PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE I) Définitions : 1) Multiple et

210384 1

PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE

I) Définitions :

1) Multiple et diviseur :

Soit a et b deux nombres entiers naturels, tels que ൩ ¡ ൥ ª ou ୽ = k avec b non nul où k est un nombre entier naturel

On dit que

a est un multiple de b b est un diviseur de a

Remarque :

a est aussi un multiple de k . Si l"entier naturel k est non nul, c"est aussi un diviseur de a.

Exemple :

143 est-il un multiple de 11 ?

143 : 11 = 13

Donc 143 est un multiple de 11 ( et aussi de 13).

11 et 13 sont des diviseurs de 143.

362 est-il divisible par 16 ?

362 : 16 = 22,625 22,625 n"est pas un nombre entier

donc 16 n"est pas un diviseur de 362. 362 n"est pas un multiple de 16.

Rappel : Critères de divisibilité

Nombre divisible par 2 :

Nombre divisible par 3 :

Nombre divisible par 5 :

Nombre divisible par 9 :

2

Remarques :

0 est un multiple de tout nombre entier naturel b car

0b0´=.

Tout nombre entier naturel non nul a une infinité de multiples. Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 ........

0 a un seul multiple : 0

2) Division euclidienne :

Effectuer la division euclidienne de a par b, c"est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que a = b × q + r avec r < b. q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne. a b r q

Exemple : diviseur reste

217 3
1 72 Donc

1723217+´=

dividende quotient

Remarques :

Si r = 0, b est un diviseur de a.

Si le reste est aussi strictement inférieur au quotient, on peut intervertir le quotient et le diviseur. Déterminer le quotient et le reste de la division de 89 par 7.

II) PGCD :

1) Définition:

Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Commun Diviseur.

Exemple :

Recherchons les diviseurs de 42 et 150

Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,42

Diviseurs de 150 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 Les diviseurs communs à 42 et 150 sont : 1, 2, 3, 6

Le PGCD de 42 et 150 est donc 6.

3

Remarques:

Soit a un nombre relatif, le PGCD (a ; a) est a. Soit a et b deux nombres entiers naturels, si b divise a alors le PGCD (a ; b) est b.

PGCD (143;13) = 13 car

1113143´=

2) Méthodes de calcul du PGCD:

A) Méthode des soustractions successives :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b ,

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a - b)

Déterminons le PGCD de 255 et 153

255 > 153 donc PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 255 -153)

PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 102)

Recommençons le procédé

153 > 102 donc PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 153 -102)

PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 51)

Recommençons le procédé

102 > 51 donc PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 102 -51)

PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 51)

Recommençons le procédé

PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 51 -51)

PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 0)

Or le PGCD (51 ; 0) = 51 donc le PGCD (255 ; 153) est 51 Le PGCD est le dernier nombre différent de zéro dans la suite des soustractions successives. 4

Exemple :

Calculer le PGCD de 210 et de 91 par la méthode des soustractions successives.

B) Méthode des divisions successives :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

où r est le reste de la division euclidienne de a par b .

Justification :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,

Soit k le PGCD de a et de b

"a×k=a et "b×k=b avec aet b nombres entiers positifs Effectuons la division euclidienne de a par b, r+q×b=a avec r et q nombres entiers positifs tels que b > r et r ≥ 0 r+q× "b×k="a×k q "bk "akr´´-´= )q "b "a( kr´-= Or r ≥ 0 et k > 0 donc positifentier nombreun est q "b "a´- et par conséquent, k divise r.

Raisonnons par l"absurde ,

supposons qu"il existe un nombre K, diviseur de r et de b tel que K > k uKr´= et vKb´= avec uet v nombres entiers positifs Or r+q×b=a uK vKba´+´´= )uvb( Ka+´= a. diviseK donc positifentier nombreun est uvb+´ K divise b, K divise a, et K > k . Ceci contredit le fait que k soit le PGCD de a et de b. Donc K n"existe pas et k est bien le PGCD de b et de r. 5

Déterminons le PGCD de 735 et 84

735 > 84 , effectuons donc la division euclidienne de 735 par 84

735 84

63 8
donc PGCD (735 ; 84) = PGCD (84 ; 63)

Recommençons le procédé

84 63
21 1
donc PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21) 63 21
0 3 donc PGCD (63 ; 21) = PGCD (21 ; 0) = 21

En conclusion le PGCD (735 ; 84) est 21.

Le PGCD est le dernier reste non nul dans la suite des divisions successives.

Exemple :

Calculer le PGCD de 144 et de 684 par la méthode des divisions successives.

C) Comparaison des deux méthodes :

Activité

6

III) Nombres premiers entre eux :

Définition:

Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Exemples:

a) Les nombres 212 et 63 sont-ils premiers entre eux ? b) Les nombres 266 et 112 sont-ils premiers entre eux ?

IV) Fraction irréductible :

1) Définition:

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples:

Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? si non, les rendre irréductibles. a) 9

14 b) 15

35

2) Méthodes pour rendre une fraction irréductible:

a) Première méthode :

Rendons la fraction

54

42 irréductible.

On recherche un diviseur commun de 42 et 54 : 2

27
21
2:54 2:42 54
42==

On recherche un diviseur commun de 21 et 27 : 3

9 7 3:27 3:21 27
21==
Donc 9 7 54
42= .
7 b) Deuxième méthode :

Rendons la fraction

1

PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE

I) Définitions :

1) Multiple et diviseur :

Soit a et b deux nombres entiers naturels, tels que ൩ ¡ ൥ ª ou ୽ = k avec b non nul où k est un nombre entier naturel

On dit que

a est un multiple de b b est un diviseur de a

Remarque :

a est aussi un multiple de k . Si l"entier naturel k est non nul, c"est aussi un diviseur de a.

