Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1
La fonction ℎ dans l’ativité 2 est majorée par 1 et minorée par −1 La fonction dans l’ativité 1 est minorée Montrer par absurde que ne peut pas être majorée Propriété : Si est une fonction majorée par ???? alors elle majorée par tout nombre ????′ tel que : ????′ R????
par un scalaire et la aleurv absolue d'une fonction Relation d'ordre: On dira que f g sur I lorsque 8x 2 I;f(x) g(x) Dé nition d'un ensemble (de réels) majoré, minoré, borné Bornes sup et inf d'un ensemble de réels Dé nition d'une fonction majorée, minorée, bornée Bornes sup et inf d'une fonction Min et max Exemples et exercices
Majorer, minorer et estimer sont au fondement de l’Analyse2 Il faut avoir les bons réflexes pour en-cadrer une expression Pour une somme de réels ou d’un produit de réels positifs, on encadre chacun 1 Seule l’addition est compatible au sens de l’Algèbre avec la relation d’ordre 2
(partie enti`ere) qu’on ne peut pas minorer d’une mani`ere ind´ependante de x: On dit que la suite ( f n ) n converge simplement vers la fonction f d´efinie par : f ( x ) = 1 (b) Sur ]0 ;
Si fest une fonction continue et positive sur [a,b], alors son intégrale sur [a,b] est positive, autrement dit, fě 0 ùñ ż [a,b] fě 0 Proposition 10 - Positivité de l’intégrale Démonstration La fonction identiquement nulle sur [a,b] est une fonction en escalier qui minore f ce qui donne immédiatement le résultat
Soit f une fonction continue born ee (par homog en eit e on peut supposer que kfk 1= 1) Soit >0 x e et Iun rectangle ferm e v eri ant P(X =2I) Comme Iest compact la fonction f est uniform ement continue sur I Ainsi il existe >0 tel que jx yj =) jf(x) f(y)j ; 8(x;y) 2I2 Par compacit e on peut recouvrir Ipar un nombre ni de boules (I j)
accroissements finis, afin de pouvoir minorer la valeur absolue du taux d’accroissement, et non pas avec l’inégalité) Remarques •Ce théorème ne permet pas de prolonger par continuité la fonction f′ sur I: une fois la fonction fdéfinie sur I, si a∈I, l’éventuelle dérivabilité de fen aest fixée Si fest dérivable en a, ce
Une suite (f n) n≥1 de fonctions converge uniformément sur chacun des intervalles [a,b] et ]b,c] Montrer qu'elle converge uniformément sur [a,c] Exercice 4 On considère une fonction f dont la dérivée est uniformément continue sur un intervalle [a, + &[ Montrer que la suite de terme général n f
Fonction d´efinie de IR dans IR Limites Continuite´ Propriet´ ´es des fonctions continues sur un intervalle D´efinitions Monotonie, parite et p´ ´eriodicit e´ Applicatio
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Majorer, minorer, encadrer - unicefr
Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne connaˆıt pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7→ 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1Taille du fichier : 166KB
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Chapitre 1 MAJORER, MINORER
MAJORER, MINORER Pour majorer un terme de la forme a b avec a et b strictement positifs, il suffit de majorer a et de minorer b En effet, si 0 < a ≤ c et b ≥ d > 0, alors 1 b ≤ 1 d par croissance de la fonction inverse et 0 < a b ≤ c d par produit de deux in´egalit´es positives 2 Valeur absolue 2 1 D´efinition
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Majorer, minorer, encadrer, arrondir
a) On donne un intervalle I de R et une fonction f d´efinie sur I Formaliser les ´enonc´es E et F : (E) : sur I, f est major´ee; (F) : sur I, f atteint son minimum b) Ici on prend f := x 7→x2 Donner quatre valeurs de I donnant a (E,F) les quatree valeurs possibles c) Ici, on prend I := [0, 3[ Donner quatre valeurs de f donnant a (E,F) les quatre valeurs possibles
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Encadrer une fonction par deux nombres On encadre (majore, minore) un nombre qu’on ne conna^ t pas super bien, comme e On peut aussi encadrer (majorer, minorer) une fonction Dans ce cas, on peut encadrer la fonction par deux nombres, ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo corrig e
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G´en´eralit´es sur les Fonctions r´eelles `a variable r´eelle
Minorer f sur I signifie donc : ”Trouver un r´eel m tel que ∀x ∈ I, m ≤ f(x)” Remarquez que les valeurs M et m sont ind´ependantes de la variable x Majorants et Minorants d’une fonction f Pour montrer qu’une fonction f est major´ee sur I Il s’agit de rechercher M ∈ Rtel que ∀x ∈ I on a f(x) ≤ M” Plusieurs m´ethodes sont alors possibles : 1 Par majorations successives en partant de x ∈ I
Les outils pour obtenir une majoration ou une minoration de fonction sont adaptés aux différentes formes de fonctions 1) Pour majorer une fonction f sur D ⊂ R,
cst
Exercice - Résoudre l'inéquation 2x − 7 ≤ x + 4 5 Fonctions et inégalités Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R `a valeurs dans R
inegalites
1 Comment trouver un majorant ou minorant Considèrons une fonction f définie sur un intervalle I Comment peut-on trouver un majorant de cette fonction sur I
FTmajorant
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité des fonctions suivantes : 1) Montrer que f est une fonction affine par intervalles 2) Minorer f sur IR
s C A rie dexercices corrig C A s
III Application aux fonctions réelles à variables réelles f est une fonction, son ensemble de définition est noté Df 1 Définition Soit I⊂Df
Majorant
Utiliser ensuite le raisonnement de passage `a la borne sup Ex 6 Moyen On consid`ere la fonction définie sur [0,1] par f(x)
exo reels
de la fonction auxiliaire [W4], de manière duale du fait que, dans les deux dernières méthodes, une seule des fonctions considérées n'est pas linéaire
JTNB
4 Inégalités dans R - Généralités sur les fonctions 1 1 Inégalités Pour minorer une fraction de réels positifs, il suffit de minorer son numérateur ou de majorer
inegalites dans r generalites sur les fonctions cours
1 DÉFINITIONS DE LA LIMITE D'UNE FONCTION 1 1 LIMITE Définition (Limite d'une fonction en un point) Soient f : D −→ On arrête de minorer quand on
Cours Limites d
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/majo.pdf
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité des fonctions suivantes : On considère la fonction f définie par f(x)= ... 2) Minorer f sur IR.
Exercice - Résoudre l'inéquation 2x ? 7 ? x + 4. 5. Fonctions et inégalités. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R `a valeurs dans R.
Pour certaines questions il pourra etre utile que vous vous aidiez d'un dessin de la fonction a majorer. Plus d'une reponse peuvent etre correctes. 1- Pour
- utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main". - utiliser des propriétés particulières de la fonction par example être bornée. Nous
trois mots : majorer minorer
Par exemple la fonction inverse f : x ?. 1 x est définie sur IR* . B ) REPRESENTATION GRAPHIQUE. Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;. ?.
sable) en optimisation globale sous contraintes. La relaxation linéaire est également un ingrédient majeur utilisé notamment pour minorer la fonction ob-.
Majorer minorer