Formulaire des DL en 0 1 Calculs de DL
29 nov. 2012 tan x à l'ordre 4 ;log(1 + ex) à l'ordre 4 ;log(1 + sin x); √1 + x3 à l'ordre 4. 2 Calculs de limites. Exercice 2.1. Déterminer les limites ...
td analyse L
New sharp bounds for the logarithmic function
5 mars 2019 In this paper we present new sharp bounds for log(1 + x). We prove that our upper bound is sharper than all the upper bounds presented ...
)) Assessed by the Rmpfr
accurately in a simple and optimal manner
log mexp note
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
fonction logarithme décimale notée log est définie par : log(x) = lnx ln10. Conséquences : a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln. 1.
LogTS
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 aucun problème : elles sont toutes deux O(1/x²) au V(±∞). 1ère méthode : on peut les calculer séparément par calcul des primitives. > f:=1/(x^4 ...
maths td support
On the Power Series for log (1 + z)
series we now take as the definition of log (1 + z); its coefficients are most m i I) -(e2ri/m _ l)n < m A A 2-eO as me x).
LOGARITHME NEPERIEN
x. • Pour tout réel x on a ln e x. = x. • ln 1 = 0. • ln e = 1 log a. • Pour tout n ∈ ZZ
ln
1 Approximation de ln(1 + x) 2 Modélisation des résistances (6 points)
4 déc. 2008 Définissez une fonction diff calculant la différence entre la fonction Caml f définie comme suit : let f = function x -> log (1.+.x);; et la ...
examenTP SM
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" 1. 1 一 x. 1 + x + x2 + ... + xn + xne(x) sinx x 一x3.
m
6.2 Properties of Logarithms
(Inverse Properties of Exponential and Log Functions) Let b > 0 b = 1. • ba = c if and only if logb(c) = a. • logb (bx) = x for all x and blogb(x) = x for
S&Z . & .
1 Calculs de DL1
Licence MIASHS première année, UE Analyse S1 MI0A01X. Cours: Marc Perret Feuille d"exercices numéro 3 du 29 novembre 2012Formulaire des DL en0
11-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)
log(1-x) =-x-x22-x33+··· -xnn+xnε(x)
(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)
expx= 1 +x1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)
cosx= 1-x22!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)
sinx=x-x33!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)
coshx= 1 +x22!+x44!+···+x2n(2n)!+x2nε(x)
sinhx=x+x33!+···+x2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)
1 Calculs de DL
Exercice1.1.On suppose que le DL defen0d"ordrenest f(x) =P(x) +xnε(x), avecP(x) =a0+a1x+a2x2...+anxnpolynôme de degrénetlimx→0ε(x) = 0. a)Montrer que le DLn(0)def(-x)est f(-x) =P(-x) +xnε(x) =a0-a1x+a2x2-a3x3+...+ (-1)nanxn+xnε(x).Application : donner les DL
5(0)delog(1 +x),e-x,1
1+xet(1-x)α.
b)Sip≥0, montrer que le DLn+p(0)dexpf(x)est x pf(x) =xpP(x) +xn+pε(x) =a0xp+a1xp+1+...+anxn+p+xn+pε(x).2 Calculs de limites2
Application : donner le DL7(0)dex4sinx.
c)Sip≥0, montrer que le DLnp(0)def(xp)est f(xp) =P(xp) +xnpε(x) =a0+a1xp+a2x2p+...+anxnp+xnpε(x).Application : donner le DL
12(0)desin(x4), puis le DL12(0)de⎷
1 +x5.
Exercice1.2.
Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses des expressions
suivantes : cosx-exà l"ordre4;log(1 +x)-11-xà l"ordre3;⎷1 +xà l"ordre3;
31 +xà l"ordre3;exp(x-1)à l"ordre3;6?1 +x2-3⎷1 +xà l"ordre3;
sinxtanxà l"ordre3;x ex-1à l"ordre4;ecosxà l"ordre5;1 + tanx1-tanxà l"ordre4;1 +x3à l"ordre6;log(cosx)à l"ordre4;sin2xcosxà l"ordre3;1 + sinx1-sinxà l"ordre3;
exp(1 +x)à l"ordre2;?1 + log(1 +x)à l"ordre 2;11 +x-ln(1 +x)à l"ordre3;
log(1-x)sinxà l"ordre4;sin(ln2(1 +x))à l"ordre3. tanxà l"ordre4;log(1 +ex)à l"ordre4;log(1 + sinx);?1 +x3à l"ordre4.
2 Calculs de limites
Exercice2.1.
Déterminer les limites suivantes en0:
sinx-x x2;sinx-xxlog(1-x2);1x-1log(1 +x);; x(cosx-1) + tanx-sinx x2sinx+ tanx-x;⎷ x+ 1-⎷x4⎷1 +x2-4⎷x2+ 3;1-cosx(1-ex)2.
3 Applications3
3 Applications
Exercice3.1.