Exemple :

143 est-il un multiple de 11 ?

143 : 11 = 13

Donc 143 est un multiple de 11 ( et aussi de 13).

11 et 13 sont des diviseurs de 143.

362 est-il divisible par 16 ?

362 : 16 = 22,625 22,625 n"est pas un nombre entier

donc 16 n"est pas un diviseur de 362. 362 n"est pas un multiple de 16.

Rappel : Critères de divisibilité

Nombre divisible par 2 :

Nombre divisible par 3 :

Nombre divisible par 5 :

Nombre divisible par 9 :

2

Remarques :

0 est un multiple de tout nombre entier naturel b car

0b0´=.

Tout nombre entier naturel non nul a une infinité de multiples. Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 ........

0 a un seul multiple : 0

2) Division euclidienne :

Effectuer la division euclidienne de a par b, c"est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que a = b × q + r avec r < b. q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne. a b r q

Exemple : diviseur reste

217 3
1 72 Donc

1723217+´=

dividende quotient

Remarques :

Si r = 0, b est un diviseur de a.

Si le reste est aussi strictement inférieur au quotient, on peut intervertir le quotient et le diviseur. Déterminer le quotient et le reste de la division de 89 par 7.

II) PGCD :

1) Définition:

Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Commun Diviseur.

Exemple :

Recherchons les diviseurs de 42 et 150

Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,42

Diviseurs de 150 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150 Les diviseurs communs à 42 et 150 sont : 1, 2, 3, 6

Le PGCD de 42 et 150 est donc 6.

3

Remarques:

Soit a un nombre relatif, le PGCD (a ; a) est a. Soit a et b deux nombres entiers naturels, si b divise a alors le PGCD (a ; b) est b.

PGCD (143;13) = 13 car

1113143´=

2) Méthodes de calcul du PGCD:

A) Méthode des soustractions successives :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b ,

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a - b)

Déterminons le PGCD de 255 et 153

255 > 153 donc PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 255 -153)

PGCD (255 ; 153) = PGCD (153 ; 102)

Recommençons le procédé

153 > 102 donc PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 153 -102)

PGCD (153 ; 102) = PGCD (102 ; 51)

Recommençons le procédé

102 > 51 donc PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 102 -51)

PGCD (102 ; 51) = PGCD (51 ; 51)

Recommençons le procédé

PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 51 -51)

PGCD (51 ; 51) = PGCD (51 ; 0)

Or le PGCD (51 ; 0) = 51 donc le PGCD (255 ; 153) est 51 Le PGCD est le dernier nombre différent de zéro dans la suite des soustractions successives. 4

Exemple :

Calculer le PGCD de 210 et de 91 par la méthode des soustractions successives.

B) Méthode des divisions successives :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

où r est le reste de la division euclidienne de a par b .

Justification :

Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,

Soit k le PGCD de a et de b

"a×k=a et "b×k=b avec aet b nombres entiers positifs Effectuons la division euclidienne de a par b, r+q×b=a avec r et q nombres entiers positifs tels que b > r et r ≥ 0 r+q× "b×k="a×k q "bk "akr´´-´= )q "b "a( kr´-= Or r ≥ 0 et k > 0 donc positifentier nombreun est q "b "a´- et par conséquent, k divise r.

Raisonnons par l"absurde ,

supposons qu"il existe un nombre K, diviseur de r et de b tel que K > k uKr´= et vKb´= avec uet v nombres entiers positifs Or r+q×b=a uK vKba´+´´= )uvb( Ka+´= a. diviseK donc positifentier nombreun est uvb+´ K divise b, K divise a, et K > k . Ceci contredit le fait que k soit le PGCD de a et de b. Donc K n"existe pas et k est bien le PGCD de b et de r. 5

Déterminons le PGCD de 735 et 84

735 > 84 , effectuons donc la division euclidienne de 735 par 84

735 84

63 8
donc PGCD (735 ; 84) = PGCD (84 ; 63)

Recommençons le procédé

84 63
21 1
donc PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21) 63 21
0 3 donc PGCD (63 ; 21) = PGCD (21 ; 0) = 21

En conclusion le PGCD (735 ; 84) est 21.

Le PGCD est le dernier reste non nul dans la suite des divisions successives.

Exemple :

Calculer le PGCD de 144 et de 684 par la méthode des divisions successives.

C) Comparaison des deux méthodes :

Activité

6

III) Nombres premiers entre eux :

Définition:

Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Exemples:

a) Les nombres 212 et 63 sont-ils premiers entre eux ? b) Les nombres 266 et 112 sont-ils premiers entre eux ?

IV) Fraction irréductible :

1) Définition:

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples:

Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? si non, les rendre irréductibles. a) 9

14 b) 15

35

2) Méthodes pour rendre une fraction irréductible:

a) Première méthode :

Rendons la fraction

54

42 irréductible.

On recherche un diviseur commun de 42 et 54 : 2

27
21
2:54 2:42 54
42==

On recherche un diviseur commun de 21 et 27 : 3

9 7 3:27 3:21 27
21==
Donc 9 7 54
42= .
7 b) Deuxième méthode :

Rendons la fraction