1 Ensembles: introduction D´efinition On appelle ensemble une collection des objets Ces objets sont appel´es les ´el´ements de l’ensemble Exemples 1) N= l’ensemble de tous les nombres entiers positifs 2) Z= l’ensemble de tous les nombres entiers relatifs 3) Q= l’ensemble des nombres rationnels m n, m,n ∈ Z, n 6= 0
Donner tous les sous-ensembles de E 2 ) Montrer, par r´ecurrence sur n, qu’un ensemble a n ´el´ements a 2n sous-ensembles 3 ) Soient A et B des sous-ensembles d’un ensemble E Montrer que (A ⊂B si et seulement si P(A) ⊂P(B)) 3 Intersection et r´eunion D´efinition 1 3 – Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E
1 Les ensembles 1 1 Définition d’un ensemble Définition 1 Un ensemble est une collection d’objets mathématiques Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble Exemple Notons E est l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre 0 et 10 Alors les éléments de E sont 0, 2, 4, 6, 8 et 10
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3]
les mathématiques sur des bases logiques Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : «J’ai bien lu votre premier livre Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles Un tel ensemble ne peut exister » S’ensuit une démonstration de deux lignes Tout le travail de Frege s
Def : Soit P(x)une proposition dont les valeurs de vérité sont fonction d’un élément variable x de E Quand la proposition P(x)est vraie pour tous les éléments x de E, on écrit : ∀x ∈ E, P(x) Quand la proposition P(x)est vraie pour au moins un élément x de E, on écrit : ∃x ∈ E, P(x)
mun Ainsi en est-il, dans les entiers, de l’ensemble Pdes nombres pairs et de l’ensemble I des nombres impairs : P\I= ; Par contre, les deux ensembles comprenant d’une part les impairs et d’autre part les carr es ne sont pas disjoints : il y a des impairs carr es Remarque 2 2 Tout comme la relation ˝
ensembles, les mathématiciens ne voyaient pas d’objection à envisager un ensemble dont les élé-ments seraient tous les ensembles : l’ensemble des ensembles Russell leur opposa le paradoxe suivant : Supposons que l’ensemble de tous les ensembles existe, et notons-le E On considère l’ensemble A = fx 2E : x 2/ xg
Les notions essentielles du cours fiche 1 Les ensembles de nombres Un ensemble E est une collection d’objets, qui constituent les « éléments » de l’en-semble Le nombre d’éléments de l’ensemble peut être fini, ou infini 1 Notation Pour décrire l’ensemble, on utilise des accolades, à l’intérieur desquelles on écrit les
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Chapitre 1 Ensembles et applications
ensembles n’existe pas, c’est-a-dire l’hypoth`ese de l’existence de cet ensemble m`ene a une contradiction February 18, 2013 10 / 47 Applications D´efinition Soit A,B des ensembles Une loi qui associe a chaque ´el´ement x de A un unique ´el´ement y de B est appell´ee application ou fonction de A dans B On ´ecrit f: A → B, ou A f //B Pour un ´element x ∈ A l’´el
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CHAPITRE I ENSEMBLES - Serveur de mathématiques - LMRL
6e - Chapitre I - Ensembles - cours et exercices - 3 - Quand le nombre des éléments d’un ensemble est très grand ou même infini (unendlich) on ne peut pas les énumérer tous Pour définir un tel ensemble on donne une propriété de ses éléments qui permet de comprendre quels sont ces éléments : on dit alors que l’ensemble est défini en compréhension
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Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles
Ensembles et sous-ensembles 1 Notion d’ensemble - El´ement d’un ensemble Un ensemble est une collection d’objets satisfaisant un certain nombre de propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e ´el´ement de cet ensemble Si x est un ´el´ement de l’ensemble E, on dit aussi que x appartient a E et on note x ∈E Si x n’appartient pas a E, on note x ∈E Deux ensembles sont Taille du fichier : 665KB
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ENSEMBLES ET APPLICATIONS - Département de Mathématiques
La diff´erence de deux sous-ensembles F et G de E, c’est l’ensemble des ´el´ements de F qui n’appartiennent pas a G, F \G = {x ∈ E((x ∈ F) et (x /∈ G))} = F ∩(E \G) Exemple 16 La contrainte sur les groupes de TD en S1 IFIPS peut s’´ecrire W \R ⊂ G 3 1 9 Diff´erence sym´etrique C’est l’op´eration bool´eenne qui correspond au ou exclusif La diff´erence sym´
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ENSEMBLES DE NOMBRES - Maths & tiques
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3]
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Ensembles, relations, applications - MATHEMATIQUES
1 Ensembles 1 1 Introduction En mathématiques, on travaille à l’intérieur de différents ensembles : l’ensemble des entiers naturels N, l’ensemble des entiers relatifs Z(en arithmétique), l’ensemble des décimaux D, des rationnels Q, l’ensemble des réels Rou des complexes C(en analyse ou en géométrie), l’ensemble des points du plan, l’ensemble des isométries laissant Taille du fichier : 480KB
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Ensembles et applications - e Math
