DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE Soit b une forme bilinéaire sur E L’appliation et appelée forme quadratique associée Remarque : l’ensem le des formes quadratiques sur E est un espae vetoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire
telle que df(a) = 0 On note Ala matrice hessienne de fen a, et qla forme quadratique associ ee 1 Si fadmet un minimum (resp un maximum) relatif en aalors qest une forme quadratique positive (resp n egativ e) 2 Si qest une forme quadratique d e nie positive (resp d e nie n egativ e) alors f admet un minimum (resp un maximum) relatif en a
signature de q Exercice 5 Soit q une forme quadratique dé nie sur le R-espace v ectoriel E Mon trer que q garde un signe constan t sur E Exercice 6 Soit E un K-espace v ectoriel 1) Une forme bilinéaire f sur E est dite alternée si f(x,x) = 0 p our tout x Mon trer qu'une forme bilinéaire est alternée si et seulemen t elle an
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
[Une forme quadratique q: R n nR R est dite non-d eg en er ee s’il n’existe pas x2R tel que q(x;y) = 0 pour tout y La signature d’une forme quadratique non-d eg en er ee q, repr esent ee par une matrice M, est un couple d’entiers (n 1;n 2) ou n 1 est le nombre de valeurs propres positives de Met n 2 le nombre de valeurs propres n
d’une forme quadratique de signature (p+1,q+1) est naturellement muni d’une structure pseudo-riemannienne conforme de signature (p,q) Ce pro-jectivis´e, muni de cette structure conforme naturelle est un espace compact appell´e l’univers d’ Einstein de signature (p,q) On le note Einp,q Le groupe
[Une forme quadratique q: Rn RnR est dite non-d eg en er ee s’il n’existe pas x2Rn tel que q(x;y) = 0 pour tout y La signature d’une forme quadratique non-d eg en er ee q, repr esent ee par une matrice M, est le couple d’entiers (n 1;n 2) ou n 1 est le nombre de valeurs propres positives de Met n 2 le nombre de valeurs propres n
6 qui est muni de la forme quadratique telle que la base soit orthogonale et telle que ( e 0, e 0) = 1, ( e k, e k) = −1 pour k > 0 Soit η = 3e 0 − (e 1 + ··· + e 6) Alors une surface cubique marqu´ee est compos´ee d’une surface cubique lisse S et d’une isom´etrie ψ : L −→ H2(S,Z) qui envoie η sur la classe d’un hyperplan
Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin´eaire f : R3 ×R3 → R d´efinie par
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Comptage de racines et signatures de formes quadratiques
signature et un algorithme impl´ement´e en Maple 1 Deuxm´ethodes On peut trouver deux r´ef´erences dans la biblioth`eque de l’agr´egation qui expliquent comment calculer le nombre de racines r´eelles d’un polynˆome au moyen de la signature d’une forme quadratique Nous pr´esentons bri`evement ce qui est dit dans ces r´ef´erences Dans tout ce qui suit, on se donne un polynˆome
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Chapitre 2 Formes quadratiques - Claude Bernard University
signature (modulo permutation) d’une forme quadratique à partir du cône isotrope qu’elle définit ),Taille du fichier : 943KB
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Applications Bilin eaires et Formes Quadratiques
3 4 Signature d’une forme quadratique 17 Exercices 18Taille du fichier : 425KB
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TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS
g) Il est classique que fest la forme quadratique associ ee au produit scalaire canonique (A;B) 7 tr(tAB), donc f est d e nie positive, donc sign(f) = (n2;0) et rang(f) = n2 La d ecoposition en carr es est donn ee par f(A) = P i;j a 2 i;j h) Par d e nition, fest le carr e d’une forme lin eaire non nulle (la trace), donc sign(f) = (1;0) et rang(f) = 1 1Taille du fichier : 204KB
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Formes quadratiques - michelquerciafreefr
Calcul de signature Soit A ∈ M n(R) à coefficients strictement positifs Déterminer la signature de la forme quadratique sur Rn définie par : q(x 1, ,x n) = P i,j a i,j(x i −x j)2 Exercice 5 Signature de tAA Soit A ∈ M n,p(R) 1) Montrer que tAA est la matrice d’une forme quadratique positive sur Rp 2) Déterminer sa signature en fonction de rgA Exercice 6
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Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
de l'équation ax 2+bx+c= 0 et la signature de la forme quadratique ax +bxy+cy2) On ne peut se limiter à des considérations élémentaires d'algèbre linéaire Les formes quadratiques ne sont pas toutes non dégénérées (la notion de quotient est utile pour s'y ramener) L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué
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MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Formes quadratiques
Les valeurs propres étant de signes opposés, la forme quadratique est de signe in-déterminé Elle est non dégénérée puisque 0 n’est pas valeur propre Corrigé ex 48 : Diagonalisation et étude de signe Forme Q(x 1;x 2) = 2x2 +2x 1x 2 2x2 A= 2 1 1 2 Les valeurs propres sont 1 = 3 et 2 = 1 La forme est définie négative Forme Q(x 1;x 2) = x2 +4x 1x
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C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire Son noyau est l’espae des formes ilinéaires alternées PROPOSITION 13 : Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique On l’appelle a forme polaire et on la note d’où Q(E)= dim est un isomorphisme (car inj et de même dimension)Taille du fichier : 504KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Vérifier que Q est une forme quadratique sur E 2 Déterminer en fonction de l et m le rang et la signature de Q Analyser en particulier les cas (l;m) = (1;0) et (l;m)=(0;1) Correction H [005807] Exercice 3 ** Soit Q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E On note j sa forme polaire Taille du fichier : 209KB
