1 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 2 Montrer que pour tout f∈ E,kfkp → kfk∞ quand p→ +∞ Solution 1 C’est exactement la mˆeme preuve que dans l’exercice pr´ec´edent : toutes les propri´et´es sont ´evidentes sauf l’in´egalit´e triangulaire pour p∈ [1,+∞[ En utilisant l’exercice pr´ec´edent
1- Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : a) p+qest un projecteur b) p oq+q op= 0 c) p oq= q op= 0 2- On suppose que p+qest un projecteur a) Montrer que Im (p)∩ Im (q) = {0} et que kerp+kerq= E b) Préciser les caractéristiques du projecteur p+q SOLUTION : 1- pet qsont des projecteurs, donc p op= p et q oq= q
Montrer que si p est la projection sur F et parallèlement à G, alors s = 2p − id E est la symétrie par rapport à F et parallèlement à G Exercice 20 : [corrigé] Pour P ∈ R4[X], on posef(P) = (1−X)P(0)+XP(1) Montrer que f est un endomorphismeet déterminer f f Que peut-on en déduire? Trouver les éléments caractéristiques de f 4
a) Montrer que gpg−1 est un projecteur que l’on pr´ecisera b) A quelle condition` get pcommutent-ils ? Etudier le cas particulier o`´ u gest une sym´etrie hyperplane 4 Sommedeprojecteurs a) Soient pet qdeux projecteurs Montrer que p+qest un projecteur si et seulement si on a pq= qp=0 ¶ b) Soient p 1,···,p r des projecteurs
Montrer que le polynôme P0 ¯aP est scindé sur R Exercice 36 : On considère pour n 2N le polynôme Pn ˘[(X2 ¡1)n](n) 1 Calculer le degré et le coefficient dominant de Pn 2 Montrer que Pn est scindé à racines simples sur R Exercice 37 : Soit P 2C[X] non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou
(Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K) On supposequ’il existe p ∈ N∗ tel que Mp =0 Calculer (In −M) pP−1 k=0 Mk (Q 2) En déduire que In −M est inversible et déterminer son inverse
Montrer que X4 + 1 est r eductible dans F p[X]: e) Soit pun nombre premier tel que 2 ou 2 est un carr e dans F p, trouver un tel p:Montrer que X4 + 1 est r eductible
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de RN, l’espace vectoriel des suites réelles Montrer que si u ∈F ∩G, alors u est constante en déduire que la somme F +Gest directe 2 Solution: L’équation caractéristique d’une suite de F est r2−r−3=0 Ses racines sont r1= 1− √ 13 et r2= 1+ √ 13 2 Ainsi
Montrer que le polynôme Xp − a est irréductible sur K si et seulement s’il n’a pas de racine dans K Indication : si X p − a = PQ avec P,Q ∈ K[ X ] unitaires non constants, factoriser P dans C et considérer P (0)
Montrer que la famille ("1;"2) est libre et compléter celle-ci en une base de E Familles libres / génératrices en dimension finie HIII Exercice 4 SF 4 — Montrer que B=
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Projecteurs et symétries
Projecteurs et symétries Soit E un espace vectoriel et E1, E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E i e E = E1 E2 Projecteur Définition (Projecteur) Le projecteur p (ou la projection) sur E1 parallèlement à E2 est défini par: p: E = E1 E2E x = x1 +x2 7 x1 E1 est appelé base de la projection et E2 direction de la projection On dit que p est un projecteur s’il Taille du fichier : 61KB
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MPSI 2 : DL 4
Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si il existe deux s e v A et B de E tels que: – E = A⊕ B – ∀x ∈ A, p(x) = 0 – ∀x ∈ B, p(x) = x On dit alors que p est la projection sur B parall`elemen t `a A Q 6 Soit f un endomorphisme de E On d´esigne par id l’application identit´e de E Montrer que l’endomorphisme (id−f) est un projecteur si et seulement si l
