l’image reciproque du compl´ ementaire d’une partie´ A dans Y est egale au compl´ ementaire dans´ X de l’image reciproque de´ A, i e f 1(Y A)=X f 1(A): Ce qui termine la demonstration ´ 1 1 4 Stabilites de la continuit´ e´ La composee d’applications continues est aussi une applica-´ tion continue: si f : XY est continue au
Déterminer l’image de R par la fonction f: x7xex SF 9 : Déterminer l’image d’une partie – cas d’une fonction de R dans R Exemple 2 — On considère l’application f: z7expzde C dans C Déterminer f(iR) Exemple 3 — On considère l’application f: z7z2 de C dans C et on note la droite d’équation y= x
B L’image directe d’une partie A de l’ensemble de départ - L’image réciproque d’une partie B de l’ensemble d’arrivé a Activité : on considère l’ applications suivante: 1 déterminer la partie B de F tel que ses éléments sont : 2 déterminer la partie C de E tel que ses éléments les images des éléments de A
• L’image par f d’un sous-espace affine de ε est un sous-espace affine de ε’' • L’image réciproque d’un sous-espace affine de ε’ est un sous-espace affine de ε • Soient f : ε → ε’et g : ε’ → ε’’ des applications affines de parties linéaires respectives ϕ, ψ
• L’image directe d’un singleton f (fxg) = f (x) est un singleton Par contre l’image réciproque d’un singleton f 1 fyg dépend de f Cela peut être un singleton, un ensemble à plusieurs éléments; mais cela peut-être E tout entier (si f est une fonction constante) ou même l’ensemble vide (si aucune image par f ne vaut y) 2 3
Déterminer l’image par la fonction tangente des ensembles suivants : h 0, π 4 h et π 3 +πZ ˙ Je sais écrire avec des quantificateurs la définition de l’image réciproque f ←(B)/f −1(B)d’une partie B par une application f et me représenter cette définition sur des figures 2
élément par l’élément de qui est solution de l’équation ( ) = s’appelle la bijection réciproque de la bijection et se note f 1 bijection de dans ; sa bijection réciproque on a : f y x1 f x y yF xE °° ®® ¯ °¯ 6) L’image directe et l’image réciproque d’un ensemble par une application
Pour calculer l’image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l’image d’une r eunion : Proposition L’image par une fonction quelconque f de la r eunion I [J de deux intervalles est la r eunion f(I) [f(J) des images des deux intervalles Exemple Soit f la fonction carr e On a
EF D'après le corollaire 1 8, l'image d'une base de Eest une base de F En particulier, E et Fadmettent des bases ayant le même nombre d'éléments Ils ont donc même dimension Réciproquement, supposons que Eet Font même dimension, disons n Considérons (e i) 16i6n une base de Eet (f i)
L’image d’une application linéaire f :E → F est l’ensemble Im(f)={y ∈ F ∃x ∈ E,f(x)=y} Remarque 3 Les lettres Ker sont les premières du mot allemand Kernel qui signifie, comme vous auriez pu le deviner, noyau Proposition 3 Si f :E → F est une application linéaire, alors l’image d’un sous-espace vectoriel
Integr2 - lpma-parisfr
f est continue l'image réciproque d'un ouvert de F est un ouvert de E (5) Supposons d'abord f continue Rappelons que cela signifie la chose suivante, en notant — (resp y— y' q) la distance euclidienne de à dans E (resp de y à y' dans F): e E, VS > O, 30>0, Soit B un ouvert de F et 14 un E > 0 tel que la boule de associe a et E comme dans Y/ avec IT —x d < q, on a = f —l (B
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Continuit e et compacit e
(ii) L’image r eciproque par f d’un ouvert de (Y;d0) est un ouvert de (X;d) (iii) L’image r eciproque par f d’un ferm e de (Y; d0) est un ferm e de (X;d) Cours 2 : continuit e et compacit e Bertrand R emy 3 / 38 Caract erisation topologique de la continuit e (preuve) Preuve Supposons que f est continue sur X et donnons-nous un ouvert U de Y Soit x 2f 1(U) Par d e nition, y = f(x
