Soient E et F deux ensembles, et f: E → F une application 1) Soit A ⊂ E Montrer que, si fest injective, alors fA: A → f(A) est bijective 2) Soit B ⊂ F Montrer que, si fest injective, alors en posant A = f−1(B), la restriction fA: A → B est bijective mardi novembre — Walter Appel Divers/ensembleexo tex
repère Soient A 3;2 et B 4;1 Et soit ???? = ???????? {( , 1); ( , -5)} Solution : on a 4: 5 5 4 AB G AB G xx x yy y °° ® ° °¯ donc 17 4 3 4 G G °° ® ° °¯ Donc : 17 3; 44 G §· ¨¸ ©¹ Exercice1 : soit ABC un triangle et soit : I = ???????? {(B, 4); (C, -3)} Déterminer les coordonnées du point dans le repère R A AB AC
Exercice 21 Soient A →−f B →g C →h D Montrer que si g f et h g sont bijectives alors f,g et h le sont également Exercice 22 Soit X un ensemble Si A ⊂ X on note χ A la fonction caractéristique associée Montrer que Φ : (P(X) → F(X,{0,1}) A 7→χ A est bijective Exercice 23 Soit E un ensemble non vide
Soient A et B deux parties ilon vides de W Montrer que : 1") Si A et B sont majorées, A u B est majorée et sup (AuB) = sup (supA, supB) 2") Si A et B sont minorée, A v B est minorées et inf (AuB) = inf (infA, infB) Solution 1") A et B sont des parties non vides majorées de R, soit a = sup A et p = sup B Soit M = sup (a, p)
Proposition 1 6 Soient Gun groupe et Aune partie de G Alors il existe un plus petit sous-groupe H de Gcontenant A On l’appelle sous-groupe engendr e par Aet on le note hAi 3Attention en g en eral une r eunion de sous-groupes n’est pas un sous-groupe; cela marche ici parce qu’un el emen t x qui v eri e mx = 0 ou nx = 0 v eri e (mn)x = 0 4
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Exercice 10 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[ On pose U = X −Y et V = X +Y
tous les secrets commerciaux que pourrait contenir ce document, qu’ils soient ou non protégés par des brevets ou des demandes de brevet Sans que soit limitée la portée générale du paragraphe, l’utilisation, la modification, la copie ou la divulgation non autorisée de ce document pourrait contrevenir aux lois
Soit P un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à 2 1 Montrer que si P n’a que des racines simples et réelles, il en est de même de P 0 2 Montrer que si P est scindé sur R, il en est de même de P 0
Quoique ce ne soit pas fréquent, certains trouvent l’emploi idéal tout en ne faisant pas grand-chose Mais pour la majorité des jeunes, quelque enthousiastes qu’ils soient, la partie n’est pas gagnée d’avance Même en travaillant d’arrache-pied2, il leur faudra quelque temps avant d’atteindre leur but3
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Feuille 2 : ensembles-Applications
1 Soient ={1,2,3} et ={0,1,2,3} Décrire les ensembles ∩ , ∪ 2 Soient =[1,3] et =[2,4] Déterminer ∩ et ∪ 3 Soient =]−∞,3], =]−2,7] et =]−5,+∞[ trois parties de ℝ Déterminer ∩ , ∪ , ∩ , ∪ Indication exercice 1 Correction exercice 1 Exercice 2 Soient et deux ensembles Montrer l’équivalence
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Ensembles Fonctions Cardinaux
Exercice 12 Soient A,B ⊂ E Résoudre les équations à l'inconnue X ⊂ E 1 A∪X = B 2 A∩X = B Exercice 13 Soit E et F des ensembles Si A ⊂ E et B ⊂ F montrer que A×B ⊂ E ×F Exercice 14 Soient E,F,G trois ensembles Montrer que (E ×G)∪(F ×G) = (E ∪F)×G Exercice 15 Soient E,F,G,H quatre ensembles Comparer les ensembles (E ×F)∩(G×H)Taille du fichier : 115KB
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I : Espaces m etriques
Soient (E;d) un espace m etrique, x2Eet r>0 1) Montrer que la boule ouverte B(x;r) est un ouvert de E 2) Montrer que fxgest un ferm e de E Exercice 3: Espace discret Soient Eun ensemble et d: E2 R + l’application d e nie pour tous xet ypar : d(x;y) = 1 si x6= y;d(x;y) = 0 si x= y
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Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles
