Exercices
La matrice de corrélation est de rang 2. ? L'angle entre deux variables vaut au maximum 2 π . ? L'inertie totale des nuages associés vaut 16
exo
Master 1 BEM MQEM T. D. n II . L'ACP pratique. Exercice n 1. Ent
3) Calculer la covariance entre x1 et x2. 4) Donner la matrice de corrélation. On veut faire une ACP centrée avec des poids uniformes.
MQEM TD
6 Exercices de synthèse corrigés
6 Exercices de synthèse corrigés Propres (matrice de corrél.) ... Ici le coefficient de corrélation dont la valeur absolue est la plus proche de 1.
Exercices de synthèse corrigés AFC fi
TD de Corrélation
Exercice 1 : Corrélation linéaire. On veut étudier la corrélation entre le nombre de véhicules en circulation et On donne la matrice des corrélations :.
td
Exercice 1 Considérons un échantillon de n = 5 individus où chaque
Effectuer une décomposition spectrale de la matrice de corrélation R : déterminer les valeurs propres λj associées aux vecteurs propres non-nuls uj de R. 7.
td partie corr
M1 Méthodes Quantitatives Avancées T. D. n III - Quelques
[d'après exercices proposés par J. F. Durand dans Calculer la matrice des corrélations R. 3. Effectuer la décomposition aux valeurs propres de R.
exosup
coefficient de corrélation Exercice 6 : Matrice de variance-covariance
Calculez les coefficients de corrélation de ces variables. Vos prévisions sont-elles vérifiées ? Exercice 6 : Matrice de variance-covariance.
L TP Probas
Sin título
Chapitre 1 : Rappel sur les notions de matrice et d'échantillonnage Dans notre cas le coefficient de corrélation de Spearman est égal à 07018 montrant ...
Analyse des donnees Resume de cours avec exercices dapplication
Analyses statistiques multivariées
23-11-2009 3.4.2 Corrélation de Bravais-Pearson . ... A Exercices et exemples ... Calculons la matrice de covariance pour l'exemple des notes.
polycop Bio
ANALYSE DES DONNÉES
Calculer la matrice de corrélation R. Comment peut-on procéder pour appliquer les résultats de cet exercice lorsque la métrique.
Textes TD AD
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http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdfFiche de Biostatistique
Exercices D. Chessel & A.B. Dufour
Résumé
La fiche donne des énoncés d'exercices d'algèbre et d'analyse des données. Quand une phrase commence par ? décider si elle est vraie ou fausse et justifier. Plan INDEPENDANCE, GENERATEUR, DIMENSION, BASES........................................................2METHODE DU PIVOT...........................................................................................................2
PRODUITS SCALAIRES........................................................................................................3
ORTHONORMALISATION......................................................................................................3
APPLICATIONS LINEAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS......................................4DIAGONALISATION..............................................................................................................5
STATISTIQUE.....................................................................................................................10
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http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf Indépendance, générateur, dimension, bases ? Dans un espace vectoriel E, si a, b, c et d sont des vecteurs indépendants, alors a - b, b - c, c - d et d - a sont des vecteurs indépendants. ? Dans 4R, les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous- espace vectoriel de dimension 2. ? Dans un espace vectoriel E, si a et b sont des vecteurs indépendants et si a et c sont des vecteurs indépendants, alors a, b et c sont des vecteurs indépendants. ? Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d'un nombre fini d'éléments. ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de R dans R.? On note E l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. E
est un espace vectoriel sur R. Dans E, un polynôme et sa dérivée forment toujours un système libre. ? Les vecteurs colonnes de la matrice 2132113 02 1 4 1 15 4 239717 2 345
2 2
23éùêú-êúêú-êú-ëû sont indépendants.
Méthode du pivot
Donner la dimension et une base des sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes des matrices : 15102131322132 2 634 5 1 3 26
4 02 14 26
4 3 3 1 1 55
0 4 239
15 01 1 03 1 16 2 2
345-éùéùéùéùêúêúêúêú---êúêúêúêúêúêúêúêú-êúêúêúêú-----ëûëûëûëû
? La matrice 20121 0 2 1 12 2 1 2 10 102211 2
201--éùêú--êúêú=--êú--êúêú--ëûA est inversible.
