III) Exemple d’étude de suite récurrente convergente 1) Exemple 1 : La suite récurrente est monotone Soit la suite ( ????) définie sur ℕ par : ????+1 = √ u ???? et 0= t 1 A l’aide d’un tableur déterminer les vingt premiers termes de la suite Quelle semble être la limite de la suite ( ????) ? 2 a
2 Limite d’une suite 2 1 Limite finie Définition 2 : On dit que la suite (un)a pour limite ℓsi, et seulement si, toutintervalleouvertcontenant
I RAPPELS DE PREMIÈRE I Suites - Limite I 3 Représentation graphique d’une suite récurrente Pour visualiser une suite définie par récurrence u n+1 = f(u n) dans un repère : — On trace la courbe C f représentative de la fonction f associée et de la pre-mière bissectrice (∆) : x −→ x — On place le point A0 (u0; 0)
2 LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE DANS R 2 1 DÉFINITION Définition (Limite d’une suite) Soient (un)n∈Nune suite réelle et ℓ∈ R • Définition générale : On dit que (un)n∈Nadmet ℓpour limite si tout voisinage de ℓcontient tous les un à partir d’un certain rang, i e si : ∀Vℓ∈ Vℓ(R), ∃ N ∈ N, ∀n ¾N, un ∈ Vℓ
III Limite éventuelle d’une suite récurrente d’ordre 1 Si est une fonction continue sur un intervalle fermé borné de réels comprenant tous les termes d’une suite récurrente d’ordre 1, au moins à partir d’un certain rang, la suite étant définie par : Alors, si converge vers une limite , celle-ci est solution de l’équation
Pour d´eterminer la limite ´eventuelle de (u n) n∈N, on utilise le r´esultat classique sur les suites : si ∀ n∈ N, u n ∈ [a,b] et si la suite (u n) n∈N converge vers l alors l∈ [a,b] 3 Repr´esentation Graphique d’une suite r´ecurrente En utilisant la courbe C f associ´ee a f, on peut repr´esenter la suite u d´efinie par u
Ci-dessous, l’exemple de représentation en escalier de la suite récurrente u n+1 = (u2 n + 1)=2, avec u 0 = 0 2 4Variationsd’unesuiterécurrente Il devient, à ce stade, passible de la peine capitale d’écrire que la suite (u n) suit les mêmes variationsquelafonctionf
III Convergence d’une suite Dans cet exercice, nous allons revoir di erents r esultats li es a l’ etude de la convergence de suites : { une suite non born ee n’est jamais convergente (a), { une suite born ee n’est pas n ecessairement convergente (c), { la limite d’une suite est apparent ee a la limite d’une fonction,
d’ordre1 Complément0 Dans ce complément de cours, nous présentons diverses méthodes pour l’étude d’une suite définie par une relationderécurrenced’ordre1,c’est-à-diresatisfaisant: (u 0 = α∈I ∀n∈N,u n+1 = f(u n) où f est une fonction définie sur un intervalle I Bien que les exercices seront souvent détaillés et
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Terminale S - Etude de limites de suites définies par
???? est continue en ℓ, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l’égalité ????(ℓ) = ℓ Ce qui veut dire que si une suite ( ????) converge alors sa limite est solution de l’équation ????(ℓ) = ℓ Mais attention: Trouver la ou les solutions de l’équation ????( ℓ) = ne prouve pas que
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Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
2 Limite d’une suite 2 1 Limite finie Définition 2 : On dit que la suite (un)a pour limite ℓsi, et seulement si, toutintervalleouvertcontenant ℓcontienttouslestermesdelasuiteàpartird’un certain rang On note alors : lim n→+∞ un =ℓ et l’on dit que la suite (un)converge vers ℓ Remarque : Lorsqu’elle existe cette limite est unique (on le montre facilement
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Suites - Etudes des suites recurrentes - Free
Th´eor`eme du POINT FIXE - Limite ´eventuelle de la suite (u n) n∈N Soit (u n) n∈N une suite r´ecurrente du type u n+1 = f(u n) Si la suite converge vers let si la fonction f est continue en l, alors lest un point fixe de f : f(l) = l Remarque 1 : Si f n’admet aucun point fixe, alors toute suite r´ecurrente (u n) n∈N du type u n+1 = f(u
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I Suites - Limite
I RAPPELS DE PREMIÈRE I Suites - Limite I 3 Représentation graphique d’une suite récurrente Pour visualiser une suite définie par récurrence u n+1 = f(u n) dans un repère : — On trace la courbe C f représentative de la fonction f associée et de la pre-mière bissectrice (∆) :
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D UNE SUITE
2 LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE DANS R 2 1 DÉFINITION Définition (Limite d’une suite) Soient (un)n∈Nune suite réelle et ℓ∈ R • Définition générale : On dit que (un)n∈Nadmet ℓpour limite si tout voisinage de ℓcontient tous les un à partir d’un certain rang, i e si : ∀Vℓ∈ Vℓ(R), ∃ N ∈ N, ∀n ¾N, un ∈ Vℓ
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Suites récurrentes d’ordre 1