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PT - pagesperso-orangefr
Montrer que r est un projecteur r est une application linéaire de E dans E, il faut montrer r2 ˘r On calcule dans L(E), en faisant attention à l’ordre: r –r ˘(p ¯q ¡q –p)–(p ¯q ¡q –p) ˘(p2 ¯p –q ¡p –q –p)¯(q –p ¯q2 ¡q2 –p)¡(q –p2 ¯q –p –q ¡q –p –q –p) tous les termes
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Exercice 1:´enonc´e
Montrez que pqp est un projecteur Q7 Construisez un exemple dans lequel p et pqp sont des projecteurs, mais pas pq Q8 Construisez un exemple dans lequel p et pqp sont des projecteurs, mais pas qp Q9 Construisez un exemple dans lequel ni p, ni q, ni pqp ne sont des projecteurs, tandis que pq en est un Exercice 1:corrig´e Q2 NON:prendre f = 2i; ce n’est pas un projecteur, puisque f2 = 4i
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Exo7 - Exercices de mathématiques
2 Par définition, un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si p2 = p Montrer que [pprojecteur ,Id pprojecteur] puis que [pprojecteur )Imp=Ker(Id p)et Kerp=Im(Id p)et E =Kerp Imp]: 3 Soient p et q deux projecteurs, montrer que : [Kerp=Kerq,p= p qet q=q p] 4 p et q étant deux projecteurs vérifiant p q+q p = 0, montrer que p q = q p = 0 Donner une condition nécessaire
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ISYMETRIES´
Montrer que pest une projection que l’on pr´ecisera b) Soit p∈ L(E) Montrer que pest un projecteur si et seulement si pour tout x∈ E on a x−p(x) ∈ Kerp c) Soit p∈ L(E) Montrer que 2p− Id E est une sym´etrie si et seulement si pest un projecteur 3 Conjugaison,commutation Soit p= p F,G un projecteur
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Mines Maths 1 PC 2014 — Corrigé - prepamagfr
En particulier, le but de la question 4 est de montrer que trace et rang d’un projecteur sont égaux La partie se termine par la preuve que si un endomorphisme est une somme de projecteurs, alors sa trace est entière et supérieure à son rang • Dans la courte deuxième partie, on étudie la matrice d’un endomorphisme quel-conque dans une base particulière associée à un projecteur
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§1 La structure d’espace vectoriel
1 Montrer que Impet Imqsont supplémentaires dansE 2 Montrer que rang(p)+rang(q)=n 3 Montrer que petqsont des projecteurs Exercice 19 — Soit pun projecteur d’unK-espace vectorielE 1 Montrer queE=Kerp⊕Imp 2 La réciproque est-elle vraie? Exercice 20 — SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie Montrer que si pest un
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Sommes de projecteurs (Mines PC 2014)
Montrer que tr(AB) = tr(BA) Question 2 Montrer que la trace de la matrice A = Mat(b)(u) associée à u est indépendante de la base (b) On appelle trace de u, notée tr(u), la valeur commune des traces des matrices représentant u On dit que la trace est un invariant de similitude Question 3 Soit p un projecteur de E Démontrer que E
Soient deux projecteurs p et q de E vérifiant p ◦q = 0 On définit l' endomorphisme r = p +q −q ◦p a Montrer que r est un projecteur r est
DS bis cor
Montrer qu'une application linéaire p est un projecteur, et savoir l'identifier en calculant Ker(p),Im(p) Écrire la matrice d'une application linéaire f dans une base B
ECS Chapitre
Alors: 1) p ∈ L(E) et p ◦ p = p 2) Im p = E1 et Ker p = E2 3) E1 = Ker(p − IdE) c' est-à-dire: ∀x ∈ E, x ∈ E1 ⇔ p(x) = x Ainsi E1 est l'ensemble des vecteurs
