PDF forme bilinéaire exercice corrigé PDF

Exercices formes bilinéaires et quadratiques

Exercice 6 — 1- Montrer que si f,g∈ L(E;F) sont telles que pour tout x ∈ E existe λ x ∈ k tel que f(x)=λ xg(x),alorsf et g sont proportionnels 2- Soit φ une forme bilin´eaire sur E × E telle que pour tout x,y ∈ E, φ(x,y) est colin´eaire φ(y,x)

Algèbre bilinéaire

Exercice 6 Exercice 5 Soit Eun espace euclidien et Bla ouleb unité de L(E) : B= fu2L(E)=jjjujjj 1g Montrer que les ointsp extremaux de B, c'est-à-dire les u 2B tels que Bf ugest onvexec sont exactement les éléments de O(E) Exercice 7 Loi d'inertie de Sylvester Soit qune forme quadratique sur Rn Montrer qu'il existe une aseb e 1;:::;e n

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle base E0 est ME0(b) = tP M E(b)P 2 1 3 Forme bilin´eaire et dualit´e Soit b: E × E → Kune forme bilin´eaire sym´etrique Pour tout x ∈ E, l’application b(·,x) : E −→ K y 7−→ b(y,x) est une forme lin´eaire sur K, c’est `a dire un ´el´ement du dual E∗ Proposition 2 6

P P X P - BU

Exercice 6 Soit E un K-espace v ectoriel 1) Une forme bilinéaire f sur E est dite alternée si f(x,x) = 0 p our tout x Mon trer qu'une forme bilinéaire est alternée si et seulemen t elle an tisymétrique 2) Mon trer que toute forme bilinéaire sur E s'écrit de manière unique comme la somme d'une forme bilinéaire symétrique et an

Série No4 : Formes linéaires et Formes quadratiques

Déterminer le rang de l’application bilinéaire f Exercice 5 Soit E = R[x] l’espace vectoriel sur R des fonctions polynômiale en x Pour tout polynôme P, soit fP l’application sur E qui associe, à tout polynôme Q, le nombre fP(Q) = Z 1 0 P(x)Q0(x)dx + Z 1 0 P0(x)Q(x)dx 1 Montrer que fP est une forme linéaire sur E 2

Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

Exercice 2 On considère l’application f: R2 ×R2 → R, ((x,y),(x0,y0)) 7→2xx0 −4xy0 +5x0y+byy0 1 Montrer que fest une forme bilinéaire 2 Déterminer bpour que fsoit dégénérée 3 Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement à f 4 Déterminer le rang de fselon les valeurs de b Exercice 3

Algèbre bilinéaire : Compléments

Exercice 8 Déterminer inf (a,b)2R2 Z1 0 (x2 ax b)2dx Exercice 9 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c’est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée) On pose F =fP 2E =P(1)=0g 1 Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E 2

Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie

Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool

3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w u v w u w v w O O Ou v u w u v 2) Interprétation géométrique : Surface d’un triangle Soient et deux vecteurs dans ????3 , qu’on suppose non colinéaires tels que : et w AD u v on a d’après la

Espaces prehilbertiens et euclidiens - PSI Fabert

•φ est bilinéaire et symétrique sur l2 ×l2 (immédiat) Soit (u n) ∈l2, non nulle : ∃n 0 ∈N, u n 0 6= 0 alors φ((u n),(u n)) = X∞ n=0 u2 ≥u2 0 > 0 Donc φ est une forme bilinéaire symétrique dé nie positive sur l2, c'est à dire un produit scalaire b) Soit (u n) ∈l2, une série à termes positifs ou nuls Notons encore 1 n

[PDF] Exercices d’entra^ nement (Alg ebre 2) Formes bilin eaires R

Exercice 4 Soit la forme quadratique de R3: q(u) = 2u2 1+ 2u u 2 + u 2 2 + u 2 3 1 Ecrire la forme bilin eaire b associ ee, et la matrice de q 2 Est-elle d e nie positive? Orthogonalit e Exercice 5 1 Soient les vecteurs de R3: u = (2;1;0) v = (3; 6;1) w = (1;0;0) (a) Montrer qu’ils forment une base de R3 (b) Forment-ils une base orthogonale pour le produit scalaire usuel? (c) Calculer

[PDF] Corrig´e du devoir surveill´e n 1

Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin´eaire f : R3 ×R3 → R d´efinie par f((x,y,z),(x0,y0,z0)) = xx0 +2xy0 +2x0y +3xz0 +3x0z +4yy0 +8yz0 +8y0z +9zz0 La matrice de q

[PDF] S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009

2-1 EXERCICES CORRIGES¶ 15 2-1 Exercices corrig¶es 2-1 1 Exercice 4a { Formes bilin¶eaires et quadratiques Les questions 1 et 2 sont ind¶ependantes

[PDF] CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques

CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel elér V et soit q sa forme quadratique associée 1 Montrer l'identité de Cauchy q(q(u)v −B(u,v)u) = q(u)[q(u)q(v)−B(u,v)B(v,u)] (1) 2 En déduire, si q est dé nie ositive,p l'inégalité de Cauchy-Schwarz B(u,v)B(v,u) ≤ q(u)q(v) (2) Taille du fichier : 150KB

[PDF] Formes bilin´eaires sym´etriques et formes quadratiques

forme bilin´eaire sym´etrique sur E Montrer que la forme quadratique associ´ee `a ψest d´efinie positive Proof Soient λ1 et λ2 dans IR Alors ψ(x,λ1y1 + λ2y2) = λ1 +λ2 De plus, ψ(x,y) = ψ(y,x) (sym´etrie du produit scalaire) La forme quadratique associ´ee s’´ecrit: q(x,x) == kxk2, d´efinie positive (propri´et´es de la norme) (2) (*)Soit (E

[PDF] Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ

Preuve Une forme linØaire est entiŁrement dØterminØe par l™image de chaque vecteur de la base fv 1; ;v ng de E Ainsi pour chaque i –xØ, les n Øquations ’ i (v j) = ij, j = 1;n dØ–nissent de façon unique la forme ’ i Maintenant montrons que f’ 1; ;’ ng est une base de E Comme E a la mŒme dimension que E, il su¢ t de montrer que les n formes sont libres Soit 1’ 1

[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 3 ** Soit Q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E On note j sa forme polaire On suppose que j est non dégénérée mais non définie Montrer que Q n’est pas de signe constant Correction H [005808] Exercice 4 *** I Soient f 1, f 2, , f n n fonctions continues sur [a;b] à valeurs dans R Pour (i; j) 2[[1;n]]2, on pose b i;j = R b a f i(t)f j(t)dt puis pour (x 1;::Taille du fichier : 209KB

[PDF] M42–uncorrigédel’examendumercredi23mai2018

UniversitédeLille Année2017-2018 LicenceMathématiques2èmeannée Semestre4 M42–uncorrigédel’examendumercredi23mai2018 Exercice 1 (questionsdecours) (1

[PDF] Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels

est une forme bilinéaire symétrique, appelée canonique Définition Soit φ une forme bilinéaire symétrique sur E On appelle forme quadratique associée à φ l'application : q : E → R x → φ(x, x) Si q est la forme quadratique associée à une forme bilinéaire de matrice A, alors : q(x) = tXAX A savoir 7 L'application q n'est pas linéaire : q( αx) = α2q(x) Si E = Rn, on a

[PDF] MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Formes quadratiques