Soient aet bdeux réels non nuls Unesuite récurrente linéaire d'ordre 2 à coe cients constants aet b(ou suite récurrente double) est une suite réelle (u n) n2N qui véri e pour tout entier naturel nla relation de récurrence u n+2 = au n+1 + bu n: Une telle suite est déterminée par les réels aet bet les termes initiaux u 0 et u 1 Dé
D’ORDRE 2 1 Définition Soit (a;b) un couple de R×R∗ Une suite uest récurrente linéaire d’ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ∀n∈N;u n+2 = au n+1 +bu n (E) Exemple: suite de Fibonacci (cf cours) 2 Quelques propriétés Etant donné un couple (a;b) de R ×R∗, notons U l’ensemble des suites
cer la représentation graphique d’une suite récurrente pour toute fonction fcontinue sur un intervalle I Exemple 2 2 On considère la suite (u
est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 s’il existe deux complexes a et b b 0 tels que : n p ,u a u b un n 2 1 n Détermination d’une formule explicite : On appelle équation caractéristique de la suite un récurrente linéaire d’ordre 2 l’équation x ax b2 0
Exercice5 :Soit la suite récurrente définie par : 2 cos n n u n Montrer que est bornée Solutions :Soit n on a d d1 cos 1n et d d1 sin 1n donc : 1 2 cos 3d dn et d d1 sin 1n donc : et 2 3 sin 4d dn donc : et 11 1 42 3 sin n dd donc : 1 3 42 3 sin n dd cad : 1 3 42 ddu n donc : est bornée Exercice6 :Soit la suite récurrente définie par : 1
SUITESRECURRENTESLINEAIRES D’ORDRE2 1 Définition Soit(a,b)uncoupledeR×R∗ Unesuiteuest récurrente linéaire d’ordre 2
vers s’appelle suite numérique Donc: u : I n u n on note simplement la suite par n nI u 02 Exemples : (w 2n) n n 0 n 1 v ; n 2 n1 u n 3 n ; n n n 2 n 1 n 01 u 2u u ; n 0 u 3 ; u 4 Pour la dernière suite pour calculer u i2 il faut calculer u et u i i 1 ; la suite u n est appelée suite récurrente d’ordre 2
Exercice 1 — Il s’agit d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 La résolution de l’équation caractéristique per-met d’exprimer u nen fonction de deux constantes A;B2R On détermine Aet Bà l’aide des valeurs de u10 et u20 On peut alors calculer u0 et u1 Réponses : u0 =
Le calcul exact des différents termes d'une suite récurrente est possible en définissant cette suite dans l'écran de calcul à l'aide de la fonction when when(n=0,10,u(n-1)/2+1) u(n) u(5) u(10) u(20) Voir également page Error Bookmark not defined Calcul sous forme rationnelle
ECE2-B 2017-2018 Exercice 4 (˝˝)(d’après EDHEC 2008)Pourtoutentiernatureln nonnul,onconsidèref n: x 7 1 1+ex + nx On appelle(C n
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Suites récurrentes d’ordre 1
>Suites récurrentes d’ordre 1
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SUITESRECURRENTESLINEAIRES D’ORDRE2
Unesuiteuest récurrente linéaire d’ordre 2 siellesatisfaitàlarelationderécurrencesuivante: ∀n∈N,u n+2 = au n+1 + bu n (E) Exemple:suitedeFibonacci(cf cours) 2 Quelquespropriétés Taille du fichier : 122KB
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SUITES RECURRENTES LINEAIRES D’ORDRE 2
D’ORDRE 2 1 Définition Soit (a;b) un couple de R×R∗ Une suite uest récurrente linéaire d’ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ∀n∈N;u n+2 = au n+1 +bu n (E) Exemple: suite de Fibonacci (cf cours) 2 Quelques propriétés Etant donné un couple (a;b) de R ×R∗, notons U l’ensemble des suites uvérifiant la
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Suites r ecurrentes lin eaires d’ordre 2
Suites r ecurrentes lin eaires d’ordre 2 Chapitre 10 Soient (a;b) 2C C et (u n) n2N une suite d e nie par (u 0;u 1) 2C2 et : 8n2N;u n+2 = au n+1 + bu n: L’ equation r2 ar b= 0 est appel ee equation caract eristique Si l’ equation caract eristique admet deux solutions distinctes r 1 et r 2, alors : Taille du fichier : 136KB
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Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients
Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Page 2 G COSTANTINI Cas des suites linéaires du second ordre à coefficients constants avec "second membre constant" Il s'agit des suites (un) définie par u0, u1 ∈ puis par la relation de récurrence : un+2 = a un+1 + b un + c ∀n ∈ avec c ≠ 0 Posons, pour tout n ∈ :
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Exemples de suites - Mathématiques en ECS1
1 Reconnaitre une suite récurrente linéaire double et le préciser sur la copie On écrit : Soit la suite currérente linéaire d'ordre 2 (u n) n2N, dé nie arp la elationr de currérence u n+2 = au n+1 + bu n; avec a= :::, b= :::et les termes initiaux u 0 = :::et u 1 = ::: 2 Pour déterminer l'expression du terme général de la suite (u n) n2N en fonction de n:
