2 2 Inversion de compteur On multiplie la variable de départ par −1, puis on ajoute une constante Les deux variables, celle de départ et la nouvelle, varient donc en sens contraire Que la somme soit écrite avec l’une P˚t˙s˚iffl2 O V`a‹n`a`d˚i`affl 2020/2021
correspond à la somme de toutes cases du tableau en sommant d’abord les lignes puis en faisant la somme des Si obtenus Cette double somme correspond aussi à la somme de toutes cases du tableau en sommant d’abord les colonnes puis en faisant la somme des S j obtenus L’ordre de sommation n’a donc pas d’importance, on peut écrire , ,
(en e et, pour q= 1, on est ramen e a la somme d’une constante) Plus g en eralement, dans le cas ou q6= 1, pour tout entier p: Pn k=p qk = qp 1 qn p+1 1 q = 1erterme 1 qnb termes 1 q ou Pn k=p qk = qp qn+1 1 q = 1erterme de la somme 1erterme qui n’est pas dans la somme 1 q Sommes t elescopiques : sommes du type Pn k=p (a k+1 a k) ou Pn k=p
Quand on ne sait pas quoi faire de deux sommes emboîtées, on peut toujours essayer de les permuter Exemple Soit n ∈ N∗ On ne voit pas trop comment on pourrait simplifier la somme Xn j=i 1 j = 1 i + 1 i +1 + + 1 n pour tout i ∈ ¹1,nº Il est en revanche facile de simplifier la somme de ces sommes Xn i=1 n j=i 1 j = 1¶i¶j¶n 1
Dans la pratique, on constate que les deux méthodes pour calculer une même somme n'aboutissent pas toujours toutes les deux Il convient alors de bien choisir l'indice par lequel on av commencer la sommation 7/7
Lorsqu'on a une somme double où les indices des deux sommes ne dépendent pas l'un de l'autre, on peut intervertir les sommes, et donc sommer dans l'ordre qu'on préfère (c'est le cas notamment de la somme de l'exemple 4) Ce n'est pas le cas si les indices dépendent l'un de l'autre Exemple 8 Soit n2N Calculer X 06i6j6n ij 6
Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu’ils sont égaux 2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*) x et y sont deux réels tels que x y a 2 2 où a est un réel fixé (positif, bien entendu)
Pour passer de la première somme à la deuxième, on a pose i= k+ mou k= i m Il y a deux types de changements à véri er : 1)Dans leterme général de la somme: on remplace tous les kpar i m 2)Dansles bornes: on ré échit aux aleursv des indices Borne inférieure : lorsque k= p, on a i= p+ m Borne supérieure : lorsque k= n, on a i= n+ m
Calculer astucieusement la somme : 1 + +3 + + +2 016) Calculer astucieusement la somme : +2 + (—2 01 5) +2 016 : I Evaluer un produit Que vaut le produit de 2 01 7 facteurs tous égaux Arrondir ou tronquer un nombre décimal DU SOCLE Sami achète à l'épicerie deux boites de haricots verts à 0,80 € la boite, trois paquets de pâtes
Les produits remarquables : exercices de synthèse Identifie l’exercice en précisant s’il s’agit d’une double distributivité (DD), du carré d’une somme de deux termes (CS), du carré d’une différence de deux termes (CD) ou d’un produit de deux binômes conjugués (BC)
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Les symboles somme et produit
1 LE SYMBOLE SOMME Σ 1 Le symbole somme Σ 1 1 Définition Définition 1 : Soit (a i)une suite de nombres réels ou complexes Soit deux entiers naturels n et p tels que p 6n, on définit la somme suivante par : n ∑ k=p a k =ap +ap+1 +···+an Soit I un sous-ensemble fini de N, la somme de tous les termes a i, i décrivant I sera notée ∑ i∈I a i Remarque :Taille du fichier : 102KB
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Sommes, produits, récurrence
• D'après le principe de récurrence, nous pouvons donc a rmer que, ∀n ∈ N, Xi=n i=0 i = n(n+1) 2 Exemple 2 : Calcul de la somme des carrés des entiers Nous allons prouver par récurrence la propriété P n: iX=n i=0 i2 = n(n+1)(2n+1) 6 Pour n = 0, nous avons iX=n i=0 i2 = 02 = 0, et 0(0+1)(2×0+1) 6 = 0, donc P 0 est véri ée Supposons désor-mais PTaille du fichier : 122KB
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P Q Sommes et produits nis : et
Montrer par r ecurrence la formule de la somme des cubes : pour tout n2N , Pn k=1 k3 = n(n+1) 2 2 2 Produit On pose Qn k=p a k = a p a p+1::: a n pour tous nombres a p;a p+1;:::a n (r eels ou complexes) D e nition- Exemple : pour tout n2N , on d e nit la factorielle de n(ou nfactorielle) par n = 1 2 n= Qn k=1 k Par convention, on pose 0 = 1
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SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX
SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX 1 SOMMES • Pour tous zm, ,zn ∈ Cavec : m ¶n, la somme zm +zm+1 + +zn sera notée Xn k=m zk Par exemple : Par exemple : Xn k=1 1 k =1+ 1 2 + 1 3 + + 1 n−1 + 1 {z n} Forme in extenso de la somme, X2n p=3 p p = p 3 + p 4 + p 5 + + p 2n−1 + p 2n, et pour tout α ∈ C: Xn k=m α = α {z} k=m + α {z} k=m+1 + + α {z} k=n =α+ +α {z } n−m+1 fois Taille du fichier : 90KB