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MAT311, Cours 2 : Continuite et compacit´ e´ 114
de Y est un ouvert de X Pour tout x2 et pour tout e>0, l’image reciproque de´ B Y (f x);e par f est un ouvert de X qui contient , donc il existe d>0 tel que B X(x;d)ˆf 1(B Y(f(x);e)): Autrement dit, l’image de B X(x;d) par f est incluse dans B Y(f(x);e), ce qui demontre la continuit´e de f au point x 1 1 3 Caracterisation topologique
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Corrigé de la feuille d’exercices no5
F est ouvert car c’est l’image réciproque de l’intervalle ouvert ] 1 ;4[ par la fonction continue f: R2 R définie parf(x;y) = x2 + y2 F n’est pas fermé, car la suite (un) définie parun = (2 1 n;0) est une suite d’éléments de D qui converge vers (2;0) qui n’est pas élément de F 1 Exercice 2 Soit E un espace vectoriel normé et A, B deux parties de E On suppose que
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1 TOPOLOGIE Résumé du cours d’analyse de maths spé MP
l’intersection d’un ouvert de E avec D f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout fermé de (E′,N′) est un fermé de D, c’est-à-dire l’intersection d’un fermé de E avec D Théorème (image continue d’un compact) f est une application d’une partie D d’un evn (E,N) dans un evn (E′,N′) Si f
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Résumé du cours d’analyse de Sup et Spé 1 Topologie
l’intersection d’un ouvert de E avec D f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout fermé de (E′,N′) est un fermé de D, c’est-à-dire l’intersection d’un fermé de E avec D Théorème (image continue d’un compact) f va d’une partie D d’un evn (E,N)dans un evn (E′,N′) Si f est continue sur D
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Image d’un intervalle par une fonction continue
0 si et seulement si sa restriction a un intervalle ouvert contenant x 0 est continue en ce point Ici nous allons ´etudier l’image d’un intervalle par une fonction continue et montrer que la continuit´e poss`ede aussi des propri´et´es globales 1 Les intervalles de R Posons R = R∪{−∞,+∞} et prolongeons l’ordre de R a R par : ∀x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞ Muni de cet
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Cours Maillage 2D, surfacique et 3D
Un maillage simplexial T d,h d’un ouvert polygonal O h de IRd est un en-semble de d −simplex Kk de IRd pour k = 1,N t (triangle si d = 2 et té-traèdre si d = 3), tel que l’intersection de deux d-simplex distincts Ki,Kj de T d,h soit : – l’ensemble vide, – ou p-simplex commun à K et K0 avec p ≤d Le maillage T d,h couvre l Author : Pascal Frey, Frédéric Hecht
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Montrer que, si f est propre, alors l’image par f de tout fermé de Rn est un fermé 2 Établir l’équivalence suivante : l’application f est propre si et seulement si elle a la propriété : kf(x)k¥ quand kxk¥: Indication H Correction H [002377] Exercice 9 Soit E = ff : [0;1] R continueg On munit E de la métrique d ¥(f;g) = sup t2[0;1] jf(t) g(t)j Montrer que la boule unité Taille du fichier : 185KB
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Image des intervalles - unicefr
L’image d’une intersection n’est en g en eral pas l’intersection des images Exo 3 Calculez sin([0;2ˇ] \[ˇ;3ˇ]) et sin([0;2ˇ]) \sin([ˇ;3ˇ]) Les bornes des fonctions continues Th eor eme L’image par une fonction continue d’un intervalle ferm e born e est aussi un intervalle ferm e born e Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de d e nition, une fonction
3 mai 2017 · (i) L'application f est continue sur X (ii) L'image réciproque par f d'un ouvert de (Y ,d ) est un ouvert de (X,d) (iii) L'image réciproque par f d'un
MAT SlidesAmphi ContinuiteEtCompacite Re CC sume CC