projecteurs symetries
Q 5 Soit p un endomorphisme de E Montrer que p est un projecteur de E si et Q 10 Montrer que si les deux projecteurs commutent (f ◦ g = g ◦ f), on a:
dl projecteurs
19 fév 2018 · Soient deux projecteurs p et q d'un espace vectoriel E 1 Montrer que l' endomorphisme (p + q) est un projecteur de E si et seulement si l'on a p
cours
Soient p et q deux projecteurs de E (un K-espace vectoriel) tels que p ◦ q = 0 On considère r = p + q − q ◦ p 1 Montrer que r est un projecteur 2 Montrer que
1 sept 2011 · Im f = Vect {(2, 1), (1, −1), (−1, 2)} = R2 En particulier, f est surjective et non injective Comment étudier un projecteur Pour démontrer qu'un
technique
24 avr 2020 · Montrer que R est une relation d'ordre sur P(E) c Soit p un projecteur et λ ∈ R\{0 , 1} Montrer que p−λ IdE est un isomorphisme 3 Propriétés
Aalglin
Soit p et q deux projecteurs de E 1) Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si pq + qp = 0L (E) 2
FeuilleCollesMPSIAlgebreLineaire
Soit p un projecteur de E Montrer que p − λIdE est injective [al004] Exercice 5 Soient f1,f2, ··· ,fn des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E vérifiant :
planche pair cal
Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0. (Dans ce qui suit p2 désigne p ◦ p
On dit que p est un projecteur s'il existe E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E tels que p est la projection sur E1 parallèlement à E2.
est un projecteur de E. 2. Comparer les noyaux et les images de p et. E. Id p. − . Analyse. Un (très) grand classique (une question de cours diraient
a) Démontrer : Im(p) ∩ Ker(p) = {0E}. b) Démontrer Détaillons cette méthode. • On commence par montrer : p est un projecteur ⇒ idE − p est un projecteur.
Montrer que u et p commutent si et seulement si Ker p et Im p sont stables Comme p est un projecteur on a E = Ker p ⊕ Im p. Soit x ∈ Ker p
Soit p et q deux projecteurs d'un K-espace vectoriel E. 1. Montrer que : p + q est un projecteur si et seulement si
p). En déduire que 2idE +p est un isomorphisme. 2. Considérons deux projecteurs p et q qui commutent. Montrer que p ◦q est un projecteur et justifier que ...
Démontrer que p est un projecteur si et seulement si e - p en est un. 2. a) Quel est le seul projecteur inversible de E? b) Déterminer le projecteur p pour
Montrer que 2p − IdE est une symétrie si et seulement si p est un projecteur. 3. Conjugaison commutation. Soit p = pF
Soit E un espace de dimension finie. Montrer que la trace d'un projecteur est son rang. Correction ▽. [005590]. Exercice
Montrer qu'une application linéaire p est un projecteur et savoir l'identifier en calculant Ker(p)
Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle projecteur une application linéaire p : E ? E qui vérifie p ? p = p. (1) Si p est un projecteur montrer que
Une application p est appelé un projecteur de E si elle vérifie : 1. a) Démontrer que les seules valeurs propres possibles de p sont 0 et 1.
Définition (Projecteur). • Le projecteur p (ou la projection) sur E1 parallèlement à E2 est défini par: p : E = E1 ? E2. ? E x = x1 + x2. ?? x1 .
Montrer que p est un projecteur. b) Reformuler le résultat de a) en termes des valeurs propres de p et des sous-espaces propres correspondants. L'endomorphisme
Montrer que la famille de fonctions (cos(px))p?N ?(sin(qx))q?N? est libre. Dans le cas où p+q est un projecteur déterminer Ker(p+q) et Im(p+q).
