Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
Considèrons une fonction fdéfinie sur un intervalle I Comment peut-on trouver un majorant de cette fonction sur I Il n’existe pas de méthode générale qui permette de trouver ce majorant (ou minorant) Voici quelques pistes : - utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" - utiliser des propriétés
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et ´eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major´ee par 70 x −∞ −7 3 4 +∞ 4 66 f(x) & & 2 −7 1 Exo 4 Minorer la fonction pr´ec´edente au vu de son TV
d'ordre On la note généralement ≤ , (ou ≥) Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit ordonné Soient x et y des éléments d'un ensemble ordonné, la relation : x ≤ y et x ≠ y, est notée : x < y Une relation d'ordre est dite totale si pour tout x et tout y on a x ≤ y ou y ≤ x L'ensemble est alors dit totalement ordonné
Le produit d’un r´eel positif et d’un r´eel n´egatif est n´egatif En effet, soit a ≤ 0 et 0 ≤ b, alors 0 ≤ −a et, d’apr`es l’axiome (vi), on obtient 0 ≤ −ab D’ou` ab ≤ 0 On montre de mˆeme que le produit de deux r´eels n´egatifs est positif Exercice -Montrer que la fonction carr´ee est croissante sur R+
De l’autre cot´e, on remarque d’abord que chaque ´el´ement de D est clairement strictement positif et afortiori positif Le r´eel 0 minore donc tous les ´el´ements de D CeciprouvequeD est minor´e et que 0 en est un minorant Minor´e et non vide, l’ensemble D admet une borne inf´erieure Montrons enfin que D n’a pas de
D’une part x2]r;r0[ (car 0 < p 2 0;q > 0 des entiers On obtient qln3 = pln2
Remarque 1 Bien entendu une solution beaucoup plus élémentaire aurait consisté àdéterminer f(R)au moyen de l’étude des variations de f C’est une conséquence non triviale de la continuité : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle et cet intervalle se détermine
2 En déduire que admet une borne supérieure et une borne inférieure et les déterminer Allez à : Correction exercice 7 : Exercice 8 : On considère la partie ={(−1) +1 ; ∈ℕ∗} Démontrer que possède une borne inférieure et une borne supérieure, déterminer chacune d’entre elle Allez à : Correction exercice 8 :
n 6 M:Alors Mest un majorant et Mest un minorant de la suite (u n): Définition 1 7 (limite d’une suite) On dit qu’une suite (u n) admet le réel ‘pour limite ou que (u n) converge vers ‘si 8">09N2N tel que 8n> Non a ju n ‘j Non a u n> K: On dit qu’une suite (u
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Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne conna^ t pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo corrig e
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Fiche Technique : Majorant - Minorant
Considèrons une fonction fdéfinie sur un intervalle I Comment peut-on trouver un majorant de cette fonction sur I Il n’existe pas de méthode générale qui permette de trouver ce majorant (ou minorant) Voici quelques pistes : - utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" - utiliser des propriétés particulières de la fonction, par example être bornée Taille du fichier : 89KB
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Chapitre 1 MAJORER, MINORER
Exercice -Montrer que la fonction carr´ee est croissante sur R+ Soit 0 ≤ a ≤ b On a b2 −a2 = (b−a)(b+a), or 0 ≤ a+b D’apr`es les r`egles des signes b2 −a2 a le mˆeme signe que b−a On en d´eduit que 0 ≤ b2 −a2 On montre de fac¸on similaire que la fonction inverse est croissante sur R∗ + 1 4 Multiplication d’une in´egalit´e par un r´eel
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Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1Taille du fichier : 166KB
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Daniel ALIBERT Relations d'ordre Entiers Anneaux et
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 9 L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F), et l'ensemble des minorants Minor E(F) Si F admet un majorant, on dit que c'est une partie majorée de E On définit de même une partie minorée Si F est à la fois majorée et minorée, on dit que c'est une partie bornée
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Cours FPV - Semaine 1 : M¶etrique, Limite, Continuit¶e et
L’id¶ee pour r¶esoudre cet exercice est de trouver un minorant et un majorant su–samment pr¶ecis pour que leurs limites co˜‡ncident et donc nous auront trouv¶e la limite de f: Cette recherche de minorant et de majorant est trµes d¶elicate µa faire et demande un peu de pratique et d’intuition math¶ematique
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Bornes supérieures et inférieures
R0, 0 (est un minorant donc on a inf ) R0 et finalement inf( )=0 Allez à : Exercice 4 : Correction exercice 5 : Nous allons étudier la fonction :]−∞,−3]→ℝ ↦ +1 +2 ]est définie, continue et dérivable sur −∞,−3] (le seul problème de est =−2 qui est en dehors deTaille du fichier : 442KB