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Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 Soit a et b deux réels On considère une suite u n définie par ses deux premiers termes u 0 et u 1 ainsi que par la relation de récurrence u n 2 au n 1 bu n Il s’agit d’une suite linéaire récurrente d’ordre 2 Notre objectif est de
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Matrices Suites recurrentes cas general
Partie I : Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 On considère une suite réelle (x n) n∈N pour laquelle il existe des réels a1 et a0 vérifiant a0 6= 0 et la propriété suivante : ∀n ∈ N, x n+2 +a1x n+1 +a0x n =0 On propose dans cette partie d’étudier cette suite récurrente linéaire d’ordre 2 à l’aide du calcul
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LEÇON NO Suites définies par récurrence Applications
cer la représentation graphique d’une suite récurrente pour toute fonction fcontinue sur un intervalle I Exemple 2 2 On considère la suite (u n) définie par récurrence de la manière suivante : (u 0 = 6 10 u n+1 = u2n La suite (u n) est de la forme u n+1 = f(u n) avec f: x7x2 que l’on peut définir sur l’intervalle I= [0;1] On se place dans le plan munit d’un repère orthonormé (O;# {;# )
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DM de Mathématiques, Suites récurrentes linéaires - Correction
On s'intéresse à la suite récurrente linéaire dé nie par : u 0 = 1 u 1 = 1 u n+2 = 2u n+1 −2u n 1- On montre par récurrence que chaque terme de la suite (u n) n∈N est un entier Notre hypothèse de récurrence est : H n: le n ième terme u n de la suite est un entier relatif On véri e que H 0 et H 1 sont vraies : u 0 = 1 et u 1 = 1 sont bien des entiers relatifs Supposons à
Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Chapitre 10 Soient (a, b) ∈ C × C∗ et (un )n∈N une suite définie par (u0,u1) ∈ C2 et : ∀n ∈ N,un+2 = aun+1 + bun
PCSI complement
où f est une fonction définie sur un intervalle I Bien que les exercices seront souvent détaillés et qu'aucune connaissance théorique sur ces suites n'est exigée
ECS Complement
Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun (E) Exemple : suite de Fibonacci
Suite rec
On dit qu'une suite (un)n∈N est une suite récurrente linéaire à coefficients constants d'ordre p ∈ N ∗ s'il existe des réels a1, ,ap,b et une fonction f tels que
L ECO M CM C
2 2 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre 35 2 3 Étude complète d'une relation de récurrence linéaire à
L ECO CoursComplet
u 2) Suites récurrentes non linéaires d'ordre 1 théorème du point fixe 1 Soit E une partie fermée
suiterec
suites récurrentes linéaires d'ordre 2 avec second membre Clémentine Laurens Problème Exhiber une solution particulière pour une suite récurrente linéaire
Recherche d une solution particuli C A re pour certaines suites r C A currentes lin C A aires d ordre avec second membre m C A thode
Devoir : Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Ce devoir est facultatif, Montrer que la suite (an + bn)n∈N vérifie encore cette relation Montrer que pour tout
DMSuites corr
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rappels suites
Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme un+1 = aug + b où a linéaire à deux termes (ordre 2) est la célèbre suite de Fibonacci définie pour a
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Chapitre 1 - Suites récurrentes d'ordre un. 21. 1.1 Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et second membre constant 21.
I Suites récurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = aun + b La suite (zn)n définie par zn+1 = azn + b pour tout n ? N est alors constante égale `a z0.
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1. Rappel : Suites récurrentes. 1. Les suites récurrentes linéaires du 1er ordre à coefficients constants. 1.1. Définitions. Ce sont les suites u définies
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Propriété 1 ( Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (Cas complexe)). Remarque. L'hypoth`ese b = 0 assure qu'il s'agit bien d'une relation de récurrence
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I Suites récurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = aun + b Ces suites sont parfois qualifiées de suites arithmético-géométriques La terminologie est mal-
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Etude pratique des suites récurrentes
1Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)2Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l . 3Etape 3 : Déterminer un intervalle I stable par f sur lequel f est monotone, et tel que u0?I u 0 ? I .Qu'est-ce qu'une suite récurrente d'ordre 2 ?
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.- Une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ?n ? N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ?= 0.
C1. Suites récurrentes dordre 1 ou Équations aux différences finies