Loi uniforme - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ FR LOI UNIFORME EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 (correction) X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle I Déterminer la fonction de densité de probabilité, puis calculer pX(13≤≤ ) lorsque : a) I =[1;5] b) I = −[2;3] Exercice n°2
Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a; b] - Pour tout réel x et y de [a; b], on a P(x
LOI UNIFORME La loi uniforme nous permet d’étudier les situations dans lesquelles on tire au hasard un nombre dans un intervalle Loi uniforme sur Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à un tirer un nombre décimal au hasard entre 0 et 1 On considère que la probabilité d’obtenir un nombre
D’où le nom de « loi de durée de vie sans vieillissement » donné quelquefois à la loi exponentielle Exemple : La durée de vie d’un ordinateur portable expr imée en années est une variable aléatoire ???? suivant la loi exponentielle de paramètre ????= 0,125
4- Lois de distribution continues -4 4 3 Loi lognormale Si Y = ln( X) suit une loi N(µ,σ2), alors X = eY suit une loi lognormale (note X>0) Les moyennes et variances de X et Y sont reliées par :
Pour décrire plus précisément le comportement de X, sans pour autant caractériser complètement la loi de X, on peut s’intéresser aux écarts de X par rapport à cette moyenne Cependant, si on considère simplement la différence X E[X], on obtient un écart moyen E[X E[X]] = 0 (par linéarité de l’espérance)
nest,pourtoutn,delaforme:X n= Y n ns,oùlesY nsont des variables aléatoires indépendantes et sun réel strictement positif On suppose de plus que les Y n ont même loi de fonction de répartition F 0, supposée continue en tout pointpoursimplifier (a) Montrerque,pourtouts>0 :X n proba 0 quandn+1
Exemple 2 : Il su t de sommer en colonne pour avoir la loi de X, et en ligne pour obtenir celle de Y En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ecrire les lois de Xet Y Et avant de conclure, on prend le soin de v eri er que la somme de cette colonne (et de
de loi N(0;1) Par passage en coordonn´ees polaires, on note = p X2 +Y2 et = arctan Y X Alors on peut montrer que suit une loi uniforme sur [0;2ˇ] et que 2 suit une loi exponentielle de taux 1 2 On en d´eduit donc l’algorithme de gen´ ´eration suivant : soient U 1 et U 2 deux variables al´eatoires uniformes sur [0;1], alors ( = p
Soit X une variable aléatoire réelle de loi X possèdant une densité continue f à support compactinclus dans [a;b] ˆR et telle que son graphe soit inclus dans [a;b] [0;M], pour un certain M2R+ On considère une suite (Z i) i2N = (X i;Y i) i2N de variables aléatoires uniformes dans[a;b] [0;M] etl’ondéfinit˝= inffi2N;f(X i) >Y ig
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I LOI UNIFORME - jardindesmathsfr
LOI UNIFORME La loi uniforme nous permet d’étudier les situations dans lesquelles on tire au hasard un nombre dans un intervalle Loi uniforme sur Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à un tirer un nombre décimal au hasard entre 0 et 1 On considère que la probabilité d’obtenir un nombre entre et
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LOI UNIFORME - EXERCICES CORRIGES
Loi uniforme - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ FR LOI UNIFORME EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 (correction) X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle I Déterminer la fonction de densité de probabilité, puis calculer pX(13≤≤ ) lorsque : a) I =[1;5] b) I = −[2;3] Exercice n°2 (correction)
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Couple de variables al´eatoires - Notion d’ind´ependance
La loi du couple (X,Y) est d´efinie par l’ensemble des probabilit´es : P(X = x,Y = y) avec x ∈ DX et y ∈ DY Dans le cas ou` les variables sont discr`etes et prennent un petit nombre de valeurs, on ´ecrit en g´en´eral la loi du couple sous la forme d’un tableau : Y\X Somme des colonnes P(X = x,Y = y) P(Y = y) Somme des lignes P(X = x) 3
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Couples et vecteurs de variables al eatoires Pr eparation
une loi binomiale Bin(n;p y) 1 3 Loi de f(X;Y) Probl eme : On dispose d’un couple de variables al eatoires discr etes (X;Y) dont on conna^ t la loi conjointe et on voudrait conna^ tre la loi de la variable al eatoire Z = f(X;Y), ou f : X() Y() R est une fonction donn ee Par exemple, on a souvent besoin de conna^ tre la loi de X+ Y, ou celle de X Y, ou de XY Et d eterminer la loi de X a partir de celle de (X;Y) revient a consid erer la fonction f(x;y) = x Taille du fichier : 234KB
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Quelques exercices de probabilité
Y = (X +1)/2 si X est impair Déterminer la loi de Y Exercice 23 Soient a et b deux réels Déterminer la loi de la v a Y = aX +b quand X suit la loi uniforme sur [0,1] puis quand X est gaussienne centrée réduite Exercice 24 Soit X une v a uniforme sur [0,1] Quelle est la loi de la v a Y = exp(λX) si λ > 0? Y possède-t-elle une
