Fonction logarithme décimal cours de terminale STMG

210615 Fonction logarithme décimal, cours de terminale STMG

F.Gaudon

21 mai 2022

Table des matières

1 Définition et propriétés algébriques

2

2 Étude de la fonction logarithme décimal

3

2.1 Dérivabilité et variations

3

2.2 Tableau de variation

3

2.3 Tableau de signe

3

2.4 Représentation graphique

3

2.5 Résolution d"équations et d"inéquations

4 1

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

1 Définition et propriétés algébriques

Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui à

tout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :

•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve :

Conséquences directes de la définition.

Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :

Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab).

D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).

Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0.

D"autre part,log(a×1a

) = log(a) + log(1a

Donclog(a) + log(1a

) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2).

2 Étude de la fonction logarithme décimal

2.1 Dérivabilité et variations

Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗

2.3 Tableau de signe

x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphique

On parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

2.5 Résolution d"équations et d"inéquations

Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)log(y)si et seulement six > yExemples [Savoir résoudre des équationslog(x) =k] :

Résolution delog(5x) = 6:

On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x.

Donc5x= 106etx=1065

Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5)

•La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-

nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :

80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080

donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x

0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)

c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5

•Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.

On recherche le taux inconnu.

On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12

D"oùt= 10log(2)12

-1≈0,0595soit 5,95% par an

Exemple [Résoudre des inéquationsax< y] :

Résolution de1,6x<3:

1,6x<3équivaut àlog(1,6x)

Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4 Fonction logarithme décimal, cours de terminale STMG

F.Gaudon

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Table des matières

1 Définition et propriétés algébriques

2

2 Étude de la fonction logarithme décimal

3

2.1 Dérivabilité et variations

3

2.2 Tableau de variation

3

2.3 Tableau de signe

3

2.4 Représentation graphique

3

2.5 Résolution d"équations et d"inéquations

4 1

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

1 Définition et propriétés algébriques

Définition :On appelle fonctionlogarithme décimalet on notelogla fonction qui à

tout réelxstrictement positifassocie l"unique réelytel que10y=xOn a donc pour toutx >0et toutyréel,log(x) =ysi et seulement si10y=x.Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme10x=y] :

•log(106) = 6; •log(10-11) =-11. •10x= 2équivaut àx= log(2). Propriétés :•Pour tout réelx >0,10log(x)=x; •pour tout réelx,log(10x) =x; •log(1) = 0etlog(10) = 1Preuve :

Conséquences directes de la définition.

Propriété fondamentale des logarithmes :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,log(ab) = log(a) + log(b).Preuve :

Pour tous les réelsaetbstrictement positifs,10log(a)+log(b)= 10log(a)10log(b)=ab log(a) + log(b)est donc une solution de l"équation d"inconnuex,10x=ab. Or par définition delog, l"unique solution de cette équation estlog(ab).

D"oùlog(ab) = log(a) + log(b).

Propriétés :Pour tous les réelsaetbstrictement positifs, •log(1a ) =-log(a); •log(ab ) = log(a)-log(b); •pour tout réelx,log(ax) =xloga;Preuve : •D"une part,log(a×1a ) = log(1) = 0.

D"autre part,log(a×1a

) = log(a) + log(1a

Donclog(a) + log(1a

) = 0etlog(1a ) =-log(a). •log(ab ) = log(a×1b ) = log(a) + log(1b ) = log(a)-log(b)d"après ce qui précède. •Admisehttp://mathsfg.net.free.fr2

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal] : •log(109) + log(10-5) = 9-5 = 4 •log(50) = log(25×2) = log(25) + log(2) = log(52) + log(2) = 2log(5) + log(2) •log(0,005) = log(5×10-3) = log(5) + log(10-3) = log(5)-3 •Sia= 2048etb= 16 on alog(a) = log(211) = 11log(2)etlog(b) = log(24) = 4log(2) donclog(ab) = log(a) + log(b) = 11log(2) + 4log(2) = 15log(2) = 15log(2).

2 Étude de la fonction logarithme décimal

2.1 Dérivabilité et variations

Propriété :La fonctionlogest strictement croissante sur]0;+∞[.2.2 Tableau de variation x0+∞∥ log(x)∥ ↗

2.3 Tableau de signe

x0 1+∞log(x)∥- 0 +2.4 Représentation graphique

On parle decroissance logarithmiquepour décrire une telle évolution.http://mathsfg.net.free.fr3

Fonction logarithme décimal, Terminale STMG

2.5 Résolution d"équations et d"inéquations

Propriétés :Pour tous les réelsxetystrictement positifs :log(x) = log(y)si et seulement six=ylog(x)log(y)si et seulement six > yExemples [Savoir résoudre des équationslog(x) =k] :

Résolution delog(5x) = 6:

On alog(5x) = log(106)en utilisant la propriétélog(10x) =x.

Donc5x= 106etx=1065

Exemples [Savoir résoudre des équationax=y] : •Résolution de5x= 6: 5 x= 6équivaut àlog(5x) = log(6)donc àxlog(5) = log(6)donc àx=log(6)log(5)

•La production d"un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour dimi-

nuer de 5% toutes les heures jusqu"à ce qu"elle atteigne 40 exemplaires par heure. On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :

80×0,95x= 40équivaut à0,95x=4080

donc àlog(0,95x) = log(12 ou encore àxlog(0,95) = log(0,5)doncx=log(0,5)log(0,95)≈13,5soit 13 heures et demie. Exemples [Savoir résoudre des équationsxa=y] : •Résolution dex0,5= 6: x

0,5= 6équivaut àlog(x0,5) = log(6)donc à0,5log(x) = log(6)

c"est à direlog(x) =log(6)0,5doncx= 10log(6)0,5

•Un capital initial placé à un tauxtinconnu à intérêts composées double en 12 ans.

On recherche le taux inconnu.

On a(1 +t)12= 2ce qui équivaut àlog((1 +t)12) = log(2)donc à12log(1 +t) = log(2) ce qui équivaut encore àlog(1 +t) =log(2)12 donc1 +t= 10log(2)12

D"oùt= 10log(2)12

-1≈0,0595soit 5,95% par an

Exemple [Résoudre des inéquationsax< y] :

Résolution de1,6x<3:

1,6x<3équivaut àlog(1,6x)

Donc àx L"ensemble de solutions est]- ∞;log(3)log(1,6)[.http://mathsfg.net.free.fr4

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