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¨ 1) CARDINAL d"un ensemble fini. ( effectif ) a) Définition 1 : Un ensemble W contenant n éléments où n Î IN est dit " fini ». On dit alors que " le cardinal de W est n » , on note card(W) = n ou encore ½W½= n . b) Exemples :

1 W est l"ensemble des lettres de l"alphabet : card(W) = ½W½ = 26.

2 W = IR ( ensemble des nombres réels ) : card(W) = card(IR) n"est pas un nombre entier,

on dit que IR n"est pas un ensemble fini. c) Remarque :

AE est l" " ensemble vide », il ne contient aucun élément, on note : card(AE) = ½AE½ = 0.

¨2) PARTIES d"un ensemble fini.

·A) Partie ou sous ensemble

a) Définition 2 :

Soient W et A deux ensembles non vides.

Si tout élément de A est aussi dans W on dit que " A est inclu dans W » On dit aussi que A est une partie de W ou un sous ensemble de W .

On note A Ì W ou A = {xÎW / x Î A} ( " ensemble des x de W tels que x soit dans A » )

W W A Ì W A Ë W A A b) Exemples : V est l"ensemble des voyelles, C des consonnes, L l"ensemble des lettres de l"alphabet : V Ì L , C Ì L , C Ë V , L Ë V

·B) COMPLEMENTAIRE

a) Définition 3 : Soient W et A deux ensembles non vides tels que A Ì W. Le sous ensemble de W constitué de tous les éléments de W qui ne sont pas dans A est appelé le " complémentaire de A dans W » et est noté ¾A ( " A-barre » ) b) Propriété 1: c) Exemple : V est l"ensemble des voyelles, C l"ensemble des consonnes, L l"ensemble des lettres.

On a `V = C , `C = V , ½`V½ +½V½ = 26 ; ½`V½= 26 - ½V½ = 26 - 6 = 20.

½A½+ ½¾A½ = ½W½ ou ½¾A½ = ½W½ - ½A½

DENOMBREMENT

W A ¾A W

A A Ç B B

·C) INTERSECTION :

a) Définition 4 : Soient W non vide , A et B deux sous ensembles non vides de W. Le sous ensemble de W constitué de tous les éléments de W qui sont dans A et B est appelé " l"intersection de A et B et est noté A ÇÇÇÇ B ( " a- inter-b » ) On a A Ç B = {xÎW / x Î A et x Î B}

A Ç B = AE A Ç B ¹ AE

b) Remarque : Si A Ç B = AE , A et B sont dits DISJOINTS sinon A et B sont dits SECANTS. c) Exemples : .V est l"ensemble des voyelles, C l"ensemble des consonnes : V Ç C = AE . A = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} , B = {2 ,4 ,6 ,8 } : A Ç B = {2,4}

·D) REUNION :

a) Définition 5 : Soient W non vide , A et B deux sous ensembles non vides de W. Le sous ensemble de W constitué de tous les éléments de W qui sont dans au moins un des

ensembles A et B est appelé " la réunion de A et B et est noté A È B ( " A- union-B » )

On a A È B = {x Î W / x Î A ou x Î B}

A B

A B b) Propriété 2 : Quels que soient A et B : ½A È B½ = ½A½+ ½B½ - ½A Ç B½ ( admis ) en particulier : Si A Ç B = AE alors ½A È B½ = ½A½+ ½B½ c) Exemple :

A = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} , B = {2 ,4 ,6 ,8 } : A È B = {1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 8}:½A È B ½ = 5 + 4 - 2 = 7.

·E) Ensemble de TOUTES LES PARTIES d"un ensemble : a) Définition 6 :

Soit W un ensemble fini non vide.

L"ensemble de toutes les parties ( de tous les sous ensembles ) de W est noté P(W).

b) Propriété 3 : Si ½W½= n (n Î IN * ) alors ½½½½P(WWWW)½½½½ = 2n ( admis )

Si un ensemble a n éléments alors il a 2n parties possibles c) Exemple : .W = {a , b , c} : P(W) = {{a} , {b} , {c} , {a ,b} , {a ,c} , {b , c} , {a , b , c} , AE } . ½ W ½= n = 3 , ½ P(W) ½ = 23 = 8.

A B

A È B A È B

¨3) PRODUIT CARTESIEN d"ensembles

a) Définition 7 :

Soient A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A par B est l"ensemble constitué des couples (a , b) tels que

a ÎA et bÎB. On note A ´ B = {(a , b) / a ÎA et b ÎB} ( A ´ B se lit " A - croix - B »)

b) Propriété 4 : ½½½½A ´´´´ B½½½½= ½½½½A½½½½´´´´ ½½½½ B½½½½ ( admis : utiliser un arbre de dénombrement )

c) Exemple : A = {1 , 2} , B = {a , b , c} : A ´ B = {(1 , a) , (1 , b) , (1 , c) , (2 , a) , (2 , b) , ( 2 , c) }

½A ´ B½= 2´3 = 6.

d) Propriété 5 : Plus généralement on a pour n ensembles non vides A1 , ..., An :

A1 ´ ... ´ An = { ( a1, ...,an) / a1 Î A1 , ..., an Î An } et ½A1 ´ ... ´ An ½= ½A1½ ´ ... ´ ½An ½

¨4) Nombre de PERMUTATIONS d"un ensemble.

a) Définition 8 : Soit W un ensemble non vide de n éléments ( n ¹ 0 ) : W = { a1, ...,an }. Une permutation de W est une des suites ordonnées des n éléments de W ( " un n-uplet » ) Par exemple : ( a1, ...,an ) , ( an , ... , a1 ) , ... ect ... sont des permutations de W. ( c"est une des façons de ranger les n éléments les uns à la suite des autres ) b) Propriété 6 :

Si ½W½= n (n Î IN * ) alors il y a n ! = n ´´´´ (n - 1) ´´´´ (n - 2) ´´´´...´´´´ 2 ´´´´ 1 permutations .

( admis : utiliser un arbre de dénombrement ) c) Remarque : n ! se lit " factoriel n » et par définition 0 ! = 1 d) Exemple : W = {a , b , c}, l"ensemble des permutations de W est : { ( a , b , c) , ( a , c , b) , ( b , a , c) , ( b , c , a) , ( c , a , b) , ( c , b , a) }

Il y a 3! = 3 ´ 2 ´ 1 = 6 permutations.

¨5) Nombre d"ARRANGEMENTS ou de p-LISTE d"un ensemble a) Définition 9 : Soit W un ensemble non vide de n éléments ( n ¹ 0 ) : W = { a

1, ...,an } et un entier p : 0 £ p £ n .

Une p-liste de W est une des suites ordonnées de p éléments de WWWW ( " un p-uplet » )

Exemples :( a1, ...,ap ) , ( ap , ... , a1 ) , ... ect ... sont des p-listes ou arrangements d"ordre p de W.

( ce sont les façons de choisir et ranger p éléments parmi les n, les uns à la suite des autres )

b) Propriété 7 : Si ½W½= n (n Î IN * ) et 0 ££££ p ££££ n. alors il y a Ap

n = n ´´´´ (n - 1) ´´´´ (n - 2) ´´´´...´´´´ (n - p + 1 ) " p- liste » . ( Ap

n se lit " a - n - p » ) c) Remarque : En utilisant la notation " factorielle » on a : Ap n = n! ( n - p )! d) Exemple : W = {a , b , c} l"ensemble de 2-listes de W ( ou arrangements d"ordre 2 ) est : {( a , b ) , ( a , c ) , ( b , a ) , ( c , a) , ( c , b) , ( b , c) }

Il y a : A

3 = 3 ´ 2 = 6 " 2-listes » ou encore A2

3 = 3 !

(3 - 2)! = 3 !

1 ! = 6

¨ 6) Nombre de P-COMBINAISONS d"un ensemble ( sous ensembles à p éléments ) a) Définition 10 :

Soit W un ensemble non vide de n éléments ( n ¹ 0 ) : W = { a1, ...,an } et un entier p : 0 £ p £ n .

Une p-combinaison de W est un des sous ensemble à p éléments non ordonnés de WWWW . Exemple : { a1 ,..., ap }, {a n-p+1 ,..., an}...ect... sont des combinaisons d"ordre p de W. ( ce sont les façons de choisir p éléments parmi n éléments ) b) Propriété 8 : Si ½W½= n (n Î IN * ) et 0 £ p £ n alors il y a Cp

n = n ´´´´ (n - 1) ´´´´ (n - 2) ´´´´...´´´´ (n - p + 1 )

p ´´´´ (p - 1)´´´´ ... ´´´´ 2 ´´´´ 1 p-combinaisons . ( Cp n se lit " c-n- p » ) ( admis : utiliser un arbre de dénombrement ainsi que le nombre de permutations ) c) Remarque : En utilisant la notation " factorielle » on a Cp n = n! ( n - p )! p! d) Exemple : W = {a , b , c , d , e}, l"ensemble des combinaisons d"ordre 2 de W est :

{ {a , b} , { a , c } , { a , d } , {a , e }, {b , c}, {b , d }, {b , e }, {c , d}, {c , e }, {d, e}}

Il y a : C

5 = 5 ´ 4

2 ´ 1 = 10 "combinaisons d"ordre 2 » ou C2

5 = 5!

(5 - 2)! 2! = 5!

3! 2! = 120

6 ´ 2 = 10 .

e) Propriété 9 : Quels que soient les entiers naturels 0 £ p £ n on a : C0 n = 1 Cn n = 1 Cp n = Cn - p n Cp + 1n + 1 = Cp n + Cp + 1 n ( 0 < p < n ) Cp n = A p n p ! Cp n £ Ap n ( se démontre à partir de la propriété précédente du b) ) ¨7) Tirage dans une urne avec ou sans remise, avec ou sans ordre . a) Propriété 10 :

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On choisit au hasard une des boules puis on la

remet ( ou pas) puis on recommence cette même opération p fois au total ( 0 < p £ n ). Il s"agit de dénombrer l"ensemble des cas possibles selon que l"on remette la boule ou pas et selon que l"on tienne compte de l"ordre ou non pour la sortie des numéros.

On a le résultat suivant : ( admis)

(*) 000½00½½½½½0 ( la " 1 » est tombée 3 fois, la " 2 » 2fois , les suivantes 0 fois et la dernière

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