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Propriétés de R - Exo7 : Cours et exercices de
1 Montrer que supA+supB est un majorant de A+B 2 Montrer que sup(A+B)=supA+supB Indication H Correction H Vidéo [000476] Exercice 9 Soit A et B deux parties bornées de R Vrai ou faux? 1 AˆB)supA6supB, 2 AˆB)infA6infB, 3 sup(A[B)=max(supA;supB), 4 sup(A+B)
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wwwoptimalsupspefr
Pour montrer qu'une suite u n'est pas majorée (resp minorée), on peut raisonner par l'absurde : en la supposant majorée (resp minorée), considérer sa borne supérieure (resp inférieure) et exhiber un terme de cette suite supérieure (resp inférieur) à cette borne Voirl'exercice Étude générale de suite
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Rhodes Rémi 10 décembre 2008 - Middle East Technical
xpge de A)x= sup(A) )xest majorant de A; xppe de A)x= inf(A) )xest minorant de A: Preuve Si xpge de Aalors x2Aet xmajorant de A Soit yun autre majorant de A ymajorant et x2Aimplque x y Donc xest le plus petit des majorants de A, d’où x= sup(A) De plus x= sup(A) implique xmajorant de A Théorème 2 Soit Aun sous-ensemble non vide de R muni de la relation d’ordre usuelle
Exo corrigé Quel est le plus grand minorant de cette fonction ? Page 12 Majorants et opérations Proposition Si M est un majorant
majo
,3] ; [1, +∞[ et ]0,1] Exercice n°5 Soit f une fonction définie sur IR tel que : pour tout x ∈ IR , on a f
s C A rie dexercices corrig C A s
Exercice I 19 Etant donné un ensemble A ⊂ R, écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes : 1 10 est un majorant de A, 2 m est un minorant de A,
Cours et Exo Math
Démontrer que −2 est un minorant de f ◦ g sur R et que 1 est un majorant de f ◦ g sur R Exercice 103 : Soit f la fonction cube définie par : f : R → R , x ↦→ x3 1
TB ex
Pour chacun des exercices suivants, déterminer s'il y a une borne inférieure, une borne supérieure, si oui, les déterminer Montrer que est minoré si et seulement si est majoré 2 Remarque : on aurait pu étudier la fonction
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges bornes superieures et inferieures
L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F), et l'ensemble des minorants MinorE(F) Si F admet un majorant, on dit que c'est une partie majorée de
daniel alibert cours et exercices corriges volume
Majorant Pour tous Majorant, minorant, maximum, minimum On travaille dans l' ensemble ℝ muni f est une fonction, son ensemble de définition est noté Df
Majorant
de E Par exemple, 2 est un majorant de [−1, 1] ensemble borné s'il est majoré et minoré Exercice - Montrer que la fonction carrée est croissante sur R+
inegalites
urs exercices corrigés Mathématiques Exercices d'entraînement corrigés s ique 2 8 Fonctions équivalentes, définition et opérations 44 Un majorant (respectivement, minorant) de A qui appartient à A est appelé le plus
Feuille d'exercices no 1 Révisions: majorants et bornes supérieures Fonctions Points de cours : majorant et minorant Soit A une partie de R On appelle :
td revisions
https://math.univ-cotedazur.fr/~ah/ens/cours/anal12/majo.pdf
On dit que A majorée (respectivement minorée) si A possède un majorant (respec- tivement
Si est majoré admet une borne supérieure sup( ) et d'après le 1. est minoré et donc admet une borne inférieure inf( ). Pour tout un majorant de
➢ Un majorant d'une fonction sur n'est pas nécessairement extremum absolu 4- En déduire les variations de ℎ. Exercice 2 : Soit la fonction. :ℝ ...
L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F) et l'ensemble des minorants MinorE(F). Si F admet un majorant
Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un En exercice on étudiera également les fonctions x → f ( x )
Maximum Minimum – Majorant
majore (ou minore) une fonction. ll se peut que ce soit carrément une autre ... exercices corrigés de boeck
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urs & exercices corrigés Exercices d'entraînement corrigés ... Un majorant (respectivement minorant) de A qui appartient à A est appelé le plus.
L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F) et l'ensemble des minorants MinorE(F). Si F admet un majorant
L'outil central abordé dans ce tome d'analyse ce sont les fonctions. Si un majorant (resp. un minorant) de A existe on dit que A est majorée (resp.
Exercice I.19. Etant donné un ensemble A ? R écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes : 1. 10 est un majorant de A
4.2 Propriétés de la limite d'une fonction . 7 Corrigé des exercices. 69. Remerciements. ... Définition 1.2.2 (majorant minorant
L'outil central abordé dans ce tome d'analyse ce sont les fonctions. Si un majorant (resp. un minorant) de A existe on dit que A est majorée (resp.
Exercice n°1 : Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité des fonctions Soit la fonction f définie par f(x)=
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Majorant minorant
Généralité sur les fonctions