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Corrig´e du devoir surveill´e n 1
1 de R3; son orthogonal Fλ pour la forme quadratique non-d´eg´en´er´ee q est donc 3−1 = 2 Comme F λ et Rv λ sont deux sous-espaces vectoriels de R 3 de dimensions respectives 2 et 1, on a R 3 = F λ ⊕ Rv λ si et seulement si F λ ∩ Rv λ = {0}, c’est-a-dire si v λ 6∈F λ , c’est-`a-dire si v λ
Corollaire 34 – Si E est de dimension n, la forme bilinéaire symeétrique associée `a une forme quadratique q est un produit scalaire si et seulement si la signature
V formes quadratiques
positifs (négatifs) Proposition 2 25 Soit q une forme quadratique de signature (s, t) sur un R- espace vectoriel Ede dimension n Alors il
Bil
Soit q une fq réelle de dimension n on suppose que q est représenté par une matrice ( ) où et Alors la signature de q est et
fetch.php?media=p :algiv:chapitre vf
Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1,X, ,Xn) 4 Pour n = 2, déterminer la signature de q La forme q est-elle positive ? négative ? 5
CAPESexoscorrigesfquad
2 nov 2014 · On appelle forme quadratique sur E toute application q de la forme q : E −→ qui prouve que q2 est définie positive donc de signature (n2,0)
memoire
L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de R3 Le lien avec la signature doit être clairement énoncé Cadre :
ruffini memoire
Exercice 1 : ⋆ Décomposer sous forme de combinaison linéaire de carrés les formes quadratiques réelles suivantes ; en déduire leur signature et leur rang
TDC
Une forme quadratique est définie positive si sa signature est (n, 0) Proposition 5 (Critère de Sylvester) Soit q une forme quadratique de matrice M q est définie
Soit q une forme quadratique sur E de signature (n − 1, 1) Soit F un sous– espace vectoriel de E On pose dim(F) = p On suppose qu'il existe un vecteur v ∈ F,
quadrati
8 oct 2015 · matrice d'une forme quadratique, changement de base, signature d'une forme qua- dratique sur R ou d'une forme hermitienne Référence
arnaud
mat de def négative DEFINITION 31 : SIGNATURE D'UNE FORME REELLE espace quadratique réel dim finie { F ss-ev de E
intéressante à exploiter dans le cadre de la classification des formes quadratiques sur R : à une forme quadratique q on associe sa signature (s t) où s
Donner la signature de Q et son rang 3 Donner une base de R3 orthogonale pour la forme quadratique Q Solution (1) En appliquant l'algorithme de Gauss
Vérifier que Q est une forme quadratique sur E 2 Déterminer en fonction de ? et µ le rang et la signature de Q Analyser en particulier les cas (?µ) =
3 2 Réduction et signature Théor`eme 1 14 Réduction de Gauss Soit q une forme quadratique sur Rd Il existe k réels non nuls (?i)i=1 k et k formes
Signature d'une forme quadratique réelle en dimension finie (Hors programme) Soit R ? EQ : une forme quadratique On appelle indice de positivité p de Q
L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la
2 2 Signature d'une forme quadratique Théorème 2 8 Soit q : E ? R une forme quadratique Il existe (v1···vn) une base de E orthogonale
Donner les matrices associées aux formes quadratiques suivantes En déduire le rang et la signature de la forme quadratique associée à ? Exercice 4
Signature d'une forme quadratique Soit q une forme quadratique définie sur un espace euclidien E On note ? la forme bilinéaire symétrique associée `a q Théor
Soit q une fq réelle de dimension n on suppose que q est représenté par une matrice ( ) où et Alors la signature de q est et
Il s'agit ici de reconnaître la signature (modulo permutation) d'une forme quadratique à partir du cône isotrope qu'elle définit Théorème 2 1 3 [Théorème d'
La signature d'une forme quadratique q (ou d'une forme bilinéaire symétrique f ) est le couple d'entiers ( p s ) où p est le nombre de coefficients
Ainsi la forme quadratique de Lorentz q(x y z t) = x2+y2+z2?c2t2 est de signature (31) ou (+++?) sur R4 Une forme quadratique positive n'aura que 8
L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la
2 nov 2014 · On peut classer les coniques selon la signature de q En changeant éventuellement le signe des deux membres on peut supposer sign(q) est (20)
Rang et signature des formes quadratiques suivantes : 1 Q((xyz)) = 2x2 ?2y2 ?6z2 +3xy?4xz+7yz 2 Q((xyz)) = 3x2 +3y2 +3z2 ?2xy?2xz?2yz
Toute forme quadratique définie est positive ou négative Une forme quadratique est définie positive si sa signature est (n 0)
Quelle est la signature de la forme quadratique ?
La signature de la forme quadratique est le triplet (n 0 , n + , n ? ) , où n 0 est le nombre de 0 et n ± est le nombre de ?. La loi d'inertie de Sylvester montre qu'il s'agit d'une quantité bien définie attachée à la forme quadratique.Comment déterminer le signe d'une forme quadratique ?
La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.Comment montrer q Une application est une forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .- Indice : L'indice de la forme quadratique est égal au nombre de valeurs propres positives de la matrice de forme quadratique. Signature : L'indice de la forme quadratique est égal à la différence entre le nombre de valeurs propres positives et le nombre de valeurs propres négatives de la matrice de forme quadratique.
[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1