Vérification : 25×3 4=75 4=79 ; 4 25. II. Divisibilité. 1/ Diviseurs d'un nombre entier. Activité/Exemples. • 7 divise 35 car 7×5=35 . • 11 ne divise pas
cours division
4. 1. 8. 5. 9. 859 est la somme des trois nombres 11 607 et 241. Addition avec retenue : Multiplier un nombre par 0
calcul c
Séance 1. Numération – Les nombres décimaux jusqu'au millième page 5. Séance 2 30 dixièmes divisé par 4 = 7 dixièmes et 5 centièmes = 075. 3 : 4 = 0
MAN MA S
Il se note a : b (a divisé par b) ou en écriture fractionnaire 100 ;1000…au dénominateur. 025. 1 : 4. 4. 1. 10. 5
Nombres en ecriture fractionnaire cours II
10 nov. 2017 Exercice 1. Divisibilité. (3 points). 1) (n − 4) divise (3n − 17) donc il existe k ∈ Z tel que : 3n − 17 = k(n − 4) ⇔ 3(n − 4) − 5 ...
devoir diviseur congruence correction
FICHE DE CALCUL MENTAL Multiplier par 05 revient à diviser par
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La fraction 1/4 se lit "un quart" et peut aussi s'écrire ainsi : 1. 4. Exemples : 1/2 = 05 car 1 divisé par 2 donne 0
oappr
fractionnement de l'unité (prendre 3 fois 1/5). La commensuration est le modèle implicite qui permet de comprendre la fraction quotient au sens qui a été décrit
fractions formation jb
15 b. Nombre en écriture fractionnaire (« fraction ») : 4. I. DIVISION PAR UN NOMBRE DECIMAL. Pour diviser à la main par un nombre décimal
n fc
x = 5 ou x = −7. 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10. ... n ∈ {−10;−4−2
ctrle diviseur congruence correction
217618
chapitre1 :multiples,division euclidienne,congruence10novembre2017Correction du devoir du vendredi 10 novembre 2017Exercice1Divisibilité (3 points) 1) ( n4) divise (3n17) donc il existek2Ztel que :
3n17=k(n4),3(n4)5=k(n4),(n4)(3k)=5
donc (n4) divise 5 d"où (n4)2f5;1;1;5g,n2f1;3;5;9g 2) Si ddiviseaetb,ddivise toute combinaison deaet debdoncddivise :
2a+3b=12k+4+12k+9=13
ddivise 13. Les valeurs possibles pourdsont :13 ,1 , 1 , 13
Exercice2Reste (4 points)
1)
On détermine le c ycledes reste de 2
npar 5 : 2
01 (5) , 212 (5) , 224 (5) , 2383 (5) , 24161 (5)
Le cycle est donc de 4. On obtient le tableau suivant :n(4)0123 2 n(5)1243 2)
1357 2 (5) car 1357=5271+2. Par puissance 1357201722017(5)
or 20171 (4) car 2017=4504+1. D"après la question 1) : 220172 (5).
Le reste dans la division par 5 de 1357
2017est : 2.
Exercice3Divisibilité (4 points)
1)32=9=71+2 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
3
22 (7)"n,32n2n(7)3,332n32n(7),32n+132n(7)
24=16=72+2 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
2
42 (7)"n,24n2n(7)22,2224n222n(7),24n+242n(7)
Par somme8n2N;32n+1+24n+232n+42n72n(7)
Donc 3
2n+1+24n+2est divisible par 7 pour toutn2N.
2)33=27=132+1 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
3
31 (13)"42,3342142(13),31261 (13)
52+1=26=132 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
5
2+10 (13),52 1 (13)"63,5263(1)63(13),5126 1 (13)paul milan1terminale t sp´e
correction devoir de math
´ematiquesPar somme : 3126+5126110 (13).
Donc 3
126+5126est divisible par 13.
Exercice4Résolution dansN(4 points)
1) 2
40est pair donca2+9 est pair.
Une somme d"entiers est paire si les deux entiers sont de même parité. Comme 9 est impair alorsa2est impair. Un entier et son carré ont même parité donc commea2est impairaest impair.
Siaest solution de (E) alorsaest impair.
Les restes possibles dans la division par 8 deasont donc 1, 3, 5, 7 2) On s"intéresse au reste dans di visionpar 8 de a2,aétant impair.a(8)1357 a
2(8)1111
Siaest solutiona21 (8),a2+91+9102 (8).
Siaest solution le reste dans la division par 8 de (a2+9) est 2. 3) 2
40=23237=8237. Donc 240est divisible par 8.
Contradiction car (a2+9) n"est pas divisible par 8. L"équation (E) n"a pas de solution.
