4 Montrer que si X est une partie compacte d’un espace vectoriel normé E de dimension finie, alors Conv( X ) est une partie compacte de E Exercice 8 : Soit F une partie fermée d’un espace vectoriel normé E
X n = S n=(n+ 2) la proportion de boules rouges au temps n 1 Montrer que (X n) est une martingale par rapport a sa ltration naturelle et calculer E[X n] 2 Montrer que (X n) converge presque surement et dans L1 On appelle X 1la limite 3 Montrer par r ecurrence sur nque S n est uniforme sur f1;:::;n+ 1g 4 En d eduire la loi de X 1 5 On
1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[ 3- Soit Eun espace vectoriel normé de dimension nie sur K = R ou C, et fune fonction vectorielle de classe C1 dé nie sur un intervalle Ide R à aleursv dans E
a) Montrer que si (u n) et (v n) appartiennent à l2, la série P u nv n est absolument convergente, que l2 est un espace vetoriel sur Ret que l'application φ : ((u n),(v n)) −→ X∞ n=0 u nv n dé nit un produit scalaire sur l2 b) Soit (u n) ∈l2, une série à termes positifs ou nuls Montrer que P u n n converge et que X∞ n=1 n n
Ce n'est pas évident sur sa dé nition, qui fait intervenir une union in nie non dénombrable n) = 1 1 Montrer que pour tout réel x, on a l'inégalité 1 + x
1 Montrer que si u et v sont colinéaires, on a jhu;vij= kukkvk; où kkdésigne la norme associée à h;i 2 On suppose que u et v ne sont pas colinéaires En utilisant le fait que v + tu est non nul pour tout réel t, montrer que jhu;vij kukkvk: Exercice 18 Soit n2N Montrer que, pour tous réels a 1;:::;a net b 1;:::;b n, on a Xn i=1 a
Exercice 9 (**) Soit Eun ensemble Montrer que Eest ni ssi toute fonction fde Edans lui-même admet une partie stable non triviale Solution Si Eest ni, prender un cycle Si Eest in ni, soit x2Eet A= ffn(x)jn2Ng: si A6= E, c'est on b Sinon, Aest in ni donc fn(x) 6= xourp tout net Anfxgonvient c Exercice 10 (***) Soit ˙une injection de N dans
2 Montrer que k· kp n’est pas une norme pour p∈]0,1[ 3 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 4 Montrer que pour tout x∈ Rn,kxkp → kxk∞ quand p→ +∞ Solution 1 Comme Bp est sym´etrique par rapport aux deux axes de coordonn´ees, il suffit de tracer le graphe de
M´ethode : Pour montrer qu’une famille a` n el´ ´ements est li ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que´ le nombre de pivots est < a` n; cela fournit en meme temps une base de l’espace ˆ Exercice 6 1) Montrez que la famille F = ((1,1,1,1),(2,1,−1,0),(4,3,1,2)) est liee, et trouver une base de´ l’espace engendre par cette
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Feuilles de travaux dirigés - CEREMADE
Montrer que, pour tous réels a 1;:::;a net b 1;:::;b n, on a Xn i=1 a ib i 2 Xn i=1 a i 2 Xn i=1 b i: En déduire que 1 n2 Xn i=1 a i 2 1 n Xn i=1 a i 2: Exercice 19 Soit E= C([a;b];R) l'espace des fonctions continues dé nies sur l'intervalle [a;b] et à aleursv réelles On dé nit pour tout fet pour tout gdans E hf;gi= Z b a f(t)g(t)dt: 1 Montrer que h;iest un produit scalaire sur E 2 En déduire que
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Exercices de Colles de Sup - École Normale Supérieure
Décrire une bijection entre N et N2 Montrer que pour tout n>0, N est en bijection avec Nn Montrer que l'ensemble des suites d'entiers nulles à partir d'un certain rang est en bijection avec N Exercice 8 (**) Décrire une bijection entre R et RnN Solution Par exemple, on eutp prendre f(n) = n+ 1 Taille du fichier : 399KB
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a a, b n N X N R N - 833duparcfreefr
(un)n∈N Exercice 18 1 Montrer que l'équation x3 = 1 − nx admet une seule solution sur [0,+∞[que l'on note xn 2 Montrer que la suite (x n) ∈N est strictement décrois-sante 3 Montrer que la suite (x n) ∈N est convergente et calcu-ler sa limite ℓ 4 Déterminer un équivalent de xn − ℓ, au voisinage +∞ Exercice 19 Déterminer un équivalent des suites suivantes: • un = r n2 + lnn n −n
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Convexitédesfonctions X E Montrer que X N
Montrer que X est convexe si et seulement si pour tout n 2N ⁄ et 8(x1, ,xn) 2 X n, 8(t1, ,tn) 2[0,1]n avec t1 ¯¢¢¢¯tn ˘1, on a t1x1 ¯¢¢¢¯tnxn 2 X Exercice7(Enveloppe convexe): Soit X une partie d’un espace vectoriel réel E On note E(X) l’ensemble des parties convexes de E contenant X et on définit Conv(X) ˘ \ C2E(X) C 1 Montrer que Conv(X) est la plus petite partie
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Exercices sur les suites de fonctions - univ-toulouse
(3) En observant que, pour tout m n, fn(xn) fm(xn), montrer que ∥fn∥1 0 lorsque n 1 Conclure Exercice 8 Soit f: R R une fonction de classe C1 Pour tout n2 N , on pose : un(x) = n (f (x+ 1 n) f(x)): Montrer que la suite de fonctions (un) converge simplement vers une fonction à préciser Montrer que la convergence est uniforme sur Taille du fichier : 78KB
