DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. II. Division euclidienne. Propriété : Soit a un entier naturel et b entier naturel non nul.
DivisibTS
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
PGCDTS
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
1. Congruences. Définition 1.1. Soit m a
cours
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 si x ∈ A. Soit A et B deux parties de E f et g leurs fonctions caractéristiques. Calculer les restes de la division euclidienne de 1
ficall
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
1.1 PGCD de deux nombres entiers naturels. Définitions : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble des diviseurs de a est noté D (a).
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. ... La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s'arrêter. Le dernier.
cours pgcd ppcm bezout gauss
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
II. Théorème de Bézout et théorème de Gauss. 1) Nombres premiers entre eux. Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
TPGCD
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
II. Théorème de Bézout et théorème de Gauss. 1) Nombres premiers entre eux. Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
ArithTE
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1 si x ∈ A. Soit A et B deux parties de E f et g leurs fonctions caractéristiques. Calculer les restes de la division euclidienne de 1
ficall
PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE I) Définitions : 1) Multiple et
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que Effectuer la division euclidienne de a par b
Cours PGCD
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I. Divisibilité dans
Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a, - b est un multiple de a. Exemples : • 56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8) • L'ensemble des multiples de 5 sont {... ; -15 ; -10 ; -5 ; 0 ; 5 ; 10 ; ...}. On note cet ensemble
5!. • 0 est divisible par tout entier relatif. Propriété (transitivité) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b et b divise c alors a divise c. Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b. Donc il existe un entier relatif l = kk' tel que c = la. Donc a divise c. Exemple : • 3 divise 12 et 12 divise 36 donc 3 divise 36. • On peut appliquer également la contraposée de la propriété de transitivité : Comme 2 ne divise pas 1001, aucun nombre pair ne divise 1001. En effet, si par exemple 10 divisait 1001 alors 2 diviserait 1001. Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs. Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c. Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel que ma + nb = lc. Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1. Alors N divise n + 1 - n = 1. Donc N = -1 ou N = 1.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Division euclidienne Propriété : Soit a un entier naturel et b entier naturel non nul. Il existe un unique couple d'entiers (q ; r) tel que a = bq + r avec
. Définitions : - q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b, - r est appelé le reste. Exemple : Dans la division euclidienne de 412 par 15, on a : 412 = 15 x 27 + 7 Démonstration : Existence : 1er cas :
: Le couple (q ; r) = (0 ; a) convient. 2e cas :: Soit E l'ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. Alors E est non vide car l'entier
2b×a
appartient à E. En effet b≥1 donc2b×a≥2a>a
. E possède donc un plus petit élément c'est à dire un multiple de b strictement supérieur à a tel que le multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que
. Comme, on a . Et comme b > 0, on a 0. Le seul multiple de b compris entre -b et b est 0, donc r' - r = 0 et donc r' = r. D'où q = q'. Propriété : On peut étendre la propriété précédente au cas où a est un entier relatif. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 Méthode : Déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne Vidéo https://youtu.be/bwS45UeOZrg Déterminer le quotient et le reste de la division de -5000 par 17. A l'aide de la calculatrice, on obtient : Ainsi : 5000 = 17 x 294 + 2 Donc : -5000 = 17 x (-294) - 2 Le reste est un entier positif inférieur à 17. Donc : -5000 = 17 x (-294) - 17 - 2 + 17 Soit : -5000 = 17 x (-295) + 15 D'où, le quotient est -295 et le reste est 15. III. Congruences dans
Exemple : On considère la suite de nombres : 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5. Par exemple : 21 - 6 = 15 qui est divisible par 5. On dit que 21 et 6 sont congrus modulo 5. Définition : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a - b est divisible par n. On note
a≡bn. Propriété : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n. Démonstration : - Si r = r' : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') donc a - b est divisible par n et donc
a≡bnYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 - Si a et b sont congrus modulo n : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') + r - r' Donc r - r' = a - b - n(q - q') Comme
a≡bn , a - b est divisible par n et donc r - r' est divisible par n. Par ailleurs, et Donc etEt donc
. r - r' est un multiple de n compris entre -n et n donc r - r' = 0, soit r = r'. Exemple : On a vu que
21≡65
. Les égalités euclidiennes 21 = 4 x 5 + 1 et 6 = 1 x 5 + 1 montrent que le reste de la division de 21 par 5 est égal au reste de la division de 6 par 5. Propriétés : Soit n un entier naturel non nul. a)
a≡an pour tout entier relatif a. b) Si a≡bn et b≡cn alors a≡cn (Relation de transitivité) Démonstration : a) a - a = 0 est divisible par n. b) a≡bn et b≡cndonc n divise a - b et b - c donc n divise a - b + b - c = a - c . Propriété (Opérations) : Soit n un entier naturel non nul. Soit a, b, a' et b' des nombres relatifs tels que
a≡bn et a'≡b'n alors on a : - a+a'≡b+b'n a-a'≡b-b'n a×a'≡b×b'n a p ≡b p n avec p∈!Démonstration de la dernière relation : • Initialisation : La démonstration est triviale pour p = 0 ou p = 1 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
a k ≡b k n - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : a k+1 ≡b k+1 n a k+1 ≡a×a k ≡b×b k ≡b k+1 n• Conclusion : La propriété est vraie pour p = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel p.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Exemples : On a7≡43
et11≡203
donc : -7+11≡4+20≡243
et on a alors7+11≡03
7×11≡4×20≡803
et on a alors7×11≡23
. Démontrer une congruence : Vidéo https://youtu.be/wdFNCnSfIgE Méthode : Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences Vidéo https://youtu.be/uVS-oeibDJ4 a) Déterminer le reste de la division de 2456 par 5. b) Déterminer le reste de la division de 2437 par 7. a) Toute puissance de 1 est égale à 1. On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 5. On choisit alors de décomposer 456 à l'aide du facteur 4 car
2 4 ≡16≡15 2 456
≡24×114
5 ≡2 4 114
5 ≡1 114
5 , on applique la formule de congruences des puissances. ≡15Le reste est égal à 1. b) On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 7. On choisit alors de décomposer 437 à l'aide du facteur 3 car
2 3 ≡8≡17 2 437
≡23×145+2
7 ≡2 3 145
×2 2 7 ≡1 145
×47
≡47Le reste est égal à 4. Méthode : Résoudre une équation avec des congruences Vidéo https://youtu.be/Hb39SqG6nbg Vidéo https://youtu.be/aTn05hp_b7I a) Déterminer les entiers x tels que
6+x≡53
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Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a, - b est un multiple de a. Exemples : • 56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8) • L'ensemble des multiples de 5 sont {... ; -15 ; -10 ; -5 ; 0 ; 5 ; 10 ; ...}. On note cet ensemble
5!. • 0 est divisible par tout entier relatif. Propriété (transitivité) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b et b divise c alors a divise c. Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b. Donc il existe un entier relatif l = kk' tel que c = la. Donc a divise c. Exemple : • 3 divise 12 et 12 divise 36 donc 3 divise 36. • On peut appliquer également la contraposée de la propriété de transitivité : Comme 2 ne divise pas 1001, aucun nombre pair ne divise 1001. En effet, si par exemple 10 divisait 1001 alors 2 diviserait 1001. Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs. Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c. Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel que ma + nb = lc. Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1. Alors N divise n + 1 - n = 1. Donc N = -1 ou N = 1.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Division euclidienne Propriété : Soit a un entier naturel et b entier naturel non nul. Il existe un unique couple d'entiers (q ; r) tel que a = bq + r avec
