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1 Le calcul variationnel

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Chapitre 1 : Calcul des variations

Chapitre 1 : Calcul des variations Pierre Pansu 12 juillet 2005 On pr´esente les ´equations d’Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des pro-bl`emes variationnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d’E Noether fournissant pour chaque sym´etrie infinit´esimale du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations


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Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques C’est Euler, qui, au vu des travaux de Lagrange, a donné son nom à ce sujet des mathématiques En fait le sujet est beaucoup plus ancien Il commence avec un des plus vieux problèmes des mathématiques : l’inégalité isopérimétrique Une variante de cette inégalité est connue comme le problème de Didon


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Chapitre 1 : Calcul des variations Pierre Pansu 12 juillet 2005 On pr´esente les ´equations d’Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des pro-bl`emes variationnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d’E Noether fournissant pour chaque sym´etrie infinit´esimale du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations Ensuite, on relie les ´equations d’Euler-Lagrange aux


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MAT 638 : Calcul Variationnel Professeur: Fr ed eric Palesi Examen intra Mardi 15 f evrier 2011, 10h30-12h20 Instructions Aucun document n’est autoris e Les r eponses doivent ^etre justi ees et il sera tenu compte dans la correction de la r edaction et de la pr esentation des preuves Les questions marqu ees (***) sont plus di ciles que les autres et sont hors-bar^eme N’h esitez pas a


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Exemple standard du calcul variationnel/equation d’Euler-Lagrange Exercice 8 Tir e du livre de H Goldstein : Classical mecaniics (Chap II); ds= p 1 + ’0(t)2dt;aire= Z 2ˇ 0 2ˇt p 1 + ’0(t)2dt; donc L(t;x;y;x0;y0) = 2ˇt p 1 + y0(t)2; Euler/Lagrange implique ty0 p 1 + y02 = constante= ; et en n y(t) = arccosh(t ) + , ou les constantes ; dependent de P et Q 2 Created Date: 11/25/2010


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