SpéMaths Partie A : Un peu dhistoire Partie B : Déroulement et

210712 DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMathsPartie A : Un peu d"histoire

Henry Briggs (1561-1630)

est l eco-i nventeur,av ecson ami

J ohnN eper

, des logarithmes.

B riggs

comp létaet

dressa la table des logarithmes des entiers, des sinus et des tangentes, avec 14 décimales dans son ouvrage

Arithmetica Logarithmica.

Partie B : Déroulement et programmation de l"algorithme

On donne ci-dessous un extrait del"Introduction à l"analyse infinitésimaleoùLeonh ardE uler1 707-1783ex-

plique la méthode utilisée par

B riggs

p ourc alculerune v aleurapp rochéedu l ogarithmed écimalde 5 .O n

rappelle que lelogarithme décimald"un nombre strictement positifxest noté log(x) et qu"il est proportion-

nel au logarithme népérien ln(x) par la relation log(x)AEln(x)ln(10) .Les colonnes de gauche et du milieu se complètent selon l"algorithme suivant :

+Étape 1 : initialisationOn initialise les deux premières lignes avec deux nombresAAE1 etBAE10, qui

encadrent 5, et leurs logarithmes décimauxlAAE0 etlBAE1. On a bien log(10)AEln(10)ln(10)

AE1 d"oùlBAE1.

+Étape 2 : boucleOn répète en boucle les instructions suivantes pour remplir les lignes suivantes.

C olonnede g auche: On prend les deux dernières valeurs de la colonne de gauche qui encadrent

5 et on calcule leur moyenne géométrique qu"on affecte comme nouvelle valeur de la colonne de

gauche. Quelques exemples :

pour calculerCen la troisième ligne, on a sélectionnéAetB, puis calculé leur moyenne géo-

métriquepAB;

pour calculerGen septième ligne, on a sélectionnéDetF, puis calculé leur moyenne géomé-

triquepDF; pour calculerVen vingt cinquième ligne, on a sélectionnéOetT, puis calculé leur moyenne géométriquepOT.

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4https://frederic-junier.org/

DM : calcul de logarithme par l"algorithme de BriggsSpéMaths-C olonnedu m ilieu: On sélectionne les mêmes lignes que pour le calcul de la nouvelle valeur de

la colonne de gauche, mais pour la valeur en colonne du milieu on calcule la moyenne arithmé- tique des valeurs du milieu des lignes sélectionnées. Quelques exemples : pour calculerlCen la troisième ligne, on a sélectionnélAetlB, puis calculé leur moyenne arithmétique lAÅlB2 pourcalculerlGenseptièmeligne,onasélectionnélDetlF,puiscalculéleurmoyennearith- métique lDÅlF2 pourcalculerlVenvingtcinquièmeligne,onasélectionnélOetlT,puiscalculéleurmoyenne arithmétique lOÅlT2

+Étape 3 : finOn peut démontrer que la suite formée par les valeurs de la colonne de gauche converge

vers 5 et que la suite des valeurs de la colonne du milieu converge vers log(5). On peut choisir comme

critère d"arrêt de boucle un seuil sur l"écart entre la valeur de la colonne de gauche et 5 ou l"écart entre

deux valeurs successives de la colonne du milieu.

1.Expliquer le calcul des valeursCetlCdans l"extrait de l"explicationd "Euler.

Démontrer que la valeur delCest égale au logarithme décimal de la valeur deC

2.Expliquer le calcul des valeursRetlRdans l"extrait de l"explicationd "Euler.

On admet quelOetlQcontiennent respectivement les logarithmes décimaux deOetQ. Démontrer que la valeur delRest égale au logarithme décimal deR.

3.Quel type de raisonnement permettrait de démontrer que pour chaque ligne, la valeur de la colonne

du milieu est le logarithme décimal de la valeur de la colonne de gauche? On admet ce résultat pour la

suite.

4.On peut appliquer l"algorithme deB riggspour calcul erune v aleurapp rochéedu logar ithmedécimal de

xpour tout réelxcompris entre 1 et 10. Compléter la fonctionPythonci-dessous pour quebriggs(x, epsilon)retourne un encadrement de log(x) d"amplitudeepsilonpar cet algorithme. Les variablesaetbsont les valeurs successives de la colonne de gauche encadrantx, tandis quelogaet logbsont les valeurs correspondantes de la colonne du milieu dans l"explicationd "Euler. On admet que pour16x610,aetbconvergent versx, tandis quelogaetlogbconvergent vers log(x). from math import sqrt def moyenne_geometrique(c, d): return sqrt(c * d) def moyenne_arithmetique(c, d): return (c + d) / 2 def briggs(x, epsilon): a = 1 b = 10 loga = 0 logb = 1 while logb - loga > epsilon:

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Henry Briggs (1561-1630)

est l eco-i nventeur,av ecson ami

J ohnN eper

, des logarithmes.