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Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
Proposition (Linéarité de l’espérance) Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même univers et a;b deux réels, E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]: (3) En particulier, E[aX] = aE[X] Proposition (Non-linéarité de la variance) Pour toute variable aléatoire X et a;b 2R V(aX + b) = a2V(X):Taille du fichier : 603KB
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Couples de variables aléatoires discrètes
La loi de X se calcule assez aisément : X(Ω) = N∗ et on aura X = k si la suite de lancers commence par k Pile suivi d'une face ou par k face suivis d'un Pile, cas incompatibles qui donnent P(X = k) = 3 4 k × 1 4 + 1 4 k × 3 4 = 3k +3 4k+1 Pour déterminer la loi de Y, le plus simple est de passer par la loi de couple : on aura (X,Y) = (i,j) si on débute par i Pile, puis j aceF et à nouveau un Pile, ou bien i ace,F j Pile et un ace,F soit une probabilité de P((X = i) ∩ (Y Taille du fichier : 132KB
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ECT 2ème année Chapitre 2 Famille de variables aléatoires
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires Si l’on connaît la loi marginale de Y, ainsi que la loi conditionnelle de X sachant [Y=y],alors la loide X est déterminépar: ∀xx)= X y P(Y =y)P[Y=y](X =x) Exemples : Retrouverla loi marginalede X à partirde la loimarginalede Y et de la loi condi-tionnellede X sachant[Y
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Correction TD n 3 - unicefr
(x) = f(x) Par le lemme, une densité f Y de Y est donnée pour tout t62f13;3gpar f Y(t) = F0 Y (t) = 1 4 f 0 3 t:On peut donc prendre: f Y(t) = ˆ 1 16 si 13
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Exercices de probabilités posés à HEC
que X suit la loi de Poisson de paramètre λ>0 et que Y suit la loi uniforme sur {1,2} Déterminer la loi de Z = XY Quelle est la probabilité de l’évènement Z ≡ 0mod2 ? 2) Soit c un réel strictement positif et soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N
C 1- Lois discrètes- Loi uniforme Ex : E=« lancer d'un X suit une loi uniforme de Loi : • Moments E: Tirage dans une urne de Bernoulli ayant une proportion
cours bis
Une propriété intéressante de la loi uniforme est qu'elle permet de fabriquer des variables aléatoires suivant d'autres lois On a par exemple le résultat suivant
LM Notes
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1] Déterminer la loi de caractérise la loi, on conclut que −log U suit une loi exponentielle de paramètre 1
LM TD sol
Lois classiques discrétes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson 3 Approximation en loi Clément Rau Cours 1: lois discrétes classiques
c
Paramètres d'une loi continue 2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale) Loi uniforme Loi exponentielle 3 loi normale Loi normale centrée réduite
c
heures Pour cela, on utilise la fonction de densité f définissant la loi de probabilité Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme U a;b
LoisTESL
Soient X1, ,Xn des variables aléatoires de même loi uniforme U[0,θ], avec θ ∈ R∗ + Notons ˆ θn l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre θ
EMV
4- Lois de distribution continues -2 4 1 Loi uniforme Si toute valeur de X est équiprobable dans l'intervalle [a,b], alors X suit une loi uniforme La fonction de
chapitre
La loi uniforme sur un intervalle [α, β] est la loi de densité f (x) = { 1 β−α Figure: Densité (`a gauche) et fonction de répartition (`a droite) de la loi uniforme sur
cogmaster probas continues
Lois uniformes Définition : On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle ( ) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par
mathematiques series s es l stmg sti d stl lois a densite cours
Définition 1.1 Les (deux) lois marginales du couple (X Y ) sont les lois des variables On trouve ici que X et Y suivent une loi uniforme sur {1
On considère deux variables aléatoires X et Y . On aimerait savoir s'il existe un lien entre La loi uniforme est-elle adaptée au problème?
f(x)dx. Loi uniforme U([a b]) a<b. [a
On va s'intéresser à la loi PZ d'un couple de v.a.r. Z = (X Y ). les deux cas que l'on vient de considérer
13 mai 2019 Par la méthode de la fonction muette (X
Soit (XY ) un couple de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X suit une loi uniforme sur [0
Un événement élémentaire est un couple (x y) o`u x est la couleur de la premi`ere Mis `a part le prestige dû `a son nom
Si le vecteur (X Y ) ? R2 suit une loi uniforme sur {(x
La loi uniforme sur [ab] a pour densité la fonction f(x)=0 si x<a ou x>b f(x)=. 1 b-a si a?x?b. Propriétés. La fonction de répartition F d'une variable
Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l