Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912)
suites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques C hose nouvelle cette année, le raisonnement par récurrence va nous permettre d’appré- hender l’infini en utilisant les propriétés de N Après une petite période d’adaptation, ce
Suites et raisonnement par récurrence 1 1 Dé ntion et représentation graphique 1 1 1 Dé nition Dé nition-Notation 1 Une suite numérique uest une fonction (à valeurs dans R) dé nie sur N On note ettec suite (u n) n2N (ou (u n) n 0) et on arlep de la suite de terme général u n Remarque 1 1 1
vous être présenté dans cette partie Le raisonnement par récurrence a été inventé par Fermat et Pascal au XVIIe siècle, le principe de démonstration a été axiomatisé par Péano à la fin du XIXè siècle et son nom définitif lui a probablement été donné par Poincarré en 1902 A Le raisonnement par récurrence Principe du
4 CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première) 1 1 Généralités Une suite ( ) de nombres réels est une fonction où la variable J est un entier naturel
la suite définie par son premier terme u0 =5 et, pour tout entier naturel n par: un+1 = 0,5un +0,5n 1,5 A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que: un = 10 0,5n +n 5 Exercice 6950 On considère la suite (un) définie par: u0 = 3 ; un+1 = 9 2n un pour tout n2N Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que
Suites numériques Limites et raisonnement par récurrence 1] Limite d’une suite a) Limite infinie Définition : Dire qu’une suite a pour limite quand tend vers signifie que tout intervalle de la forme avec , contient tous les termes à partir d’un certain rang On note : Animation
Suites Raisonnement par récurrence • Savoir mener un raisonnement par récurrence Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites Notations et raisonnement mathématiques
Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence En mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier naturel Par exemple la proposition suivante : pour tout entier , on a ou encore celle ci-dessous Exemple introductif Soit un nombre complexefixé On a admis dans le cours sur les complexes qu’alors,
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Chapitre 5 : Suites-raisonnement par récurrence
1 par récurrence : on donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation de récurrence, c’est à dire un terme de la suite en fonction du (ou des) termes précédent(s) 2 à l’aide d’un symbole somme ou d’un produit (c’est un cas particulier du précédent)
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CHAPITRE 1 : Récurrence , suites et fonctions
CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première) 1 1 Généralités Une suite ( ) de nombres réels est une fonction où la variable J est un entier naturel ( ): ℕ ( K Q L ???? ℕ) ℝ J
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Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques
pour limite + ∞ Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités en exercice Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre I Le raisonnement par récurrence 1 1) Les nombres de Fermat Un nombre de Fermat est un entier naturel qui s'écrit sous la forme 2 2n+1, où n est un entier naturel
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TerminaleS/Suites: raisonnementpar récurrence
Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le pre-mier terme et la raison Exercice 3292 On considère la suite{u définie par: u0 = 0 un+1 = 1 2 un pour tout n2N Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a: un = n n+1
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
Le raisonnement par récurrence comporte deux phases : • Prouver que la propriété est initialisée • Prouver que la propriété est héréditaire Si on montre ces deux phases la propriété est démontrée pour tout entier naturel B Il faut veiller à ce que les deux conditions «initialisation » et «hérédité » soient vérifiées En effet si l’une des deux conditions n’est pas respectée, on arrive à une
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Chapitre 1 Le raisonnement par récurrence
Chapitre 1 Le raisonnement par récurrence I Découverte du raisonnement par récurrence On considère la suite de nombres (u n) n∈N définie par : u0 = 1et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2u n+1 Ainsi, u0 = 1puis u1 = 2×u0+1= 2×1+1= 3puis u2 = 2×u1+1= 2×3+1= 7puis u3 = 2×u2+1= 2×7+1= 15 Décrivons les premières valeurs de u
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LES SUITES (Partie 1) - Maths & tiques
LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912) On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte
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Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence
Suites numériques – Classe de Terminale S Page 1 Suites numériques 1 Raisonnement par récurrence En mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d’un entier naturel Par exemple la proposition suivante : pour tout entier , on a ou encore celle ci-dessous Exemple introductif Soit un nombre complexefixé On a admis dans le cours sur les complexes qu’alors,
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
1 RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE La proposition est héréditaire Par initialisation et hérédité, ∀n ∈ N, 0 un, montrons que un+2 >un+1 un+1 >un ⇒ un+1 +2 >un +2
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Raisonnement par r ecurrence : Exercices
Raisonnement par r ecurrence - Erreur classique - Surtout a ne pas faire Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant : Soit P n la propri et e Mn = PDnP 1 P 1MP= D,PP 1MP= PD,MP= PD,MPP 1 = PDP 1,M= PDP 1 Donc la propri et e P n est vraie au rang 1 On suppose que pour tout entier p> 1 la propri et e est vraie, c’est- a-dire que Mp = PDpP 1
14 oct 2015 · b) Montrons par récurrence que la suite (un) est croissante Initialisation : : on a u1 = √3 donc u1 > u0 La proposition est initialisée Hérédité
cours raisonnement recurrence limite suite
I Découverte du raisonnement par récurrence On considère la suite de nombres (un)n∈N définie par : u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 1 Ainsi
recurrence
On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ⩾ 6, 2n ⩾ 6n + 7 Exemple 2 Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 =
Recurrence
Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par { u0 = 4 un+1= 2un −3, pour n 0 On souhaite montrer que pour tout entier naturel n, un 3 Notons P (n) la propriété «
ECT Cours Chapitre
Récurrence - suite bornée - inégalité Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 3 4un + 4 On consid`ere la fonction f définie sur
raisonnement par recurrence
de démontrer une formule algébrique et les variations d'une suite ▫ Exercice- Test (force 1) ET1 Soit ( )n V
extrait
Nous remarquons alors que les suite (un) et (vn) semblent obéir à une loi toute simple : à chaque rang n, le terme vn est égal au carré du terme un correspondant
Chapitre
Démontrer par récurrence que un ⩽ 3 Exercice 3 ✯ On consid`ere la suite (un) définie pour tout n par : { u0 = 7 un+1 = 2un − 4 Démontrer par récurrence que
exercice raisonnement recurrence
On dit dans ce cas que la suite est définie par une relation de récurrence. Fondamental : Initialisation de la récurrence. Dans le cas de suites définies par
Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation). - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité)
Coach : Le raisonnement par récurrence a de très belles applications comme de démontrer certaines propriétés des suites (leur expression
Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l'année et pas seulement dans le cadre de l'étude des suites
A. Rappels sur les suites. 1- Définition. Une suite numérique est une fonction de vers. Si une suite est représentée par la lettre u on note un l'image de
9 oct. 2013 Limite d'une suite. 1 Raisonnement par récurrence. 1.1 Axiome de récurrence. Définition 1 Soit une propriété P définie sur N. Si :.
7 ) Si une suite ne converge pas alors sa limite est + ? ou - ? . Page 2. Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 2 http://
5 janv. 2019 Quand on a l'initialisation et l'hérédité le principe de récurrence nous dit que toute proposition de la suite est vraie
14 oct. 2015 2.6.1 Suites majorées minorées et bornées . ... Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos. On consi-.
de démontrer deux formules algébriques un encadrement et un sens de variation sur les suites. ? Exercice-Test (force 2). ET1. Soit ( )n p.
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence