a) Montrer que, si Ker f = {0}, alors Kerf2 = {0} b) On suppose maintenant que Ker f ̸= {0} Montrer que Ker f = Kerf2 c) Conclure 2 On suppose que Ker f = Kerf2 a) Etablir que si´ µ est une valeur propre de f alors µ2 est une valeur propre de f2 b) Soit λ une valeur propre non nulle de f2, et µ1,µ2 ses deux racines carr´ees
Pour montrer que´ E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels : a) E = {(x,y,z) ∈ R3: x2 +y2 +z2 = 1}
1) Montrer que f est un automorphisme de E et préciser f 1 2) Montrer que EE 3E Soit p la projection de E sur Ed parallèlement à d E3 et q la projection de E sur G parallèlement à F 3) Montrer que f p q 3 EXERCICE 12 : Soient F x y z x y z ^ 3, , ; 0 ` et G Vect 1,1,1 deux sous espaces vectoriels de 3 1) Montrer que F et G sont
Montrer en utilisant 2) que S n k =E(S n k) tend p s vers1 5 Conclure Indication Onpourraencadrer Sn E(Sn) etmontrerqueE(S n k) ˘k2 Exercice 4 5 Soit (X n) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi expo-nentielle de paramètre 1 On pose M n = max 1 k nX k En calculant P(M n clnn) et P(X n clnn
A l’aide d’une formule de trigonométrie, montrer que tan n’est pas uniformément continue sur]−π/2,π/2[ Exercice 16 Soit f: [0,1] → [0,1] a) On suppose que f est continue Montrer que f admet un point fixe b) On suppose que f est croissante Montrer que f admet un point fixe Exercice 17
Montrer que la s erie X u nest convergente 3 On suppose que ‘>1 Montrer que la s erie X u nest divergente 4 En d eduire la nature de la s erie dans le cas ou u n= n 1 2n+1 n Exercice 13 (***) -Crit ere de d’Alembert Soit (u n) n 0 une suite de r eels strictement positifs telle que u n+1 u n n+1 : 1 On suppose que
2 Montrer que les fonctions : ( ) = ???? et ( ) = ???? ???? Sont solution de l’équation différentielle (????) 3 En déduire que (∀( , ) ∈ ℝ2 ( = ???? + ???? ) est solution de (????) On admet que la réciproque est vraie Propriété : Les solutions de l’équation
d) En déduire que 1 1 p i i L = ∑ = 5) a) Montrer que, pour tout x de E, L f xk ( )( ) appartient à Ker λ(f Id− k), où L f xk ( )( ) désigne l’image du vecteur x de E par l’endomorphisme L fk ( ) b) En déduire la décomposition cherchée 6) Vérifier que cette dernière décomposition redonne celle obtenue pour l
1 Montrer que la série de terme général u n = ( n1) 2n+1 converge 2 On note S sa somme Montrer que 2 3 S 1 3 Montrer que : 8n2N; R 1 0 ( t2)ndt =u n 4 En déduire ce que vaut pour N 2N la somme åN n=0 u n et en déduire la valeur de S 5 Calculer l’intégrale I = R 1 0 t2 (1+t2)2 dt par intégration par parties ou par le changement de
1)montrer que l’équation : f x x admet une solution unique ; 62 D ºªSS »«¼¬ 2)montrer que : : 62n u SS 3)a)montrer que :; 62 x ºSS ª »«¼¬ 3 2 fxc d b)en déduire que : 1 3 nn2 uu DDd 4) calculer : lim n n u o f Solution :1) Considérons une fonction g tel que : g x f x x On a : g est une fonction dérivable sur et g x f x xcc 1
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Exercices de Colles de Sup - École Normale Supérieure
Montrer que f(A\B) ˆf(A) \f(B) Donner un exemple tel que l'inclusion soit stricte Montrer qu'on a égalité si fest injective Solution rivialT Prendre A, Bdisjoints et fonstante c acileF Exercice 4 (*) Soient Eun ensemble et f;g: E E Montrer que si fet gsont injectives, alors f gl'est aussi Donner un exemple où la réciproque est fausse Solution Immédiat Taille du fichier : 399KB
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1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension Cet espace est engendre par les matrices´ a coefficients nuls sauf`
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Espaces vectoriels
1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ3 2 Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base 3 Montrer que { , } est une base de 4 Montrer que { , , } est une famille libre de ℝ3 5 A-t-on ⊕ =ℝ3 6 Soit =( , , ), exprimer dans la base { , , } Taille du fichier : 611KB
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Ensembles denombrables´
Remarque : On peut montrer par des methodes avanc´ ´ees que p et e sont transcendants Exercice 4 - E et P(E) ne sont pas en bijection Soient E un ensemble non vide et f : E P(E) une applica-tion 1 Posons A = fx 2E : x /2 f(x)g Soit x 2E, montrer que x 2f(x)[A et que x /2 f(x)\A 2 Montrer que l’application f ne peut pas etre surjective ˆ
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Math Sup 2020 - 2021 Devoir auto-correctif de math´ematiques
Montrer que la famille (u 1,u 2,u 3,u 4) est une base de R4 Exercice no2 E =RN est muni des lois usuelles Soient u =(2n) n∈N et v =(3 n) n∈N puis F =Vect(u,v) 1)Montrer que la famille (u,v)est libre Quelle est la dimension de F? 2)Soient w = 2n+1 −3n+2 n∈N et t = 2n+1 +3n+1 n∈N a)Montrer que w et t sont dans F puis ´ecrire la matrice de (w,t)dans la base (u,v)de F b)Montrer
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SOUS-ESPACES SUPPLEMENTAIRES
Pour montrer que Fet Gsont supplØmentaires dans R3;il faut vØri–er que tout vecteur u = (x 1;x 2;x 3) de R3 se dØcompose de maniŁre unique comme somme d™un vecteur f = (f 1;f 2;f 3) de Fet d™un vecteurg= (g 1;g 2;g 3) de G Nous devons donc rØsoudre l™Øquation u= f+g;d™inconnues fet g;et montrer qu™elle admet une solution unique Or, f 2F()fTaille du fichier : 149KB
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Valeurs propres, vecteurs propres
Montrer que 1 = 2, 2 = 1 et 3 = 0 sont valeurs propres de A Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre associé 3 Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice identité In? Et de la matrice nulle 0n? 4 Montrer qu’une matrice A 2Mn(K) a au plus n valeurs propres distinctes (utiliser un résultat du cours) 5 Soit A= •5 7 7Taille du fichier : 150KB
Montrer que le polynôme x3 + 2x − 1 a une unique racine qui appartient à l' intervalle ]0, 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x − 1 La fonction f est continue dérivable
TD corrige
Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪G = G) et Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n −1 2 Soit k un entier
ficall
Montrer que √ 2 ∈ Q, 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication Τ Correction Τ
fic
(f +g+f −g), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f,g) est continue sur I Exercice 2 Soient I un intervalle de R et f : I → R
selcor
Exercice 9 Soit a, b, c, d positifs tels que abcd = 1 Montrer que a2+b2+c2+d2+ab +cd+bc+ad+ac+bd ⩾ 10 Trouver les cas d
Inegalites Theo
En admettant que la fonction t ↦→ ln(t) est strictement croissante, montrer que f est strictement décroissante sur l'intervalle ] − 1,1[, sans calculer sa dérivée En
lc
Montrer que est majoré et minoré 2 En déduire que possède une borne supérieure et une borne inférieure Allez à : Correction exercice 3 : Exercice
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges bornes superieures et inferieures
Exercice 4 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : Exercice 6 Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E :
td
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment On sait que I appartient Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires On sait que (d1 ) // (d2 )
COMMENT DEMONTRER
Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 + 2k)+1) donc n2 + n est pair Donc, pour tout n ∈ N, n2 + n
corrige c LG
C'est comme dans R3 sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l'exercice 5 ?. Il suffit de montrer que la famille est libre (
Enfin nous avons déjà vu que cette multiplication n'est pas commutative. Mini-exercices. 1. Montrer que (R?. +×) est un groupe commutatif.
Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit
Montrer à partir de la définition donnée en cours
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Exercice 9 *** I. Soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg?gf = f. Montrer que f est nilpotent. Correction ?. [
Exercice 25. Soit G un groupe commutatif. Montrer que l'ensemble des éléments d'ordre fini de G forme un sous-groupe de. G. Indication ?.
Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer la différentielle. Solution. La fonction f est
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
Démontrer que (1 = 2) ? (2 = 3). Correction ?. [000105]. Exercice 3. Soient les quatre assertions suivantes : (
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base