Calculer la valeur en0des quatre premières dérivées de f(x) =cosx1 +x+x2puis deg(x) =xsinxcos(ex-1).
Exercice3.2.
Prolonger par continuité en0la fonction définie sur]0,π[parf(x) =2 sin2x-11-cosx.Exercice3.3.
Déterminer les branches à l"infini des fonctions suivantes (seule l"étude dehnécessite un DL) :
f(x) =x21+logx
g(x) =x1 x; h(x) =x2+sinx ⎷x2-x.Exercice3.4.
a)Étudier et tracer le plus précisément possible (y compris laposition du graphe par rapport
aux asymptotes) le graphe des fonctions f(x) =ex.? x2-x, puis deg(x) =ex⎷x2-xet enfin deh(x) =xlog|2 +1x|.Exercice3.5.
On considère la fonction
f(x) =1 ex-1-1x.a)Déterminer le domaine de définition def, puis l"ensemble des réels oùfest continue (on ne
demande pas de tracer son graphe). b)Montrer quex ex-1= 1 +x2+xε(x), aveclimx→0ε(x) = 0. c)Calculerlimx→0f(x). d)Soita?R. On pose g a(x) =?f(x)six?= 0 asix= 0 Montrer quegaest définie sur toutR, puis déterminer pour quelles valeurs dea, la fonctiongaest continue sur toutR.4 Exercices théoriques4
4 Exercices théoriques
Exercice4.1.
Soitf:]-α,+α[→Rde classeC2telle quef(0) = 0. Calculer lim x→0f(x) +f(-x) x2.Exercice4.2.
SoitIun intervalle ouvert deRetf:I→Rune fonction de classeC2. a) ?Soitx0?I. Montrer que les deux conditions ci-dessous sont équivalentes. On dit alors quex0 est unpoint d"inflexiondef. (ı)?α >0,tel que???]x0-α,x0+α[?I, le graphe defsur]x0-α,x0[est d"un côté de la tangente enx0, le graphe defsur]x0,x0+α[est de l"autre côté de la tangente enx0. (ıı)f??s"annule enx0en changeant de signe. b)Donner un exemple oùf??s"annule sans changer de signe, montrant que cette condition est nécessaire. c) ?Soit[a,b]?I. On suppose que f(b)-f(a) b-a< f?(a)< f?(b). Faire un dessin, puis montrer qu"il existe au moins un point d"inflexionc?]a,b[.Exercice4.3.
On considère la fonctionfdéfinie surRpar
f(x) =?e-1 xsix >0 a)Montrer quefest de classeC∞surR?et tracer son graphe. b)Est-elle continue en0? c)Prouver par récurrence surnque ?n?N?x?R?+f(n)(x) =e-1 xPn(1x) pour un certain polynômePn. d)En déduire quefest de classeC∞surR, puis donner son DLn(0)pour toutn. e)En déduire quedeux fonctions peuvent avoir le même DL en0de tout ordre, sans pour autantêtre égales.
5 DL ena?= 05
Exercice4.4.
Soitf:R→Rdéfinie par
f(x) =?x3sin(1 x)six >0 a)Montrer quefest continue surR(y compris en0). b)Montrer que f(x) =x2ε(x) est le DL defen0d"ordre2. c)Montrer de deux façons différents quefest dérivable en0, de dérivéef?(0) = 0.1 Calculs de DL1
Licence MIASHS première année, UE Analyse S1 MI0A01X. Cours: Marc Perret Feuille d"exercices numéro 3 du 29 novembre 2012Formulaire des DL en0
11-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)
log(1-x) =-x-x22-x33+··· -xnn+xnε(x)
(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)
expx= 1 +x1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)
cosx= 1-x22!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)
sinx=x-x33!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)
coshx= 1 +x22!+x44!+···+x2n(2n)!+x2nε(x)
sinhx=x+x33!+···+x2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)
1 Calculs de DL
Exercice1.1.On suppose que le DL defen0d"ordrenest f(x) =P(x) +xnε(x), avecP(x) =a0+a1x+a2x2...+anxnpolynôme de degrénetlimx→0ε(x) = 0. a)Montrer que le DLn(0)def(-x)est f(-x) =P(-x) +xnε(x) =a0-a1x+a2x2-a3x3+...+ (-1)nanxn+xnε(x).Application : donner les DL
5(0)delog(1 +x),e-x,1
1+xet(1-x)α.
b)Sip≥0, montrer que le DLn+p(0)dexpf(x)est x pf(x) =xpP(x) +xn+pε(x) =a0xp+a1xp+1+...+anxn+p+xn+pε(x).2 Calculs de limites2
Application : donner le DL7(0)dex4sinx.
c)Sip≥0, montrer que le DLnp(0)def(xp)est f(xp) =P(xp) +xnpε(x) =a0+a1xp+a2x2p+...+anxnp+xnpε(x).Application : donner le DL
12(0)desin(x4), puis le DL12(0)de⎷
1 +x5.