B riggs

comp létaet

dressa la table des logarithmes des entiers, des sinus et des tangentes, avec 14 décimales dans son ouvrage

Arithmetica Logarithmica.

Partie B : Déroulement et programmation de l"algorithme

On donne ci-dessous un extrait del"Introduction à l"analyse infinitésimaleoùLeonh ardE uler1 707-1783ex-

plique la méthode utilisée par

B riggs

p ourc alculerune v aleurapp rochéedu l ogarithmed écimalde 5 .O n

rappelle que lelogarithme décimald"un nombre strictement positifxest noté log(x) et qu"il est proportion-

nel au logarithme népérien ln(x) par la relation log(x)AEln(x)ln(10) .Les colonnes de gauche et du milieu se complètent selon l"algorithme suivant :

+Étape 1 : initialisationOn initialise les deux premières lignes avec deux nombresAAE1 etBAE10, qui

encadrent 5, et leurs logarithmes décimauxlAAE0 etlBAE1. On a bien log(10)AEln(10)ln(10)

AE1 d"oùlBAE1.

+Étape 2 : boucleOn répète en boucle les instructions suivantes pour remplir les lignes suivantes.

C olonnede g auche: On prend les deux dernières valeurs de la colonne de gauche qui encadrent

5 et on calcule leur moyenne géométrique qu"on affecte comme nouvelle valeur de la colonne de

gauche. Quelques exemples :

pour calculerCen la troisième ligne, on a sélectionnéAetB, puis calculé leur moyenne géo-

métriquepAB;

pour calculerGen septième ligne, on a sélectionnéDetF, puis calculé leur moyenne géomé-

triquepDF; pour calculerVen vingt cinquième ligne, on a sélectionnéOetT, puis calculé leur moyenne géométriquepOT.

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la colonne de gauche, mais pour la valeur en colonne du milieu on calcule la moyenne arithmé- tique des valeurs du milieu des lignes sélectionnées. Quelques exemples : pour calculerlCen la troisième ligne, on a sélectionnélAetlB, puis calculé leur moyenne arithmétique lAÅlB2 pourcalculerlGenseptièmeligne,onasélectionnélDetlF,puiscalculéleurmoyennearith- métique lDÅlF2 pourcalculerlVenvingtcinquièmeligne,onasélectionnélOetlT,puiscalculéleurmoyenne arithmétique lOÅlT2

+Étape 3 : finOn peut démontrer que la suite formée par les valeurs de la colonne de gauche converge

vers 5 et que la suite des valeurs de la colonne du milieu converge vers log(5). On peut choisir comme

critère d"arrêt de boucle un seuil sur l"écart entre la valeur de la colonne de gauche et 5 ou l"écart entre

deux valeurs successives de la colonne du milieu.

1.Expliquer le calcul des valeursCetlCdans l"extrait de l"explicationd "Euler.

Démontrer que la valeur delCest égale au logarithme décimal de la valeur deC

2.Expliquer le calcul des valeursRetlRdans l"extrait de l"explicationd "Euler.

On admet quelOetlQcontiennent respectivement les logarithmes décimaux deOetQ. Démontrer que la valeur delRest égale au logarithme décimal deR.

3.Quel type de raisonnement permettrait de démontrer que pour chaque ligne, la valeur de la colonne

du milieu est le logarithme décimal de la valeur de la colonne de gauche? On admet ce résultat pour la

suite.

4.On peut appliquer l"algorithme deB riggspour calcul erune v aleurapp rochéedu logar ithmedécimal de

xpour tout réelxcompris entre 1 et 10. Compléter la fonctionPythonci-dessous pour quebriggs(x, epsilon)retourne un encadrement de log(x) d"amplitudeepsilonpar cet algorithme. Les variablesaetbsont les valeurs successives de la colonne de gauche encadrantx, tandis quelogaet logbsont les valeurs correspondantes de la colonne du milieu dans l"explicationd "Euler. On admet que pour16x610,aetbconvergent versx, tandis quelogaetlogbconvergent vers log(x). from math import sqrt def moyenne_geometrique(c, d): return sqrt(c * d) def moyenne_arithmetique(c, d): return (c + d) / 2 def briggs(x, epsilon): a = 1 b = 10 loga = 0 logb = 1 while logb - loga > epsilon:

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