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Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 3 14 Soit (X;d ) un espace métrique, et (xn) une suite d'éléments de X qui converge vers x 2 X Montrer que l'ensemble fxn:n 2 N g[f xg est compact Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y
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Suites et séries de fonctions
n 2) Montrer que : 8x2R+; 0 f n(x) f(x) 3) Montrer que (f n) converge uniformément vers fsur tout segment [0;a] 4) Démontrer que la convergence est uniforme sur R+ Exercice 12 Étude de convergence Étudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions : f n: x7 1 + x n n Exercice 13 Étude de convergence Soit f n(x) = nx
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Espaces euclidiens Feuille 28 - Free
Pour P;Qdans E, on dé˙nit : (PjQ) = Xn k=0 P(a k)Q(a k) 1 Montrer que c’est un produit scalaire 2 Construire une base orthonormée de E: 3 Calculer la distance de Qà H= (P2E= Xn k=0 P(a k) = 0): Exercice 28 20 Solution p 17 Soit A2M p(R) une matrice symétrique dont le spectre est inclus dans R +:
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Exo7 - Exercices de mathématiques
n[X] et soient A et B deux polynômes à coefficients réels de degré n+1 On considère l’application f qui à tout polynôme P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B 1 Montrer que f est un endomorphisme de E 2 Montrer l’équivalence f est bijective ()A et B sont premiers entre eux: 2
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TD4-Corrigés
Montrer que la famille ((5,4,1),(1,2,0)) est libre et la compléter en une base de R3 2 Dans Mn(R), on note A le sous-espace des matrices antisymétriques et S le sous-espace des matrices symétriques Rappeler la définition des éléments de ces deux espaces Montrer que A et S sont supplémentaires dans Mn(R) 3 Soit P 2K[X] de degré n On note F ˘{QP, Q 2K[X]} et Kn¡1[X] l
On montre par récurrence sur n ∈ N que le résultat est vrai pour E = [1,n] Pour n = 0 On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une
ChA Denombrabilite
est une union dénombrable d'ensembles dénombrables, donc est dénom- brable Exercice 3 Montrer que la tribu des boréliens sur R est engendrée par
CorrigeTD
Montrer que D est au plus dénombrable Cela reste-t-il vrai si on ne suppose plus que la mesure est finie? Et si on suppose que la mesure est σ-finie ? Exercice
TD Archives MI
Soit f une application de E dans F Montrer que f est une bijection (de E sur F) si et seulement Un ensemble E est dit dénombrable s'il a même cardinal que N
cardinaux
12 août 2019 · Rappelez-vous également qu'un ensemble est dit dénombrable s'il existe une suite bijective à valeurs dans cet ensemble Pour montrer que Z
peut on compter les nombres
ensembles étaient dénombrables puisque Z est dé- nombrable et même Q l'est Cependant, nous allons Surjectivité Il faut démontrer que (∀B : P(A) : (∃f B
acetates
5 déc 2014 · Démontrer que l'application f est strictement croissante En déduire Montrer qu' un ensemble infini A est dénombrable si et seulement si il
DM
Démonstration On veut montrer que toute partie infinie de N est en bijection Définition On dit qu'un ensemble A est dénombrable lorsqu'il existe une bi-
matieres
15 nov 2013 · 0 si A est dénombrable 1 si Ac est dénombrable 2 Montrer que, dans une famille (Ai) de parties mesurables disjointes deux `a deux, il existe
partiel
14 May 2005 Montrer que l'ensemble des sous-ensembles finis de N est dénombrable. Solution de l'exercice 9. Polynômes `a coefficients entiers. A chaque ...
On dit que E est infini s'il n'est pas fini. Il est intuitivement clair qu'une partie d'un ensemble fini est elle-même finie de cardinal plus petit. Si l
Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels. Ceci
Un ensemble est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection N. Montrer que les ensembles suivants sont dénombrables : N {0} est dénombrable par la
Montrer que l'ensemble des rééls compris entre 0 largement et 1 strictement n'est pas dénombrable. Exercice 3. On se propose d'énumérer les éléments de NxN
Montrer que M est la tribu engendrée par une partition dénombrable. On a X = ?n?NXn car pour x ? X f(x) > 0 et par conséquent f(x) > 1/(n + 1) pour.
Dans un espace topologique séparé toute partie dénombrable est A U
toute famille dénombrable de sous-ensembles ouverts et denses dans E est dense dans E. Montrer que : (1) Tout fermé de E est un espace de Baire.
Exercice # . Montrer que N[X] est dénombrable. Solution (TT). On rappelle que N[X] dénote l'ensemble de polynômes en
Pour montrer une proposition P on suppose que P est fausse
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