Exercice5Suites (5 points)
1)8n>1;un=92n6n1>0=6(32n11).
Pourn>1, le termeunest divisible par 6.
2) L "armation est fausse car si l"on avait une formule donnant des nombres premiers cela se saurait. Calculons les premiers termes de (vn) afin de trouver un terme non premier.n123456 u n123066138282570 v n2511234795 v
6=519 n"est pas premier. C"est notre contre-exemple.
3) a)
On a les équi valencessui vantespour tout k2N:
2
41 (5)"k,24k1k(5)22,2224k22(5),24k+24 (5)
9,924k+236 (5)6,924k+2630 (5)
,un300 (5) u
4k+2est divisible par 5, donc sik>1,vnn"est pas premier.
b)
Non, il su t de trouver un contre-exmple :
u
0=96=3 n"est pas divisible par 5.paul milan2terminale s sp´e
chapitre1 :multiples,division euclidienne,congruence10novembre2017Correction du devoir du vendredi 10 novembre 2017Exercice1Divisibilité (3 points) 1) ( n4) divise (3n17) donc il existek2Ztel que :
3n17=k(n4),3(n4)5=k(n4),(n4)(3k)=5
donc (n4) divise 5 d"où (n4)2f5;1;1;5g,n2f1;3;5;9g 2) Si ddiviseaetb,ddivise toute combinaison deaet debdoncddivise :
2a+3b=12k+4+12k+9=13
ddivise 13. Les valeurs possibles pourdsont :13 ,1 , 1 , 13
Exercice2Reste (4 points)
1)
On détermine le c ycledes reste de 2
npar 5 : 2
01 (5) , 212 (5) , 224 (5) , 2383 (5) , 24161 (5)
Le cycle est donc de 4. On obtient le tableau suivant :n(4)0123 2 n(5)1243 2)
1357 2 (5) car 1357=5271+2. Par puissance 1357201722017(5)
or 20171 (4) car 2017=4504+1. D"après la question 1) : 220172 (5).
Le reste dans la division par 5 de 1357
2017est : 2.
Exercice3Divisibilité (4 points)
1)32=9=71+2 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
3
22 (7)"n,32n2n(7)3,332n32n(7),32n+132n(7)
24=16=72+2 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
2
42 (7)"n,24n2n(7)22,2224n222n(7),24n+242n(7)
Par somme8n2N;32n+1+24n+232n+42n72n(7)
Donc 3
2n+1+24n+2est divisible par 7 pour toutn2N.
2)33=27=132+1 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
3
31 (13)"42,3342142(13),31261 (13)
52+1=26=132 on a la suite des équivalences suivantes pour toutn2N:
5
2+10 (13),52 1 (13)"63,5263(1)63(13),5126 1 (13)paul milan1terminale t sp´e
correction devoir de math
´ematiquesPar somme : 3126+5126110 (13).
Donc 3
126+5126est divisible par 13.
Exercice4Résolution dansN(4 points)
1) 2
40est pair donca2+9 est pair.
Une somme d"entiers est paire si les deux entiers sont de même parité. Comme 9 est impair alorsa2est impair. Un entier et son carré ont même parité donc commea2est impairaest impair.
Siaest solution de (E) alorsaest impair.
Les restes possibles dans la division par 8 deasont donc 1, 3, 5, 7 2) On s"intéresse au reste dans di visionpar 8 de a2,aétant impair.a(8)1357 a
2(8)1111
Siaest solutiona21 (8),a2+91+9102 (8).
Siaest solution le reste dans la division par 8 de (a2+9) est 2. 3) 2
40=23237=8237. Donc 240est divisible par 8.
Contradiction car (a2+9) n"est pas divisible par 8. L"équation (E) n"a pas de solution.
Exercice5Suites (5 points)
1)8n>1;un=92n6n1>0=6(32n11).
Pourn>1, le termeunest divisible par 6.
2) L "armation est fausse car si l"on avait une formule donnant des nombres premiers cela se saurait. Calculons les premiers termes de (vn) afin de trouver un terme non premier.n123456 u n123066138282570 v n2511234795 v
6=519 n"est pas premier. C"est notre contre-exemple.
3) a)
On a les équi valencessui vantespour tout k2N:
2
41 (5)"k,24k1k(5)22,2224k22(5),24k+24 (5)
9,924k+236 (5)6,924k+2630 (5)
,un300 (5) u
4k+2est divisible par 5, donc sik>1,vnn"est pas premier.
b)
Non, il su t de trouver un contre-exmple :
u
0=96=3 n"est pas divisible par 5.paul milan2terminale s sp´e