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Produit maximal de deux nombres connaissant leur somme
Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu’ils sont égaux 2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*) x et y sont deux réels tels que x y a2 2 où a est un réel fixé (positif, bien entendu) On cherche x et y tels que le produit xy soit maximal a) Une identité à connaître : 2 2 2 2
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Je sais faire - Sommes, produits, coefficients binomiaux
quelle lettre différente de n ˙ Je sais écrire le produit de deux sommes comme une somme double 1 Écrire comme une somme double le produit : Xn k=1 p k × Xn k=1 1 p k pour tout n ∈ N∗ ˙ Je sais effectuer un changement d’indice dans une somme 2 Effectuer pour tout n ∈ N∗ le changement d’indice : j =i +1 dans la somme : X2n i=n+1 1 i 3
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Les produits remarquables - cours de profs pour
Les produits remarquables 1 Carré d’une somme de deux termes Découverte de la formule : a b a + b a a + b b Figure 1 Figure 2
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CHAPITRE 1 TRIGONOMÉTRIE
formule de transformation de produit en somme : sinacosb = 1 2 [sin(a+b)+sin(a b)] (1 13) Partons maintenant de cos(a+b)=cosacosb sinasinb En remplaçant de nouveau b par b, il vient cos(a b)=cosacosb +sinasinb En addition-nant ces deux égalités, on obtient la deuxième formule de transformation de produit en somme : cosacosb = 1 2 [cos(a+b)+cos(a b)] (1 14)
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Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 6 Sommes et
Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 6 Sommes et produits de nombres Sommes simples Exercice 1 : [solutions] Calculer les sommes suivantes : (a) nX+1 k=2 3; (b) Xn k=1 2k; (c) 2n k=n+1 2k; (d) n k=0 (k +2); (e) n k=0 ek; (f) Xn k=1 (2k +e−k); (g) Xn k=1 k(k +1); (h) Xn k=0 (32 k+1 +2 +2); (i) Xn k=0 (32k+2 +26k+1); (j) n k=1 (33k+3 − 26k − 27)
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somme de termes et produit de facteurs - wifeocom
Réduire au même dénominateur c'est transformer une somme (ou une différence) de deux fractions en une seule fraction Propriété: Pour tout nombre a, b, c et d, réels on a : Ô Õ + Ö × = Méthode : Réduire au même dénominateur
18 sept 2010 · Mais autant sommer deux ou trois nombres est chose aisée, autant l'affaire se complique quand on a besoin de faire la somme d'un
recurrence
Exercice : traduire par un calcul les phrases suivantes : 1- Effectuer le produit de 45 par 6 2- Effectuer la somme de 12 et de 7 3- Effectuer le produit de la
pdf question de vocabulaire
27 fév 2017 · 1 Le symbole somme r 1 1 Définition Définition 1 : Soit (ai) une suite de nombres réels ou complexes Soit deux entiers naturels n et p tels que
symboles somme produit
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Sommes et produits 1 Techniques de calcul 1 1 Le symbole ∑ Notation 1 1 Soient et deux entiers naturels Alors
SommesProduits
ln(1 + 1 k ) (On trouvera deux méthodes) Exercice 9: Soit la suite u définie par u0 = 2 et pour tout n ∈ N, un+1 = (
somme produit
Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé Exemples : E 1 p X k=2
fetch.php?media=mat :cours: hk sommes
ou : le quotient de la somme de 12 et de 3 par 5 2) Ecrire chacune des phrases suivantes sous la forme d'une expression numérique : a) Le produit de 8 par la
correc eval
ui,j est la somme des termes de la colonne j Développement d'un produit de deux sommes On se donne n nombres complexes a1, , an puis p autres nombres
sigma binome
27 feb 2017 1 Le symbole somme r. 1.1 Définition. Définition 1 : Soit (ai) une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux.
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
Exercice : traduire par un calcul les phrases suivantes : 1- Effectuer le produit de 45 par 6. 2- Effectuer la somme de 12 et de 7.
S'il vous reste un indice dans l'expression après le calcul de la somme c'est que On écrit deux fois la somme
consid`ere la soustraction comme la somme du premier vecteur avec le Il y a deux produits de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel.
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Si la somme de deux nombres est nulle alors ils sont opposés. Soit deux nombres a et b Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Impaire si et seulement si
Impaire si et seulement si
La somme de deux nombres consécutifs est impaire. Le produit de deux nombres consécutifs est pair. Exercice : Démontrer la propriété précédente ( cas général ).
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes