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S'il existe une application bijection de {1, ,n} dans {1, ,k} alors n = k Cardinalité des ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini 4 / 23 Page 5 

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E 5 Si m ⩽ n, alors l'ensemble [m, n] est un ensemble fini de cardinal n − m + 1 2 1 2 Parties d'un ensemble Définition 3 Soient E et F deux ensembles On dit 

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Différence Propriétés des opérations 3 Parties d'un ensemble 4 Produit Cartésien Couples Théorème Si E est fini de cardinal n alors card(P(E)) = 2n 24/34

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3 1 Nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments Le cardinal de l'ensemble vide est 0 ou encore card(∅) = 0 Remarque Deux ensembles 

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Complément : démonstration liée aux cardinaux d'ensembles a donc 2k +2k = 2k+1 sous-ensembles de E L'ensemble des parties de E a donc pour cardinal

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2 oct 2007 · Tout partie majorée de N admet un plus grand Deux ensemble finis en bijection l'un avec l'autre ont même cardinal Démonstration En effet 

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E=fu1;u2;:::;upg

u f1;2g;f2;1g;f1;1;2;2;2g

Card(E)

Jm;nK=fm;m+ 1;m+ 2;:::;n1;ng

?? ??m > n?Jm;nK=;? FE

FE() 8x2F; x2E

???? ?? NZQR

E=R; F=fx2E = x25x+ 4<0g

R ??; E ??EE?

E=F()EF??FE

??? ???A\A=A??A\ ;=; ??? ???A[A=A??A[ ;=A i2IA i? ?????? ??? ?x2? i2IA i() 9i2I = x2Ai? i2IA i? ?????? ??? ?x2? i2IA i2IA i=E ????8i;j2I;i6=j? ?? ?Ai\Aj=;?

Card(E[F) =Card(E) +Card(F)Card(E\F)

A? cE=; c;=E c(cA) =A ??(cA)\A=; ??(cA)[A=E c(A[B) = (cA)\(cB) c(A\B) = (cA)[(cB) E

1E2 En=f(x1;x2;:::;xn); x12E1; x22E2;:::;xn2Eng

Card(E1E2 En) =n?

k=1Card(Ek)

Card(En) = (Card(E))n

E??? ???? ?

A pn=n(n1)(n2)(np+ 1)= n!(np)! p? ????? p > n?? ??p <0?? ??n p? = 0 ???? ????? ?????n p? ?n p? ?? ???? ?? ??????? ??? ?Apn=p!?n p? p? n p? =?n np?? p? =?n np? p? =n!p!(np)!=n!(np)!(n(np))!=?n np? ??????n??p???? ??????? ???? ?????? ???1? ????? ?? n p? =np n1 p1?? ?n p? =n!p!(np)!=n(n1)!p(p1)!(n1(p1))!=np n1 p1? n p? =?n1 p? +?n1 ?n1 p1? +?n1 p? =(n1)!(p1)!(np)!+(n1)!p!(n1p)! (n1)!(p1)!(n1p)!?

1np+1p

(n1)!(p1)!(n1p)np(np) n!p!(np)! p? p1? p? n+m p? =p? k=0? n k?? m pk?? p? 0?? m p? 1?? m p1? p?? m 0? ?n+m p? =p? k=0? n k?? m pk?????? ??????? ?? ?????? ?? ?????? ??????a??b???? ??????? ????? ??n?? ??????? ?????(a+b)n=n? k=0? n k? a kbnk (a+b)n= (a+b)(a+b) (a+b) aa a???? ??k??? ?? ?????? ??????? ?????0??n? k? ????? ?? ? ????(a+b)n=n? k=0? n k? a kbnk? ?????? ???? ????n2N?P(n)? ?(a+b)n=n? k=0? n k? a kbnk? n= 0? ?????(a+b)0= 1 =0? k=0? 0 0? a

0b00? ????P(0)??? ??????

k=0? n+ 1 k? a kbn+1k (a+b)n+1= (a+b)(a+b)n??= (a+b)? n? k=0? n k? a kbnk? =n? k=0? n k? a k+1bnk+n? k=0? n k? a kbn+1k n+1? `=1 `=k+1? n `1? a `bn+1`+n? `=0? n a `bn+1` =an+1+bn+1+n? `=1?? n `1? +?n a `bn+1` =an+1+bn+1+n? `=1? n+ 1 a `bn+1`=n+1? `=1? n+ 1 a `bn+1` ?????? ??P(n)??? ?????? ?????P(n+ 1)??? ?????? ?????? k? ?????Card(P(E)) =n? k=0Card(Ek) =n? k=0? n k? =n? k=0? n k? 1 k1nk= (1 + 1)n= 2n?quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34