III Limite éventuelle d’une suite récurrente d’ordre 1 Si est une fonction continue sur un intervalle fermé borné de réels comprenant tous les termes d’une suite récurrente d’ordre 1, au moins à partir d’un certain rang, la suite étant définie par :
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Application des critères de convergence des suites
1 3 Étude de la monotonie d'une suite récurrente Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle STABLE par f et (u n) n≥0 la suite récurrente dé nie par : ˆ u 0 ∈ I u n+1 = f(u n) Théorème 3 1 Si pour tout x ∈ I, f(x) ≥ x alors la suite (u n) n≥0 est croissante 2 Si pour tout x ∈ I, f(x) ≤ x alors la suite
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Suites numériques
2 Limite d'une suite a) Suites convergentes Dé nition 2 1 (Limite nie) On dit qu'une suite réelle ou complexe (u n) n2N converge vers le nombre ‘lorsque 8">0 ; 9N " 2N; 8n 2N; (n >N " =)ju n ‘j
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Convergence de suites - Université de Paris
Par unicit e de la limite d’une suite convergente, on a donc L = f(L) III SYNTHESE Lors de l’ etude de suites r ecurrentes, il est int eressant de d eterminer, { les points xes de f s’ils existent, { les intervalles stables born es a droite (comme par exemple ] 1 ;M]) ou a gauche (comme par exemple [N;1[),
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SCILAB - Free
n) une suite d e nie par (u 0;u 1 2R u n+2 = 2u n+1 u n + (n+ 1) (1)En utilisant la suite (v n) d e nie par v n = u n+1 u n, expliciter la suite (u n) (2)Faire un programme qui demande u 0;u 1 et n a l’utilisateur et a che la valeur de u n a=input(’u0?’) b=input(’u1?’) n=input(’n?’) for k=1:n do c=b; b=2*b-a+k a=c end; disp(a,’a=’,b,’b=’) 5 Trac es de fonctions
Suites récurrentes définies par une relation « un+1 = f (un) » : On peut définir une suite (un)n∈ par récurrence par la donnée de son premier terme u0 et d'une
Cours Limite d
Ce qui veut dire que si une suite ( ) converge alors sa limite est solution de l'équation (ℓ) = ℓ III) Exemple d'étude de suite récurrente convergente
Term S Etude de suites recurrentes
On est donc ramené au cas de deux suites récurrentes (u2n) et (u2n+1) pour On suppose que la suite (un) converge vers une limite finie l qu'on cherche à
ECS Complement
Suites récurrentes · Fiche d' Une suite (un)n∈ est convergente si elle admet une limite finie Soit (un)n∈ une suite convergente ayant deux limites l = l
ch suites
5) Toute suite convergente est bornée 6) Suites monotones bornées 7) Exemple des suites récurrentes: un+1 = f(un), o`u f est croissante 8) Limites infinies
courslimites
Il s'agit de montrer que un est équivalente `a λkn, ou encore, en posant vn = un kn , que vn a une limite finie non nulle En posant wn = w(un) on a la relation un+ 1
convergence recurrente
Montrer que la suite de l'Exercice 2 converge vers une limite l à préciser Dans le cas où f est décroissante, on peut être amené à appliquer le théorème de
cours chap
stable pour la fonction associée et contient u0 2 Limites éventuelles 2 1 Points fixes Définition Soit x ∈ I On dit que x
u(n+ )=f(un)
On appelle suite récurrente toute suite (un)n∈N telle qu'il existe une fonction la suite récurrente (un)n∈N (telle que un+1 = f(un)) converge vers une limite
Suites Etudes des suites recurrentes
Ce qui veut dire que si une suite ( ) converge alors sa limite est solution de III) Exemple d'étude de suite récurrente convergente.
Par unicité de la limite d'une suite convergente on a donc L = f(L). III. SYNTHESE. Lors de l'étude de suites récurrentes
Suites récurrentes un+1 = f (un) : On peut définir une suite (un)n? par récurrence par la donnée de son premier terme u0 et d'une relation un+1 = f (un) où
Si une suite est convergente sa limite est unique. Démonstration. On procède par l'absurde. Soit (un)n? une suite convergente ayant deux limites l = l .
Il existe de nombreux problèmes dont la solution peut être définie comme la limite d'une suite de nombres ou de vecteurs. Des méthodes de calcul itératives
ait une limite supérieure N qui dépende uniquement de p^. N ==/(/.). Dans une suite récurrente proprement dite chaque terme.
second degré consid`erent en effet le th`eme des suites récurrentes un+1 = f(un) Si la suite (un) a une limite l c'est nécessairement un point fixe de f ...
1 nov. 2018 un point fixe. Etudions la limite de la suite récurrente d'ordre 1 définie par: In [2]: from sympy import * def u ...
2 Limite d'une suite. 3 Suites extraites. 4 Suites adjacentes. 5 Suites récurrentes. 6 Approximation des zéros d'une fonction : méthode de Newton
I.4 Suites récurrentes . 2. un+1 = f(un) (suite récurrente) : ... On dit qu'une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu'il existe un réel ? ...
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence