DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. II. Division euclidienne. Propriété : Soit a un entier naturel et b entier naturel non nul.
DivisibTS
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
PGCDTS
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
1. Congruences. Définition 1.1. Soit m a
cours
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 si x ∈ A. Soit A et B deux parties de E f et g leurs fonctions caractéristiques. Calculer les restes de la division euclidienne de 1
ficall
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
1.1 PGCD de deux nombres entiers naturels. Définitions : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble des diviseurs de a est noté D (a).
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. ... La suite des divisions euclidiennes suivantes finit par s'arrêter. Le dernier.
cours pgcd ppcm bezout gauss
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
II. Théorème de Bézout et théorème de Gauss. 1) Nombres premiers entre eux. Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
TPGCD
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
II. Théorème de Bézout et théorème de Gauss. 1) Nombres premiers entre eux. Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
ArithTE
ficall.pdf
1 si x ∈ A. Soit A et B deux parties de E f et g leurs fonctions caractéristiques. Calculer les restes de la division euclidienne de 1
ficall
PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE I) Définitions : 1) Multiple et
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que Effectuer la division euclidienne de a par b
Cours PGCD
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1 PGCD ET NOMBRES PREMIERS
I. PGCD de deux entiers
1) Définition et propriétés
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/sC2iPY27Ym0
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20Le plus grand diviseur commun à 60 et 100 est 20. On le nomme le í µí µí µí µ de 60 et
100.Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle í µí µí µí µ de a et b le plus grand commun diviseur de a et b et note í µí µí µí µ(a ; b).
Remarque :
On peut étendre cette définition à des entiers relatifs. Ainsi dans le cas d'entiers négatifs, la recherche du í µí µí µí µ se ramène au cas positif. Par exemple, í µí µí µí µ(-60;100)=í µí µí µí µ(60;100). On a ainsi de façon générale : í µí µí µí µ Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a) í µí µí µí µ(í µ;0)=í µ b) í µí µí µí µ(í µ;1)=1 c) Si b divise a alors í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µDémonstration de c :
Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Donc le plus grand diviseur de b (qui est b) est un diviseur de a.2) Algorithme d'Euclide
C'est avec Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), que le s théori es sur les nombres premiers se mettent en place. Dans " Les éléments » (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l'existence d'une infinité de nombres premiers. " Le s nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers ».Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de í µí µí µí µ.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2 Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r est le reste de la division euclidienne de a par b. On a : í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µí µí µí µ(í µ;í µ).Démonstration :
On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.Si í µ un diviseur de b et r alors í µ divise a = bq + r et donc í µ est un diviseur de a et b.
Réciproquement, si í µ un diviseur de a et b alors í µ divise r = a - bq et donc í µ est un
diviseur de b et r. On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensembledes diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µí µí µí µ(í µ;í µ).
Méthode : Recherche de í µí µí µí µ par l'algorithme d'EuclideVidéo https://youtu.be/npG_apkI18o
Déterminer le í µí µí µí µ de 252 et 360.On applique l'algorithme d'Euclide :
360 = 252 x 1 + 108
252 = 108 x 2 + 36
108 = 36 x 3 + 0
Le dernier reste non nul est 36 donc í µí µí µí µ(252 ; 360) = 36. En effet, d'après la propriété précédente :í µí µí µí µ(252 ; 360) = í µí µí µí µ(252 ; 108) = í µí µí µí µ(108 ; 36) = í µí µí µí µ(36 ; 0) = 36
Il est possible de vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice :Avec une TI 82/83 :
Touche "MATH" puis menu "NBRE" :
Avec une Casio 35+ :
Touche "OPTION" puis "ð" (=touche F6).
Choisir "Num" puis "ð".
Et choisir "GCD".
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est l'ensemble des diviseurs de leurDémonstration :
On a démontré précédemment que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3 En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante de restes í µ,í µ ,... En effet, on a successivement : Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r.Il existe donc un rang k tel que í µ
â‰ í µ et í µ Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de r k et 0. A noter qu'à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l'algorithme d'Euclide, ledernier reste non nul est égal au í µí µí µí µ de a et b. En effet, í µí µí µí µ(r
k ; 0) = r k On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs de r kExemple :
Vidéo https://youtu.be/leI0FUKjEcs
Chercher les diviseurs communs de 2730 et 5610 revient à chercher les diviseurs de leur í µí µí µí µ. A l'aide de la calculatrice, on obtient : í µí µí µí µ(2730 ; 5610) = 30. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Donc les diviseurs communs à 2730 et 5610 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Propriété : Soit a, b et k des entiers naturels non nuls.Démonstration :
En appliquant l'algorithme d'Euclide, on obtient successivement : ;0Exemple :
Vidéo https://youtu.be/EIcXmEi_HPs
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1PGCD ET NOMBRES PREMIERS
I. PGCD de deux entiers
1) Définition et propriétés
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/sC2iPY27Ym0
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20Le plus grand diviseur commun à 60 et 100 est 20. On le nomme le í µí µí µí µ de 60 et
100.Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle í µí µí µí µ de a et b le plus grand commun diviseur de a et b et note í µí µí µí µ(a ; b).
Remarque :
On peut étendre cette définition à des entiers relatifs. Ainsi dans le cas d'entiers négatifs, la recherche du í µí µí µí µ se ramène au cas positif. Par exemple, í µí µí µí µ(-60;100)=í µí µí µí µ(60;100). On a ainsi de façon générale : í µí µí µí µ Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a) í µí µí µí µ(í µ;0)=í µ b) í µí µí µí µ(í µ;1)=1 c) Si b divise a alors í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µDémonstration de c :
Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Donc le plus grand diviseur de b (qui est b) est un diviseur de a.2) Algorithme d'Euclide
C'est avec Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), que le s théori es sur les nombres premiers se mettent en place. Dans " Les éléments » (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l'existence d'une infinité de nombres premiers. " Le s nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers ».Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de í µí µí µí µ.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2 Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r est le reste de la division euclidienne de a par b. On a : í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µí µí µí µ(í µ;í µ).Démonstration :
On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.Si í µ un diviseur de b et r alors í µ divise a = bq + r et donc í µ est un diviseur de a et b.
Réciproquement, si í µ un diviseur de a et b alors í µ divise r = a - bq et donc í µ est un
diviseur de b et r. On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensembledes diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, í µí µí µí µ(í µ;í µ)=í µí µí µí µ(í µ;í µ).
Méthode : Recherche de í µí µí µí µ par l'algorithme d'EuclideVidéo https://youtu.be/npG_apkI18o
Déterminer le í µí µí µí µ de 252 et 360.On applique l'algorithme d'Euclide :
360 = 252 x 1 + 108
252 = 108 x 2 + 36
108 = 36 x 3 + 0
Le dernier reste non nul est 36 donc í µí µí µí µ(252 ; 360) = 36. En effet, d'après la propriété précédente :í µí µí µí µ(252 ; 360) = í µí µí µí µ(252 ; 108) = í µí µí µí µ(108 ; 36) = í µí µí µí µ(36 ; 0) = 36
Il est possible de vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice :Avec une TI 82/83 :
Touche "MATH" puis menu "NBRE" :
Avec une Casio 35+ :
Touche "OPTION" puis "ð" (=touche F6).
Choisir "Num" puis "ð".
Et choisir "GCD".
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est l'ensemble des diviseurs de leurDémonstration :
On a démontré précédemment que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3 En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante de restes í µ,í µ ,... En effet, on a successivement : Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r.Il existe donc un rang k tel que í µ
â‰ í µ et í µ Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de r k et 0. A noter qu'à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l'algorithme d'Euclide, ledernier reste non nul est égal au í µí µí µí µ de a et b. En effet, í µí µí µí µ(r
k ; 0) = r k On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs de r kExemple :
Vidéo https://youtu.be/leI0FUKjEcs
Chercher les diviseurs communs de 2730 et 5610 revient à chercher les diviseurs de leur í µí µí µí µ. A l'aide de la calculatrice, on obtient : í µí µí µí µ(2730 ; 5610) = 30. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Donc les diviseurs communs à 2730 et 5610 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Propriété : Soit a, b et k des entiers naturels non nuls.Démonstration :
En appliquant l'algorithme d'Euclide, on obtient successivement : ;0Exemple :
Vidéo https://youtu.be/EIcXmEi_HPs
- définition division euclidienne
- def division euclidienne