est un projecteur de E. 2. Comparer les noyaux et les images de p et. E. Id p. ? . Analyse. Un (très) grand classique (une question de cours diraient
F = (F ? ker p)+(F ? Im p). ) (ii). 2 Deuxi`eme partie. Q 5 Soit p un endomorphisme de E. Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si il
Soit E un espace vectoriel de dimension finie u ? ? (E) et p un projecteur de E. Montrer que u et p commutent si et seulement si Ker p et Im p sont
Par définition un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si Soient p et q deux projecteurs
Projecteur Dé?nition (Projecteur) Le projecteur p (ou la projection) sur E1 parallèlement à E2 est dé?ni par: p: E = E1 E2! E x = x1 +x2 7! x1: E1 est appelé base de la projection et E2 direction de la projection On dit que p est un projecteur s’il existe E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E tels que p est
3 Soient p et q deux projecteurs montrer que : [Kerp=Kerqp= p qet q=q p] 4 p et q étant deux projecteurs véri?ant p q+q p = 0 montrer que p q = q p = 0 Donner une condition nécessaire et suf?sante pour que p+q soit un projecteur lorsque p et q le sont Dans ce cas déterminer Im(p+q) et Ker(p+q) en fonction de Kerp Kerq Imp et
1 Montrer que p q est aussi un projecteur 2 Montrer que Im(p q) = Im(p) Im(q) 3 Montrer que ker(p q) = ker(p) + ker(q) 4 On suppose de plus que p q = 0 (et donc q p = 0 également) Montrer alors que p + q est aussi un projecteur de mêmes noyau et image que p q Exercice 9 (**) Soit f 2L(E) où E est un espace vectoriel de dimension
Exercice 1 Montrer que p 2L(E) est un projecteur ssi p2 = p Si car k 6= 2 montrer que s est une symétrie ssi s2 = id Exercice 2 Soient k un corps de caractéristique nulle et p 1;:::;p n 2L(E) des projecteurs a) Si p 1 + +p n = 0 montrer que p 1 = = p n = 0 b) Montrer que p 1 + + p n est un projecteur ssi 8i 6= j p i p j = 0 et qu
1 Montrer que p est un projecteur 2 Véri er que Im(p) = fx 2E jf(x) = xg 3 On note q le projecteur sur ker(p) parallèlement à Im(p) exprimer q comme combinaison linéaire de f et de p 4 En déduire que E = ker(f id E) ker f + 1 2 id E II Expression des puissances de f 1 Montrer en utilisant les résultats de la première partie
p(y) = p2(a) = p(a) = y puisque p est un projecteur Il s’ensuit donc que y = p(x) et donc z = x p(x): cela constitue donc une condition n ecessaire a l’existence de la d ecomposition de x 2E comme somme d’un el ement de Im(p) et d’un el ement de Ker(p) Synth ese: Soit x 2E et posons x = p(x) + (x p(x)) Nous avons evidemment p(x) 2
Comment montrer que pq est un projecteur ?
1. Montrer que pq est aussi un projecteur. 2. Montrer que Im(pq) = Im(p) Im(q). 3. Montrer que ker(pq) = ker(p) + ker(q). 4. On suppose de plus que p q = 0 (et donc q p = 0 également). Montrer alors que p + q est aussi un projecteur, de mêmes noyau et image que pq.
Pourquoi est-il important de te montrer en tant que projecteur ?
Si tu es projecteur, c’est la même chose : la personne en face de toi a besoin de te connaître, de savoir qui tu es, de voir tes qualités, pour avoir envie de faire ensuite appel à ces qualités. Il est donc très important pour toi en tant que projecteur de te montrer. Evidemment, cela ne veut pas dire montrer tout de toi à tout le monde !
Comment fonctionne un projecteur de poursuite?
Le projecteur de poursuite est utilisé pour isoler un personnage (plus sur un plateau de télévision), ou simplement faire ressortir un personnage sur scène .Il est généralement équipé d’une lampe HMI. Le projecteur de poursuite est monté sur pied avec un mécanisme permettant de le diriger pour suivre les mouvements de l’acteur sur la scène.
Quelle est l’époque des projecteurs ?
Je vous le disais plus haut, selon le Design humain, notre époque est celle de l’avènement des projecteurs. Après avoir été beaucoup dirigé par les manifesteurs, notre monde change et de plus en plus de projecteurs arrivent au pouvoir.
Correction du devoir `a la maison
Projections orthogonales
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