Ensembles et applications les mathématiques sur des bases logiques Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : «J’ai bien lu votre premier livre Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles Un tel ensemble ne peut exister » S’ensuit une démonstration de deux lignes Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en Taille du fichier : 248KB
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Résumé de cours : Logique, ensembles, applications
II Ensembles Intersection et réunion Soit (A,B)∈ (P(E))2 A∩B est l’ensemble des éléments x de E qui appartiennent à A et à B et A ∪ B est l’ensemble des éléments x de E qui appartiennent à A ou à B Si (A i) i∈I est une famille de parties de E, \ i∈I A i ={x ∈ E/ ∀i ∈ I, x ∈ A i} et [i∈I A i ={x ∈ E/ ∃i
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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES
ensembles, les mathématiciens ne voyaient pas d’objection à envisager un ensemble dont les élé-ments seraient tous les ensembles : l’ensemble des ensembles Russell leur opposa le paradoxe suivant : Supposons que l’ensemble de tous les ensembles existe, et notons-le E On considère l’ensemble A = fx 2E : x 2/ xg Comme E contient tous les ensembles, A appartient à E Est-ce que A Taille du fichier : 670KB
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Mathématiques discrètes, 1ère année
Étudier les mathématiques Comment doit on apprendre les mathématiques? Il n'y a évidemment pas une réponse unique mais voici quelques pistes (qui du reste ne sont pas propres aux mathématiques, mais alablesv pour toutes les disci- plines) aireF les exercices Les mathématiques sont abstraites et di ciles Il est très important de se familiariser avec les objets, les dé nitions, les Taille du fichier : 613KB
Si A et B sont deux ensembles, on note A ∪B l'ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A ou à B A ∪B se lit « A union B » ou « la réunion de A et
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18 fév 2013 · 6) R∗ = l'ensemble des nombres réels non nuls Terminologie de la théorie des ensembles Si x est un élément d'un ensemble A, on ecrit x ∈ A
ch
x est un élément de l'ensemble E, on dit aussi que x appartient `a E et on on s' efforce souvent de les écrire en utilisant des symboles mathématiques, des et
MA
communauté mathématique à s'intéresser à ces notions Les deux grands noms de l'étude de la théorie des ensembles et de la logique mathématique sont
ensembles relations applications
IV 3 1 Définition et premiers exemples d'ensembles dénombrables dard toutes les lignes du fichier 'cours pdf ' contenant au moins une occurrence du mot
MathDiscretes
NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE 1 4 Quantificateurs mathématiques a )- Forme propositionnelle Définition 1 4 1 Etant donné un ensemble E On
AL MS
Mathématiques ECS1 Cours Chap I Logique Ensemble Applications : 2014- 2018 Prof : Yann Vargoz 1 CHAPITRE I Logique, Ensembles, Applications
ECS MATHS Cours CHAP I Logique Ensembles Applications
En symboles : si E et F sont deux ensembles, on a l'équivalence : on peut considérer que tout objet mathématique est un ensemble, de sorte que le mot
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4 sept 2007 · Remarque 6 Soient E et F deux ensembles Pour montrer que E = F, il suffit de montrer que F ⊂ E et E ⊂ F Exercice 7 Déterminer l'ensemble
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Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz L'approche naıve `a la théorie des ensembles 17 2 L'axiome de l'ensemble infini et définition de N
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Feb 18 2013 Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble. Exemples. 1) N = l'ensemble de tous les nombres entiers positifs. 2) Z = l ...
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ENSEMBLES DE NOMBRES L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. ?= 0;1;2;3;4.
les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d'un tout jeune mathématicien : « J'ai bien lu votre premier.
propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble. Si on s'efforce souvent de les écrire en utilisant des symboles mathématiques.
Fiche réalisée par Nicolas DURAND responsable pédagogique mathématiques. Remarque : Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ? (nombres entiers
Un ensemble est une collection d'objets deux à deux distincts appelés Ensembles classiques de nombres : ... est l'ensemble des nombres naturels ;.
Mathématiques ECS1. Cours Chap. I Logique Ensemble Applications : 2014-2018. Prof. : Yann Vargoz. 1. CHAPITRE I. Logique Ensembles
NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE. 1.4 Quantificateurs mathématiques a)- Forme propositionnelle. Définition 1.4.1. Etant donné un ensemble E. On appelle.
(Cette propriété n'est pas vérifiée par d'autres ensembles de nombres par exemple l'ensemble des nombres ra- tionnels. Cet ensemble possède un sous-ensemble
https://math.univ-angers.fr/~labatte/institut/ENSEMBLES%20DE%20NOMBRES.pdf
Chapitre 1. Ensembles et applications.