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THÈSE DE DOCTORAT DE

L"UNIVERSITÉ DE RENNES 1

ÉCOLEDOCTORALENO601Mathématiques et Sciences et Technologiesde l"Information et de la CommunicationSpécialité :Mathématiques et leurs interactions

Par

Mercedes HAIECH

Étude algébrique des systèmes d"équations différentielles polynomiales d"ordre arbitraire Surdétermination, tropicalisation, nilpotence et déformations. Thèse présentée et soutenue à Rennes, le 7 Décembre 2020

Unité de recherche : IRMAR

Rapporteurs avant soutenance :

Fuensanta AROCA Chercheuse à Universidad Nacional Autónoma de México Anne MOREAU Professeur des Universités au Laboratoire de Mathématiques d"Orsay

Composition du Jury :

Président : François BOULIER Professeur des Universités à l"Université de Lille Examinateurs : Zoé CHATZIDAKIS Directrice de recherche à l"ENS Dima GRIGORIEV Directeur de recherche à l"Université de Lille Anne MOREAU Professeur des Universités au Laboratoire de Mathématiques d"Orsay Dir. de thèse : David BOURQUI Maître de conférence à l"Université de Rennes 1 Dir. de thèse : Julien SEBAG Professeur des Universités à l"Université de Rennes 1 REMERCIEMENTSPour commencer je tiens à remercier David Bourqui et Julien Sebag pour m"avoir

encadrée en thèse pendant ces trois dernières années, et pour m"avoir initiée à la géo-

métrie algébrique et au schéma des arcs. Merci à David Bourqui pour sa disponibilité, ses conseils, ses remarques toujours pré- cises et pertinentes.

Merci à Julien Sebag pour m"avoir inspirée depuis la Licence 3, sa réactivité, et d"avoir

toujours été présent pour me guider. Merci à eux pour leur investissement et d"avoir cru en moi. Merci également à Fuensanta Aroca et Anne Moreau d"avoir accepté d"être les rappor- teurs de ma thèse, merci pour leurs corrections et leur relecture attentive. Merci à François Boulier, Zoé Chatzidakis, Dima Grigoriev et Anne Moreau d"avoir accepté d"être les membres du jury de ma thèse. Merci particulièrement à François Boulier pour les nombreux échanges que j"ai pu avoir avec lui sur l"algèbre différentielle. Il m"est ensuite difficile de remercier toutes les personnes qui sont intervenues de près ou de loin dans l"avancement dans ma thèse. Je tenterai donc d"être succincte. Merci à toute l"équipe administrative de l"IRMAR et de l"école doctorale pour m"avoir permis de me sentir chez moi à Rennes 1, pour leurs sourires et leur bonne humeur et m"avoir aidée dans toutes les démarches. Merci plus généralement au personnel de l"IRMAR, en particulier aux informaticiens d"avoir été disponibles toutes les fois où j"ai toqué à leur porte. Merci à l"équipe de Géométrie et Singularité de m"avoir accueillie pendant trois ans. Merci à l"ENS de m"avoir donné une mission d"enseignement et le TD de Théorie des groupes. Merci à l"IREM pour m"avoir permis de m"occuper d"un groupe recherche et forma- tion et où j"ai eu mon bureau pour la troisième année. Merci aux membres de l"IRMAR et de l"ENS avec qui j"ai eu l"occasion d"échanger, à ceux que j"ai eu en cours ou en TD. Merci à ceux et celles qui m"ont conseillée et encouragée. 3 Merci aux chercheurs qui m"ont encadrée à l"occasion de stages et qui m"ont fait dé- couvrir des domaines des mathématiques. Merci à mes co-bureaux (respectivement bureaux 621 et 232) d"avoir égayé mes jour- nées. Merci également à tous les doctorants de l"IRMAR avec qui j"ai eu l"occasion d"interagir, ceux qui sont partis avant moi et ceux qui resteront après et à qui je sou- haite bonne continuation. Merci pour les discussions de mathématiques, celles autour de Moebius, les différentielles de Gâteaux et les après-midi jeux. Un remerciement particulier va à mon "grand frère de thèse» qui m"a beaucoup conseillée ces derniers mois avant la soutenance. Merci à tous les professeurs et professeures que j"ai eus et qui m"ont montrés le che- min, pour toutes les choses que vous m"avez apprises.

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L"UNIVERSITÉ DE RENNES 1

ÉCOLEDOCTORALENO601Mathématiques et Sciences et Technologiesde l"Information et de la CommunicationSpécialité :Mathématiques et leurs interactions

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Étude algébrique des systèmes d"équations différentielles polynomiales d"ordre arbitraire Surdétermination, tropicalisation, nilpotence et déformations. Thèse présentée et soutenue à Rennes, le 7 Décembre 2020

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encadrée en thèse pendant ces trois dernières années, et pour m"avoir initiée à la géo-

métrie algébrique et au schéma des arcs. Merci à David Bourqui pour sa disponibilité, ses conseils, ses remarques toujours pré- cises et pertinentes.

Merci à Julien Sebag pour m"avoir inspirée depuis la Licence 3, sa réactivité, et d"avoir

toujours été présent pour me guider. Merci à eux pour leur investissement et d"avoir cru en moi. Merci également à Fuensanta Aroca et Anne Moreau d"avoir accepté d"être les rappor- teurs de ma thèse, merci pour leurs corrections et leur relecture attentive. Merci à François Boulier, Zoé Chatzidakis, Dima Grigoriev et Anne Moreau d"avoir accepté d"être les membres du jury de ma thèse. Merci particulièrement à François Boulier pour les nombreux échanges que j"ai pu avoir avec lui sur l"algèbre différentielle. Il m"est ensuite difficile de remercier toutes les personnes qui sont intervenues de près ou de loin dans l"avancement dans ma thèse. Je tenterai donc d"être succincte. Merci à toute l"équipe administrative de l"IRMAR et de l"école doctorale pour m"avoir permis de me sentir chez moi à Rennes 1, pour leurs sourires et leur bonne humeur et m"avoir aidée dans toutes les démarches. Merci plus généralement au personnel de l"IRMAR, en particulier aux informaticiens d"avoir été disponibles toutes les fois où j"ai toqué à leur porte. Merci à l"équipe de Géométrie et Singularité de m"avoir accueillie pendant trois ans. Merci à l"ENS de m"avoir donné une mission d"enseignement et le TD de Théorie des groupes. Merci à l"IREM pour m"avoir permis de m"occuper d"un groupe recherche et forma- tion et où j"ai eu mon bureau pour la troisième année. Merci aux membres de l"IRMAR et de l"ENS avec qui j"ai eu l"occasion d"échanger, à ceux que j"ai eu en cours ou en TD. Merci à ceux et celles qui m"ont conseillée et encouragée. 3 Merci aux chercheurs qui m"ont encadrée à l"occasion de stages et qui m"ont fait dé- couvrir des domaines des mathématiques. Merci à mes co-bureaux (respectivement bureaux 621 et 232) d"avoir égayé mes jour- nées. Merci également à tous les doctorants de l"IRMAR avec qui j"ai eu l"occasion d"interagir, ceux qui sont partis avant moi et ceux qui resteront après et à qui je sou- haite bonne continuation. Merci pour les discussions de mathématiques, celles autour de Moebius, les différentielles de Gâteaux et les après-midi jeux. Un remerciement particulier va à mon "grand frère de thèse» qui m"a beaucoup conseillée ces derniers mois avant la soutenance. Merci à tous les professeurs et professeures que j"ai eus et qui m"ont montrés le che- min, pour toutes les choses que vous m"avez apprises.