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http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf Produits scalaires ? Dans un espace euclidien 2222 v w v w 2 v2w++-=+n'est vrai que si v et w sont
orthogonaux. ? Si x et y sont deux vecteurs de nRet si x+yxy=+, alors l'un des deux vecteurs est nul. On considère dans R3 la fonction h qui, aux vecteurs 123(,,)xxx=v et 123(,,)yyy=w, associe le nombre réel : ()[]1 12 323 102
010
201yhxxxy
yéùéùêúêú=êúêúêúêúëûëûvw ? La fonction h est un produit scalaire. ? La fonction ()[]1 12 323 210
153
032ywxxxy
yéùéùêúêú=êúêúêúêúëûëûxy est un produit scalaire ?
? La fonction ()[]1 12 323 1 10 12 -1 0
11ygxxxy
yéùéùêúêú=êúêúêúêúëûëûxy est un produit scalaire ?
? Si l'inverse d'une matrice carrée est égale à sa transposée, ses colonnes forment une base
orthonormée pour le produit scalaire canonique. ? Une base orthonormale pour un produit scalaire donné est orthogonale pour tous les autres produits scalaires. ? Si s(x,y)=xtAy est un produit scalaire de 3R, alors la matrice A est inversible et la fonction t(x,y)=xtA-1y est un produit scalaire. ______________________________________________________________________Orthonormalisation
En partant de la base canonique, donner une base orthonormée pour le produit scalaire défini par : ()()()()()()33 1 2 12 2 2 2323:22xxyyxyxxyyY´®
Y ++xyxyRRR a D. Chessel & A.B. Dufour - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ______________________________________________________________________Biostatistique / exo3.doc /Page 4 sur 19
http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf En partant de la base : 12341130 03201111
0001éùéùéùéùêúêúêúêúêúêúêúêú====êúêúêúêúêúêúêúêúëûëûëûëûffff
donner une base orthonormée pour le produit scalaire canonique. ? e1, e2 et e3 désignent les vecteurs de la base canonique de R3, muni du produit scalaire canonique. L'angle entre e1+e2+e3 et son projeté orthogonal sur la plan (e1,e2) vaut /4p. ? Si f est un projecteur orthogonal de E = Rn, il existe une base pour laquelle sa matrice ne contient que des valeurs égales à 0 ou à 1. ? Si f est un endomorphisme de E = Rn et si p est son rang, il existe une base pour laquelle sa matrice comporte p colonnes de 0. ? Si f est un produit scalaire de E = Rn, il existe une base pour laquelle sa matrice est la matrice identité. ______________________________________________________________________ Applications linéaires, matrices, inverse, projecteursE est l'espace vectoriel
3R, {e} est la base canonique de E. E est muni du produit scalaire
canonique. On note a, b et c les trois vecteurs définis dans {e} par les colonnes de H. Une matrice A et la matrice H sont définies par : 131216100 1312 1 6 010
00013026éù--éùêúêú=-=êúêúêúêúëûêúëûHA
Soit f l'application linéaire de E dans E définie par : ()()(),,333,22,6626xyzfxyzxyxyz==++-+--+uua
? La matrice de f dans la base canonique est H. ? La matrice H est la matrice d'un produit scalaire. ? La matrice A est la matrice d'un produit scalaire. ? L'opérateur associé à H est un projecteur. ? Les vecteurs a, b et c forment une base orthonormée de E. D. Chessel & A.B. Dufour - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ______________________________________________________________________Biostatistique / exo3.doc /Page 1 sur 19
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Exercices D. Chessel & A.B. Dufour
Résumé
La fiche donne des énoncés d'exercices d'algèbre et d'analyse des données. Quand une phrase commence par ? décider si elle est vraie ou fausse et justifier. Plan INDEPENDANCE, GENERATEUR, DIMENSION, BASES........................................................2METHODE DU PIVOT...........................................................................................................2
PRODUITS SCALAIRES........................................................................................................3
ORTHONORMALISATION......................................................................................................3
APPLICATIONS LINEAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS......................................4DIAGONALISATION..............................................................................................................5
STATISTIQUE.....................................................................................................................10
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http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf Indépendance, générateur, dimension, bases ? Dans un espace vectoriel E, si a, b, c et d sont des vecteurs indépendants, alors a - b, b - c, c - d et d - a sont des vecteurs indépendants. ? Dans 4R, les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous- espace vectoriel de dimension 2. ? Dans un espace vectoriel E, si a et b sont des vecteurs indépendants et si a et c sont des vecteurs indépendants, alors a, b et c sont des vecteurs indépendants. ? Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d'un nombre fini d'éléments. ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de R dans R.? On note E l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. E
est un espace vectoriel sur R. Dans E, un polynôme et sa dérivée forment toujours un système libre. ? Les vecteurs colonnes de la matrice 2132113 02 1 4 1 15 4 239717 2 345
2 2
23éùêú-êúêú-êú-ëû sont indépendants.
