose que α > 1. Déterminez un équivalent de Rn. Convergence des séries `a termes positifs. Exercice 7 : Soit ∑un une série convergente
td series num
connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ▽. [005698]. Exercice 12 ****. Soit (un)n
fic
Montrer par comparaison avec une intégrale
TD Séries
Suites et séries numériques (exercices corrigés). Exercice 1 (Théorème de Césaro exercice classique). Soit (un)n∈N∗ une suite.
matieres
près de sa somme. Exercice 9. Ensi MP 2002. On suppose que la série à termes positifs de terme général un est divergente et on pose Sn = ∑.
numériques
Exercices sur les séries numériques. Pour démarrer. Exercice 1 (Nature de série) Déterminer la nature de la série de terme général un : 1. un = arctan(n5).
exos series
Sep 2 2018 Exercice 4.10 – (Dérivée de la série géométrique). ... On définit la suite (fn)n∈N∗ de fonctions numériques par :.
exercices
217849
Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Théorème de Césaro, exercice classique).Soit(un)n2Nune suite d"éléments d"un espace vectoriel normé(E;jj:jj).
1. On suppose que cette suite converge, on appelle`sa limite. On définit la
suite de terme général v n=1n (u1+u2++un) Démontrer que cette suite converge aussi vers`.Commencer par étudier le cas d"une suite nulle, puis s"y ramener.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. On suppose la suite(un)à valeurs réelles, divergeant vers+1. Que peut-
on dire de la suite(vn)? Cet exercice est un grand classique du " découpage ».1. Remarquer que v n`=1n ((u1`) + (u2`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0E. On se suppose désormais dans ce cas. Soit >0, on fixe un rangN0tel que
8nN0junj =2
on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n 2 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj )
2. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.
3. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que
8nN0unA+ 1
1 on a alors, pour toutnN0, v n1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n (A+ 1) Le minorant tend versA+1quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(vnA)Exercice 2(Oral Centrale).Soit(an)n02RNet
2]1;1[. Montrer
a n!n!+10,an+1 an!n!+10Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+
2a0, puis, par
récurrence : a n=un1+ un2+
2un3++
n1u0+ na0 Pour la suite de d"exercice, on constate que quandnest grandunet nsont petits. Mais c"est quand même un peu délicat à écrire. Soit >0; soitp0tel que
8kp0jukj
et, d"autre part, soitMtel que8k2Njunj M(la suite(un)converge, donc est bornée).
Supposonsn > p0; on peut alors majorer
janj (1 +j j+:::+j jnp01) +M(j jnp0++j jn1) +ja0jj jn et donc, en utilisant des sommes géométriques : janj 1 j j+Mj jnp01 j j+ja0jj
Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Théorème de Césaro, exercice classique).Soit(un)n2Nune suite d"éléments d"un espace vectoriel normé(E;jj:jj).
1. On suppose que cette suite converge, on appelle`sa limite. On définit la
suite de terme général v n=1n (u1+u2++un) Démontrer que cette suite converge aussi vers`.Commencer par étudier le cas d"une suite nulle, puis s"y ramener.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. On suppose la suite(un)à valeurs réelles, divergeant vers+1. Que peut-
on dire de la suite(vn)? Cet exercice est un grand classique du " découpage ».1. Remarquer que v n`=1n ((u1`) + (u2`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0E. On se suppose désormais dans ce cas. Soit >0, on fixe un rangN0tel que
8nN0junj =2
on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n 2 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj )
2. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.
3. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que
8nN0unA+ 1
1 on a alors, pour toutnN0, v n1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n (A+ 1) Le minorant tend versA+1quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(vnA)Exercice 2(Oral Centrale).Soit(an)n02RNet
2]1;1[. Montrer
a n!n!+10,an+1 an!n!+10Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+
2a0, puis, par
récurrence : a n=un1+ un2+
2un3++
n1u0+ na0 Pour la suite de d"exercice, on constate que quandnest grandunet nsont petits. Mais c"est quand même un peu délicat à écrire. Soit >0; soitp0tel que
8kp0jukj
et, d"autre part, soitMtel que8k2Njunj M(la suite(un)converge, donc est bornée).
Supposonsn > p0; on peut alors majorer
janj (1 +j j+:::+j jnp01) +M(j jnp0++j jn1) +ja0jj jn et donc, en utilisant des sommes géométriques : janj 1 j j+Mj jnp01 j j+ja0jj