3) Sous-ensembles ou parties d’un ensemble fini a) Proposition 1 Si E est un ensemble fini de cardinal n ≥1et a un élément de E, alors E a\{} est un ensemble fini de cardinal (n −1) Démonstration : Si E est un ensemble fini de cardinal n ≥1, il existe une bijection f de 1, n sur E Si n =1,E a={} et f a(1)= E a\{}=∅ ensemble fini de
3) Sous-ensembles ou parties d’un ensemble fini a) Proposition 1 Si est un ensemble fini de cardinal et a un élément de E, alors Ea\ est un ensemble fini de cardinal n 1 Démonstration : Si est un ensemble fini de cardinal , il existe une bijection de sur Si n 1, Ea et fa 1 Ea\
Un tel entier est unique, il est appelé cardinal de l’ensemble E et est notée Card E Par convention le cardinal de l’ensemble vide est 0 Un ensemble E est fini si on est capable de compter ces éléments 2) Ensemble dénombrable Un ensemble est dit dénombrable s’il est en bijection avec Un ensemble E
11 3 2Nombre de parties Soit Eun ensemble ni de cardinal n L'ensemble des parties de Eest un ensemble ni de cardinal 2n: Card(P(E)) = 2Card(E): Propriété 11 6 (Nombre de parties d'un ensemble dans lui-même E) 11 3 3Propriétés des coe cients binomiaux - lien avec le dénombrement
On appelle permutation d’un ensemble E toute bijection de E sur E Si E est un ensemble fini non vide de cardinal n, alors l’ensemble des permutations de E est un ensemble fini de cardinaln 4) Combinaisons a) Définition Soit E un ensemble fini de cardinaln˛¥
a) Cardinal d’un ensemble fini Cardinal d’un ensemble fini Notations card(A), #A Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité Une application entre deux ensembles finis de même car-dinal est bijective, si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective
Étant donnés n et p dans N⁄ et un ensemble E de cardinal np, combien existe-t-il de partitions en sous-ensembles ayant tous le même cardinal p? 5 [Parties emboîtées ♪♪] (ind) Soit E un ensemble fini de cardinal n 2N 1 Déterminer le nombre de couples (A,B) de parties de E tels que A ‰B 2 Soit p 2N⁄
A- Cardinal d’un ensemble fini B- Parties d’un ensemble B1 : Ensemble des parties d’un ensemble : B2 : Complémentaire d’une partie d’un ensemble : B3 : Opérations sur les parties d’un ensemble : C : Produit cartésien : D : Application d’un ensemble dans un autre ensemble : D1 : Définitions et notations :
Exercice 178 Soit A un ensemble fini de cardinaln, et B une partie de A de cardinal p Dénombrer les parties X de A vérifiantB Ă X Ă A Exercice 179 Soit E un ensemble de cardinal n P N‹ 1 Déterminer le nombre d’applications surjectives de E dans E 2 Déterminer le nombre d’applications de E dans E qui ne sont pas surjectives 3
retrouve ainsi que un ensemble fini de cardinal n 2N⁄ admet 2n parties puisque le cardinal de l’ensemble des fonctions d’un ensemble A dans un ensemble B est ¡ card B ¢card A Qu’une partie stricte d’un ensemble X puisse être équipotente à X est un phénomène propore aux en-sembles X de cardinal fini § 2 Parties de N —
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Chapitre 3 : Cardinaux, factorielles et coefficients binomiaux
2 Cardinaux d’ensembles de parties Th´eor`eme 1 Si E est un ensemble qui poss`ede n ´el´ements alors, l’ensemble P(E) des parties de E contient 2n ´el´ements Preuve La d´emonstration se fait par r´ecurrence sur n = Card E Pour n = 0, E = ∅ et P(E) = {∅} est un singleton donc Card P(E) = 1 = 20 Supposons la proposition vraie pour n et consid´erons un ensem-Taille du fichier : 76KB
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Ensembles Fonctions Cardinaux
Exercice 7 Soit un ensemble E et deux parties A et B de E On désigne par A4B l'ensemble (A ∪ B) \ (A ∩ B) Dans les questions ci-après il ourrpa être ommocde d'utiliser la notion de fonction arcactéristique 1 Démontrer que A4B = (A\B)∪(B \A) 2 Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A4B)4C = A4(B4C) 3 Démontrer qu'il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E,Taille du fichier : 115KB
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Ensembles : définitions, dénombrement et construction
Comment d e nir un ensemble ? Fonctions et applications Cardinal d’un ensemble D e nition Le cardinal d’un ensemble ni E est son nombre d’ el ements Notations : jEjou Card(E) Exemple Le cardinal de l’ensemble frouge, bleu, vertgest 3 Calcul de cardinal Facile si ensemble enum er e Plus di cile sinon, par exemple : ensemble des mots binaires
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CHAPITRE V Langage de la théorie des ensembles
cardinal de l’ensemble Une relation permet de calculer le cardinal d’une réunion de parties d’un ensemble : le principe d’inclusion-exclusion Sa version à deux parties s’écrit et se démontre simplement : card(A ∪ B)=card(A)+card(B)−card(A ∩ B)
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Chapitre P1 - Ensembles - Applications - Dénombrements
4 Cardinal d'un ensemble ni 4 1 Dé nition Soit A un ensemble A est ni si il existe n 2N tel que A est en bijection avec [[1;n]] On note CardA = n, le cardinal est unique Remarques : Le cardinal d'un ensemble ni est son nombre d'éléments Card;= 0 Principe fondamental Pour que deux ensembles nis A et B aient le même cardinal,Taille du fichier : 117KB
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Ensembles et dénombrement - blparcfr
E5 Si m 6 n, alors l'ensemble Jm;nK est un ensemble ni de cardinal n m+1 2 1 2 Parties d'un ensemble Dé nition3 Soient E et F deux ensembles On dit que F est inclus dans E et on écrit F ˆE si tout élément de l'ensemble F est aussi un élément de l'ensemble E, i e F ˆE ()8x 2F; x 2E Lorsque F ˆE, on dit que F est une partie ou un sous-ensemble de E Exemples : E1 On a N ˆZ ˆQ ˆR E2 Lorsqu'on a un Taille du fichier : 276KB
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TD3 Cardinaux Échau ements Ensembles dénombrables ou pas
Quel cardinal? i SoitExercice 4 X un ensemble in ni On admet que CardX2 = CardX Montrer que CardXX = CardP(X) i Reconnaître dans la liste ci-après les ensembles dont le cardinal est égal à celui deExercice 5 N, ceux dont le cardinal avut celui de R, et ceux ayant même cardinal que l'ensemble des parties
Cardinaux d'ensembles de parties Théor`eme 1 Si E est un ensemble qui poss` ede n éléments alors, l'ensemble P(E) des parties de E contient 2n éléments
Ens Cardinaux
S'il existe une application bijection de {1, ,n} dans {1, ,k} alors n = k Cardinalité des ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini 4 / 23 Page 5
Slide Cardinalite
E 5 Si m ⩽ n, alors l'ensemble [m, n] est un ensemble fini de cardinal n − m + 1 2 1 2 Parties d'un ensemble Définition 3 Soient E et F deux ensembles On dit
fetch.php?media=mat :cours: hk denombrement
Différence Propriétés des opérations 3 Parties d'un ensemble 4 Produit Cartésien Couples Théorème Si E est fini de cardinal n alors card(P(E)) = 2n 24/34
ensemblediapo
3 1 Nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments Le cardinal de l'ensemble vide est 0 ou encore card(∅) = 0 Remarque Deux ensembles
denombrements
Complément : démonstration liée aux cardinaux d'ensembles a donc 2k +2k = 2k+1 sous-ensembles de E L'ensemble des parties de E a donc pour cardinal
chapitre
L'ensemble des parties de E est fini et de cardinal 2n Démonstration : Pour chaque élément de E, il y a deux possibilités : être ou ne pas être dans un sous-
CoeffBinom
2 oct 2007 · Tout partie majorée de N admet un plus grand Deux ensemble finis en bijection l'un avec l'autre ont même cardinal Démonstration En effet
entiers
L'ensemble de toutes les parties ( de tous les sous ensembles ) de Ω est noté P( Ω) b) Propriété 3 : Si Ω = n (n ∈ IN * ) alors
cours denombrement
Cardinaux d'ensembles de parties. Théor`eme 1. Si E est un ensemble qui poss`ede n éléments alors l'ensemble P(E) des parties de E contient 2n éléments.
LE PROBLÈME : énumérer toutes les parties d'un ensemble. 2. ALGORITHME : énumération récursive. 3. PREUVE : structure de preuve d'algorithme récursif.
E 5 Si m ? n alors l'ensemble [m
? est l' « ensemble vide » il ne contient aucun élément
seront des parties de ?. On note P(?) l'ensemble des parties de ?. Exemple. nombre de suites de longueur r constituées d'éléments de. A est nr.
L'ensemble des parties d'un ensemble E noté P(E) est formé de tous les ensembles inclus dans E. En Le cardinal d'un ensemble fini E se note Card E.
Dans ce chapitre. En guise d'ensembles on revisite ce qui concerne les ensembles dans le cadre restreint des parties d'un ensemble.
Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait
ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). l'appelle le cardinal ou le nombre d'éléments de E. On convient que ? est fini et de cardinal 0 ...
27 août 2018 Intuitivement le cardinal d'un ensemble correspond à sa taille. Pour un ensemble fini
Définition 2 Soient A et B deux ensembles On définit : - A ? B l'union de A et B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B ou dans les deux
Il existe une application bijective de E dans F si et seulement si Card(E) = Card(F) Cardinalité des ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini
Définition 1 3 – Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E L'ensemble {x x ? A et x ? B} est appelé l'intersection des ensembles A
Un ensemble est fini si son cardinal est un entier naturel i e s'il possède un nombre fini d'éléments Dans le cas contraire on dit qu'il est infini Page 2
En mathématiques l'ensemble des parties d'un ensemble parfois appelé ensemble puissance est l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné (y
? est l' « ensemble vide » il ne contient aucun élément on note : card(?) = ? = 0 ?2) PARTIES d'un ensemble fini •A) Partie ou sous ensemble a)
4 fév 2017 · Calcul du cardinal Propriété Soient E et F deux ensembles finis disjoints Leur réunion est un ensemble fini avec
On va dire comment écrire des ensembles en donnant des ensembles de base Voici la carte de visite du cardinal L'ensemble des parties d'un ensemble E
C'est une p-liste d'éléments de E distincts deux `a deux Proposition 15 Si E est un ensemble fini de cardinal n le nombre de parties de E est égal `a 2n
Le cardinal de la réunion de A et de B est la somme des cardinaux des parties A et B ? Exemple Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou
Comment déterminer le cardinal d'un ensemble ?
Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.Quel est le cardinal de l'ensemble des parties de E ?
Le cardinal d'un ensemble fini E désigne le nombre d'éléments de E. Ex : E={1,2,5,10}, card(E)=4.Comment déterminer l'ensemble des parties d'un ensemble ?
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.- Les cardinalités sont des couples de valeur que l'on trouve entre chaque entité et ses associations liées. Donc, pour une association de 2 entités, il y a 4 cardinalités à indiquer (2 de chaque côté). Il y a trois valeurs typiques : 0, 1 et N (plusieurs).
Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1