Méthode du pivot
Donner la dimension et une base des sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes des matrices : 15102131322132 2 634 5 1 3 26
4 02 14 26
4 3 3 1 1 55
0 4 239
15 01 1 03 1 16 2 2
345-éùéùéùéùêúêúêúêú---êúêúêúêúêúêúêúêú-êúêúêúêú-----ëûëûëûëû
? La matrice 20121 0 2 1 12 2 1 2 10 102211 2
201--éùêú--êúêú=--êú--êúêú--ëûA est inversible.
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http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf Produits scalaires ? Dans un espace euclidien 2222 v w v w 2 v2w++-=+n'est vrai que si v et w sont
orthogonaux. ? Si x et y sont deux vecteurs de nRet si x+yxy=+, alors l'un des deux vecteurs est nul. On considère dans R3 la fonction h qui, aux vecteurs 123(,,)xxx=v et 123(,,)yyy=w, associe le nombre réel : ()[]1 12 323 102
010
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? La fonction ()[]1 12 323 1 10 12 -1 0
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yéùéùêúêú=êúêúêúêúëûëûxy est un produit scalaire ?
? Si l'inverse d'une matrice carrée est égale à sa transposée, ses colonnes forment une base
orthonormée pour le produit scalaire canonique. ? Une base orthonormale pour un produit scalaire donné est orthogonale pour tous les autres produits scalaires. ? Si s(x,y)=xtAy est un produit scalaire de 3R, alors la matrice A est inversible et la fonction t(x,y)=xtA-1y est un produit scalaire. ______________________________________________________________________Orthonormalisation
En partant de la base canonique, donner une base orthonormée pour le produit scalaire défini par : ()()()()()()33 1 2 12 2 2 2323:22xxyyxyxxyyY´®
Y ++xyxyRRR a D. Chessel & A.B. Dufour - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ______________________________________________________________________Biostatistique / exo3.doc /Page 4 sur 19
http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3.pdf En partant de la base : 12341130 03201111
0001éùéùéùéùêúêúêúêúêúêúêúêú====êúêúêúêúêúêúêúêúëûëûëûëûffff
donner une base orthonormée pour le produit scalaire canonique. ? e1, e2 et e3 désignent les vecteurs de la base canonique de R3, muni du produit scalaire canonique. L'angle entre e1+e2+e3 et son projeté orthogonal sur la plan (e1,e2) vaut /4p. ? Si f est un projecteur orthogonal de E = Rn, il existe une base pour laquelle sa matrice ne contient que des valeurs égales à 0 ou à 1. ? Si f est un endomorphisme de E = Rn et si p est son rang, il existe une base pour laquelle sa matrice comporte p colonnes de 0. ? Si f est un produit scalaire de E = Rn, il existe une base pour laquelle sa matrice est la matrice identité. ______________________________________________________________________ Applications linéaires, matrices, inverse, projecteursE est l'espace vectoriel
3R, {e} est la base canonique de E. E est muni du produit scalaire
canonique. On note a, b et c les trois vecteurs définis dans {e} par les colonnes de H. Une matrice A et la matrice H sont définies par : 131216100 1312 1 6 010
00013026éù--éùêúêú=-=êúêúêúêúëûêúëûHA
Soit f l'application linéaire de E dans E définie par : ()()(),,333,22,6626xyzfxyzxyxyz==++-+--+uua
? La matrice de f dans la base canonique est H. ? La matrice H est la matrice d'un produit scalaire. ? La matrice A est la matrice d'un produit scalaire. ? L'opérateur associé à H est un projecteur. ? Les vecteurs a, b et c forment une base orthonormée de E.- matrice de corrélation exercice corrigé