(i) L'application f est continue sur X (ii) L'image réciproque par f d'un ouvert de (Y ,d ) est un ouvert de (X,d)
MAT SlidesAmphi ContinuiteEtCompacite Video
(2) L'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E L'image ( directe) d'un ouvert par une application continue n'est pas forcé- ment un ouvert
chap
f est continue: pour tout ouvert U ⊆ Y , l'image réciproque f−1(U) est un ouvert de X Rappel Soit (X, τ) un espace topologique et x ∈ X Une base de voisinages
TD Continuite
2 si V ⊂ Rq est un ouvert, alors f−1(V ) est un ouvert de Rp étant un ensemble ouvert, son image inverse f−1(B(f(a),ϵ)) est un ouvert de Rp Par conséquent,
caraccont
29 sept 2020 · La notion des ouverts est lié `a la continuité: f est continu ssi les images réciproques de tous les ouverts sont ouverts Ainsi, {x : sin(x) < 1/2}
anti seche topo
Théor`eme 2 2 3 (Caractésation d'une application continue) Une appli- cation f : ( E, U) → (F, W) est continue en tout point de E ssi l'image réciproque d'un ouvert
M Chap
Exercice 4 Une application de X dans Y est dite ouverte si l'image de tout ouvert comme image réciproque par une application continue de l'intervalle ouvert
selcor
On a équivalence entre : (i) f est continue sur X. (ii) L'image réciproque par f d'un ouvert de (
3 mai 2017 (i) L'application f est continue sur X. (ii) L'image réciproque par f d'un ouvert de (Yd ) est un ouvert de (X
(U). Par conséquent f ?1(U) est un ouvert de X. Inversement
(i) L'application f est continue sur X. (ii) L'image réciproque par f d'un ouvert de (Yd ) est un ouvert de (
(2) L'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E L'image (directe) d'un ouvert par une application continue n'est pas forcé-.
(2) Si U et V sont deux sous-ensembles ouverts de X U ? V l'est aussi. (b) L'image réciproque de tout ouvert de Y est un sous-ensemble ouvert de X.
La notion des ouverts est lié `a la continuité: f est continu ssi les images réciproques de tous les ouverts sont ouverts.
L'intervalle [x b] est alors recouvert par un nombre fini d'ouverts (ii) L'image réciproque de tout ouvert de E par f est un ouvert de E.
un ouvert de Y ; fermée si l'image de tout fermé de X est un fermé de Y . comme image réciproque par une application continue de l'intervalle ouvert.
L'image réciproque d'un ouvert de F est un ouvert de E. Il suffit d'appliquer le lemme avec B(F) = ?(OF ). Corollaire. Soient (EA ) un espace mesurable et
Par conséquent f?1(U) est un ouvert de X Inversement supposons que l'image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X Pour tout x ? X et pour
Réciproquement on suppose que l'image réciproque de tout sous-ensemble ouvert de Y par f est un sous-ensemble ouvert de X Pour tout x ? X et tout voisinage V
Inversement supposons que l'image réciproque de tout ouvert de Y est un ouvert de X Pour tout x ? X et pour tout ? > 0 l'image réciproque de BY (f (x)?)
La notion des ouverts est lié `a la continuité: f est continu ssi les images réciproques de tous les ouverts sont ouverts
(1) f est continue (2) L'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E (3) L'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E
un ouvert de Y ; fermée si l'image de tout fermé de X est un fermé de Y comme image réciproque par une application continue de l'intervalle ouvert
d'ouverts C) On montre que X est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue D) On montre que son complémentaire est fermé
30 mar 2020 · Pour f : (x y) ?? x2 ? y2 continue on a {(x y) ? R2; x2 > y2} = f?1(]0 +?[) est ouvert comme image réciproque d'un ouvert par une
Donc U ? V = ? et X est Hausdorff Exemple 8 On revient à l'exemple de la topologie chaotique X avec T = {?X} Le seul ouvert qui
La topologie c'est-à-dire l'ensemble des ouverts est alors l'ensemble des complémentaires continue : l'image réciproque de l'ouvert ]1/2 3/2[ est R
:
Continuité