Exercice -1 ) Soient A,B,C,D des sous-ensembles d’un ensemble E Mon-trer que (A∪B)∩(C∪D) = (A∩C)∪(A∩D)∪(B∩C)∪(B∩D) Simplifier le r´esultat lorsque l’on a A ⊂C 2 ) Soit E un ensemble qui est la r´eunion de deux sous-ensembles A et B On suppose que A et B sont finis et ont respectivement n et m ´el´ements Si A et B sont disjoints, combien E a-t-il d’´el´ements?Taille du fichier : 665KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Soient u = (1;1;:::;1) et F = Vect(u) puis G = f(x 1;:::;x n) 2Rn= x 1 +:::+x n = 0g Montrer que G est un sous-espace vectoriel de Rn et que Rn =F G Correction H [005178] Exercice 16 **** 1 Soit n un entier naturel Montrer que si n n’est pas un carré parfait alors p n2= Q 2 Soit E = fa+b p 2 +c p 3 +d p 6; (a;b;c;d) 2Q4g Vérifier que E est un Q-espace vectoriel puis
intp8 - lpsmparis
Démonstration: Soit X Par définition, Y X (m, a 2) et soit f (x) — ax + b une fonction affine suit la loi X (0, l) De plus, X X (m a 2) En particulier, si X est une variable gausstenne centrée réduite, X La terminologie est justifiée par la proposition suivante Proposition 2 2 Soit X X (m, a 2) On a E(x) Var(X) =
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Chapitre 5 Applications - univ-rennes1fr
D´efinition 5 2 – Soient f : E −→ F et f1: E′ −→ F′ deux applications On dit qu’elles sont ´egales et on note f = f1 si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees : E = E′, F = F′ et ∀x ∈ E, f(x) = f1(x) Exemples - • Soient f : (R −→ R x −→ cos(x) et f1: (R −→ R x −→ 2cos2(x/2) −1 Alors, on a f = f1
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Algèbre linéaire I - Exo7
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E Montrer que : [(F[Gsous-espace de E),(F ˆGou GˆF)] Correction H [005563] Exercice 2 **** Généralisation de l’exercice1 Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F 1, , F n n sous-espaces de E où E est un espace vectoriel sur un sous-corps Kde C Montrer que " (F 1 [:::[F
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Exercice 10 Soient X et Y deux variables aléatoires
Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre > 0 On pose Y = 1 1+X,Z= 1 (1+X)(2+X) et W = 1 2+X Déterminer E(Y), E(Z) puis en déduire E(W) Indication : On pourra utiliser la formule (admise), ∀ ∈ R,e = +∞ k=0 k k Corrigé : On utilise le théorème de transfert E(Y) = E 1 1+X = +∞ k=0 1 1+k P(X = k) = +∞ k=0 1 1+k e− k k = +∞
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N020141 Soit un repère orthonormé O, i, j, k Soient points
Soit un repère orthonormé O, i, j, k Soient points A (-2; O; —5) B (5; 15; 30) C (—2; —6; —12) et D (—1; — Donner la valeur de z pour que A, B C et D soient coplanaires Valider --13 35 Ao 3 45
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1 Si Napoléon était chinois alors 3 − 2 = 2 2 Soit Cléopâtre était
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges logique
en général aucun lien logique entre une implication et sa réciproque : il se peut que l'une soit vraie et l'autre fausse b) Les règles 4 et 5 sont appelées lois de
cours algebre CPP
Exercice 9 Soit f : E → F une application Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est injective
MathDiscretes TD Fonctions
Une proposition est un énoncé mathématique complet qui est soit vrai soit faux d'autres termes, soit P est fausse, soit les propositions P et Q sont toutes les
precis de logique
Corollaire 13 – Soit f ∈ L (E) On les équivalences suivantes : f est bijective ⇐⇒ Ker f = {0} ⇐⇒ Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient
V appli lin
L'ensemble E dont les éléments sont les entiers naturels x tels que x ≤ 4 est noté E = {x ∈ N x ≤ 4} (et on a aussi E = {0, 1, 2, 3, 4}) • Plus généralement, soit E
ensemble
(On rappelle le théorème de GAUSS : soient a, b et c trois entiers relatifs tous Montrer que les sous groupes du groupe (R,+) sont soit de la forme aZ, a réel
fic
sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que u = kv Critère de colinéarité : Soit u et v deux vecteurs de
VecteursDroites
Les éléments de ε sont appelés des points, et ceux de E des vecteurs ; - Si E est de dimension finie n, on dit que ε est de dimension finie n B) Translation Soit ε