. Définitions : - q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b, - r est appelé le reste. Exemple : Dans la division euclidienne de 412 par 15, on a : 412 = 15 x 27 + 7 Démonstration : Existence : 1er cas :
: Le couple (q ; r) = (0 ; a) convient. 2e cas :: Soit E l'ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. Alors E est non vide car l'entier
2b×a
appartient à E. En effet b≥1 donc2b×a≥2a>a
. E possède donc un plus petit élément c'est à dire un multiple de b strictement supérieur à a tel que le multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que
. Comme, on a . Et comme b > 0, on a 0. Le seul multiple de b compris entre -b et b est 0, donc r' - r = 0 et donc r' = r. D'où q = q'. Propriété : On peut étendre la propriété précédente au cas où a est un entier relatif. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 Méthode : Déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne Vidéo https://youtu.be/bwS45UeOZrg Déterminer le quotient et le reste de la division de -5000 par 17. A l'aide de la calculatrice, on obtient : Ainsi : 5000 = 17 x 294 + 2 Donc : -5000 = 17 x (-294) - 2 Le reste est un entier positif inférieur à 17. Donc : -5000 = 17 x (-294) - 17 - 2 + 17 Soit : -5000 = 17 x (-295) + 15 D'où, le quotient est -295 et le reste est 15. III. Congruences dans
Exemple : On considère la suite de nombres : 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5. Par exemple : 21 - 6 = 15 qui est divisible par 5. On dit que 21 et 6 sont congrus modulo 5. Définition : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a - b est divisible par n. On note
a≡bn. Propriété : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n. Démonstration : - Si r = r' : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') donc a - b est divisible par n et donc
a≡bnYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 - Si a et b sont congrus modulo n : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') + r - r' Donc r - r' = a - b - n(q - q') Comme
a≡bn , a - b est divisible par n et donc r - r' est divisible par n. Par ailleurs, et Donc etEt donc
. r - r' est un multiple de n compris entre -n et n donc r - r' = 0, soit r = r'. Exemple : On a vu que
21≡65
. Les égalités euclidiennes 21 = 4 x 5 + 1 et 6 = 1 x 5 + 1 montrent que le reste de la division de 21 par 5 est égal au reste de la division de 6 par 5. Propriétés : Soit n un entier naturel non nul. a)
a≡an pour tout entier relatif a. b) Si a≡bn et b≡cn alors a≡cn (Relation de transitivité) Démonstration : a) a - a = 0 est divisible par n. b) a≡bn et b≡cndonc n divise a - b et b - c donc n divise a - b + b - c = a - c . Propriété (Opérations) : Soit n un entier naturel non nul. Soit a, b, a' et b' des nombres relatifs tels que
a≡bn et a'≡b'n alors on a : - a+a'≡b+b'n a-a'≡b-b'n a×a'≡b×b'n a p ≡b p n avec p∈!Démonstration de la dernière relation : • Initialisation : La démonstration est triviale pour p = 0 ou p = 1 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
a k ≡b k n - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : a k+1 ≡b k+1 n a k+1 ≡a×a k ≡b×b k ≡b k+1 n• Conclusion : La propriété est vraie pour p = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel p.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Exemples : On a7≡43
et11≡203
donc : -7+11≡4+20≡243
et on a alors7+11≡03
7×11≡4×20≡803
et on a alors7×11≡23
. Démontrer une congruence : Vidéo https://youtu.be/wdFNCnSfIgE Méthode : Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences Vidéo https://youtu.be/uVS-oeibDJ4 a) Déterminer le reste de la division de 2456 par 5. b) Déterminer le reste de la division de 2437 par 7. a) Toute puissance de 1 est égale à 1. On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 5. On choisit alors de décomposer 456 à l'aide du facteur 4 car
2 4 ≡16≡15 2 456
≡24×114
5 ≡2 4 114
5 ≡1 114
5 , on applique la formule de congruences des puissances. ≡15Le reste est égal à 1. b) On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 7. On choisit alors de décomposer 437 à l'aide du facteur 3 car
2 3 ≡8≡17 2 437
≡23×145+2
7 ≡2 3 145
×2 2 7 ≡1 145
×47
≡47Le reste est égal à 4. Méthode : Résoudre une équation avec des congruences Vidéo https://youtu.be/Hb39SqG6nbg Vidéo https://youtu.be/aTn05hp_b7I a) Déterminer les entiers x tels que
6+x≡53
- définition division euclidienne
- def division euclidienne