Exercice1.2.
Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses des expressions
suivantes : cosx-exà l"ordre4;log(1 +x)-11-xà l"ordre3;⎷1 +xà l"ordre3;
31 +xà l"ordre3;exp(x-1)à l"ordre3;6?1 +x2-3⎷1 +xà l"ordre3;
sinxtanxà l"ordre3;x ex-1à l"ordre4;ecosxà l"ordre5;1 + tanx1-tanxà l"ordre4;1 +x3à l"ordre6;log(cosx)à l"ordre4;sin2xcosxà l"ordre3;1 + sinx1-sinxà l"ordre3;
exp(1 +x)à l"ordre2;?1 + log(1 +x)à l"ordre 2;11 +x-ln(1 +x)à l"ordre3;
log(1-x)sinxà l"ordre4;sin(ln2(1 +x))à l"ordre3. tanxà l"ordre4;log(1 +ex)à l"ordre4;log(1 + sinx);?1 +x3à l"ordre4.
2 Calculs de limites
Exercice2.1.
Déterminer les limites suivantes en0:
sinx-x x2;sinx-xxlog(1-x2);1x-1log(1 +x);; x(cosx-1) + tanx-sinx x2sinx+ tanx-x;⎷ x+ 1-⎷x4⎷1 +x2-4⎷x2+ 3;1-cosx(1-ex)2.
3 Applications3
3 Applications
Exercice3.1.
Calculer la valeur en0des quatre premières dérivées de f(x) =cosx1 +x+x2puis deg(x) =xsinxcos(ex-1).
Exercice3.2.
Prolonger par continuité en0la fonction définie sur]0,π[parf(x) =2 sin2x-11-cosx.Exercice3.3.
Déterminer les branches à l"infini des fonctions suivantes (seule l"étude dehnécessite un DL) :
f(x) =x21+logx
g(x) =x1 x; h(x) =x2+sinx ⎷x2-x.Exercice3.4.
a)Étudier et tracer le plus précisément possible (y compris laposition du graphe par rapport
aux asymptotes) le graphe des fonctions f(x) =ex.? x2-x, puis deg(x) =ex⎷x2-xet enfin deh(x) =xlog|2 +1x|.Exercice3.5.
On considère la fonction
f(x) =1 ex-1-1x.a)Déterminer le domaine de définition def, puis l"ensemble des réels oùfest continue (on ne
demande pas de tracer son graphe). b)Montrer quex ex-1= 1 +x2+xε(x), aveclimx→0ε(x) = 0. c)Calculerlimx→0f(x). d)Soita?R. On pose g a(x) =?f(x)six?= 0 asix= 0 Montrer quegaest définie sur toutR, puis déterminer pour quelles valeurs dea, la fonctiongaest continue sur toutR.4 Exercices théoriques4
4 Exercices théoriques
Exercice4.1.
Soitf:]-α,+α[→Rde classeC2telle quef(0) = 0. Calculer lim x→0f(x) +f(-x) x2.Exercice4.2.
SoitIun intervalle ouvert deRetf:I→Rune fonction de classeC2. a) ?Soitx0?I. Montrer que les deux conditions ci-dessous sont équivalentes. On dit alors quex0 est unpoint d"inflexiondef. (ı)?α >0,tel que???]x0-α,x0+α[?I, le graphe defsur]x0-α,x0[est d"un côté de la tangente enx0, le graphe defsur]x0,x0+α[est de l"autre côté de la tangente enx0. (ıı)f??s"annule enx0en changeant de signe. b)Donner un exemple oùf??s"annule sans changer de signe, montrant que cette condition est nécessaire. c) ?Soit[a,b]?I. On suppose que f(b)-f(a) b-a< f?(a)< f?(b). Faire un dessin, puis montrer qu"il existe au moins un point d"inflexionc?]a,b[.Exercice4.3.
On considère la fonctionfdéfinie surRpar
f(x) =?e-1 xsix >0 a)Montrer quefest de classeC∞surR?et tracer son graphe. b)Est-elle continue en0? c)Prouver par récurrence surnque ?n?N?x?R?+f(n)(x) =e-1 xPn(1x) pour un certain polynômePn. d)En déduire quefest de classeC∞surR, puis donner son DLn(0)pour toutn. e)En déduire quedeux fonctions peuvent avoir le même DL en0de tout ordre, sans pour autantêtre égales.
5 DL ena?= 05
Exercice4.4.
Soitf:R→Rdéfinie par
f(x) =?x3sin(1 x)six >0 a)Montrer quefest continue surR(y compris en0). b)Montrer que f(x) =x2ε(x) est le DL defen0d"ordre2. c)Montrer de deux façons différents quefest dérivable en0, de dérivéef?(0) = 0.- log 1 x
- log1/x
- log1/x^2
- log 1/3 x
- log(1+x) series
- log(1+x) taylor
- log 1/x differentiation
- log(1+x) approximation